人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征示范课ppt课件

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一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(list f prbability distributin)，简称分布列.
(1) 离散型随机变量的分布列
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
(2) 离散型随机变量的分布列的性质
某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？
方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.
方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
如何比较他们射箭水平的高低呢?
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?
由题意得，X的分布列为
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X)
2.求离散型随机变量的均值的步骤：
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
即点数X的均值是3.5.
探究 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?
根据随机变量均值的定义，
一般地，下面的结论成立：
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢?
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 .
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的. 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小. 不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
1. 离散型随机变量的均值：
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
3. 随机变量X服从两点分布，则有
1. 已知随机变量X的分布列为
(1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2).
2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值.
3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义.
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.
解　设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B.
由题意知，X的可能取值为0，1，2.
所以解出该题人数X的分布列为
例2 已知随机变量X的分布列为
题型二　离散型随机变量均值的性质
若Y＝－2X，则E(Y)＝__________.
解析　由随机变量分布列的性质， 得
迁移1 本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y).
训练2(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为(　　)
解析　因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
题型三　离散型随机变量均值的应用
例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；
解　X的所有可能取值有6，2，1，－2，
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
解　E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元).
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解　设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
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4.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)
解析　记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0，1，2，4，
解析　试验次数X的可能取值为1，2，3，
11.(多选)设p为非负实数，离散型随机变量X的概率分布列为
则下列说法正确的是(　　)
14.已知随机变量ξ的分布列为