45立体图形的结构、直观图及表面积体积九个重难点归类练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

这是一份45立体图形的结构、直观图及表面积体积九个重难点归类练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册），共55页。
专题06立体图形的结构、直观图及表面积体积一、空间几何体1.多面体2.旋转体3.组合体由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成二、斜二测画法1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：2.直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.三、侧面积和表面积四、体积【重难点01几何体的结构特征】例1．下列说法中正确的是（　　）A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥例2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）A．    是棱台 B．是圆台C．   是棱锥 D．   不是棱柱需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系【跟踪练习】练习1．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）练习2．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )（2）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( )（3）决定球的大小的因素是球的半径．( )（4）球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )练习3．（多选）下列命题正确的是（    ）A．一个棱柱至少有六个面B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C．棱台的各侧棱延长后交于一点D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线练习4．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）.【重难点02旋转体的有关计算】例3．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）．A．32 B． C． D．例4．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．（1）旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化；（2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．【跟踪练习】练习1．已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为 .练习2．若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（    ）A． B． C． D．练习3．从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．  练习4．若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为 .【重难点03平面展开图及距离最短问题】例5．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ．例6．如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（    ）  A．1 B． C． D．4求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．【跟踪练习】练习1．如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）  A． B． C． D．练习2．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 .练习3．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .练习4．已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 .【重难点04斜二测画法的计算】例7．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是 .例8．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ）  A． B．1 C．8 D．由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的；（2）直观图面积是原图面积的倍.【跟踪练习】练习1．（多选）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（　　）  A．   B．   C．   D．  练习2．如图所示，水平放置的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为 ．练习3．利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号）练习4．（1）画出图中水平放置的四边形的直观图；（2）求出原图和直观图的面积．  【重难点05多面体的表面积】例9．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.例10．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）．A． B． C． D．多面体的表面积是各个面的面积之和【跟踪练习】练习1．已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为 .练习2．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 .练习3．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．    练习4．仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？【重难点06旋转体的表面积】例11．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）A． B． C． D．例12．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 .圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【跟踪练习】练习1．已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ）A． B．C． D．练习2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（   ）A． B． C． D．练习3．两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为 .练习4．圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积.【重难点07几何体的体积】例13．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（    ）A．1 B． C． D．例14．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为 .【跟踪练习】练习1．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ）A． B． C． D．练习2．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）  A．14 B．21 C．24 D．36练习3．如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ）A． B． C． D．练习4．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 .【重难点08组合体的表面积及体积】例15．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（    ）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米例16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.1.组合体的表面积应注意重合部分的处理；2.若求体积，应先弄清楚组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量，再计算求值．【跟踪练习】练习1．杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为 ．  练习2．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．    练习3．如图是一个以△A1B1C1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，A1B1＝2，求几何体A1B1C1-ABC的体积．练习4．如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．(1)求此旋转体的表面积．(2)求此旋转体的体积．【重难点09表面积与体积的最值问题】例17．已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．6例18．如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为 ．【跟踪练习】练习1．甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（    ）A． B． C． D．练习2．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（    ）A． B． C． D．练习3．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .练习4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．已知圆锥是直角圆锥，底面直径是圆锥侧面上一点，若点到圆锥底面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为 .专题06立体图形的结构、直观图及表面积体积一、空间几何体1.多面体2.旋转体3.组合体由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成二、斜二测画法1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：2.直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.三、侧面积和表面积四、体积【重难点01几何体的结构特征】例1．下列说法中正确的是（　　）A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥【答案】D【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误；对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误；对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确.故选：D.例2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）A．    是棱台 B．是圆台C．   是棱锥 D．   不是棱柱【答案】C【分析】利用空间几何体的结构特征判断.【详解】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误；B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误；C.符合棱锥的结构特征，故正确；D.符合棱柱的结构特征，故错误.故选：C需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系【跟踪练习】练习1．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以棱柱有（1）（3）（5）.故选：A.练习2．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )（2）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( )（3）决定球的大小的因素是球的半径．( )（4）球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )【答案】 错误 错误 正确 正确【分析】根据空间几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】（1）圆柱的侧面面积等于底面周长与高的积，故错误；（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是一个矩形、扇形、扇环，故错误；（3）决定球的大小的因素是球的半径，故正确；（4）球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径，故正确；故答案为：错误；错误；正确；正确.练习3．（多选）下列命题正确的是（    ）A．一个棱柱至少有六个面B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C．棱台的各侧棱延长后交于一点D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线【答案】BCD【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断.【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误；对于B项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确；对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确；对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确.故选：BCD.练习4．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）.【答案】①②【分析】根据题意，结合圆柱的定义和球的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于①，根据圆柱的结构特征，可得圆柱的底面是圆面，所以①正确；对于②，根据圆柱的结构特征，可得经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，所以②正确；对于③，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，所以③不正确；对于④，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆，所以④不正确.故答案为：①②【重难点02旋转体的有关计算】例3．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）．A．32 B． C． D．【答案】B【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解.【详解】当圆柱的高时，，所以圆柱的轴截面的面积为；当圆柱的高，，所以圆柱的轴截面的面积为，故选：B例4．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．【答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为，则圆台的下底面的半径为，作出圆锥的轴截面如图，则，所以，即．解得，即圆锥的母线长为12．故答案为：.  （1）旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化；（2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．【跟踪练习】练习1．已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为 .【答案】【分析】求出圆锥底面圆的半径，根据三角形面积求解即可.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，由题意得，所以圆锥的轴截面的面积为.故答案为：练习2．若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】圆锥的高和底面半径与母线长，满足勾股定理，再由底面的周长等于母线长，列方程求圆锥的高.【详解】设该圆锥的高为，依题意有，则，解得.故选：A练习3．从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．  【答案】【分析】画出轴截面，设出，由图形关系求解即可.【详解】题图中的几何体的轴截面如图所示，  ，所以是等腰直角三角形．又，则．设，则．又，故，所以所求截面面积．故答案为：练习4．若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为 .【答案】3【分析】直接由勾股定理计算可得.【详解】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2，则球的半径为.故答案为：3【重难点03平面展开图及距离最短问题】例5．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ．【答案】【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，    设点的新位置为，连接，则有，如图，    当三点共线时，则即为的最小值，在三角形中，，，由余弦定理得，所以，即，在中，，，由勾股定理可得且.   同理可求，因为，所以为等边三角形，所以，所以在中，，，由余弦定理得.故答案为：.例6．如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（    ）  A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】利用扇形的弧长公式结合已知条件求出圆台上、下底面圆的半径，在建立与圆台高的关系式求解即可.【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，所以在圆锥中有：，所以，又在圆锥中有：，所以，所以该圆台的高为：，故选：C.求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．【跟踪练习】练习1．如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案.【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、，则，，连接，交于，交于，则线段就是的最小周长，又，根据勾股定理，，∴.故选：A  .练习2．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 .【答案】【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果.【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短，圆柱体的底面周长为，；最短路程为：.故答案为：.练习3．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .【答案】 前 程【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.故答案为：前；程.练习4．已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 .【答案】【分析】设圆柱的高为，求得，进而得到圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的侧面展开图，即可求解.【详解】如图所示，设圆柱的高为，则，可得，因为，所以为的中位线，所以，则，即圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面展开图所得的扇形的弧长为，圆心角为，所以从点绕圆锥的侧面到点的最短距离为.故答案为：.【重难点04斜二测画法的计算】例7．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是 .【答案】【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.【详解】由题意可知等腰梯形的高,由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为，的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为故答案为：例8．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ）  A． B．1 C．8 D．【答案】B【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积【详解】由直观图还原平面图形，中，，，，所以．故选：B．由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的；（2）直观图面积是原图面积的倍.【跟踪练习】练习1．（多选）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（　　）  A．   B．   C．   D．  【答案】CD【分析】分和两种情况说明.【详解】当时，其直观图是C；当时，其直观图是D.故选：CD.  练习2．如图所示，水平放置的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为 ．【答案】【分析】画出原图可计算面积.【详解】由已知得的原图如下：其中，所以.故答案为：.练习3．利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号）【答案】③【分析】直接根据斜二测画法的规则求解.【详解】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为，故答案为：③练习4．（1）画出图中水平放置的四边形的直观图；（2）求出原图和直观图的面积．  【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积，直观图的面积；【分析】（1）确定各点对应点的位置，即可得到直观图；（2）根据面积公式计算可得.【详解】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知、的对应点为、，而、对应点位置不变，即、，则四边形的直观图如下图示：  （2）原图的面积，直观图的面积.【重难点05多面体的表面积】例9．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.【答案】【分析】根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.【详解】由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为，所以底面正六边形的边长是．所以侧面积.所以表面积.故制造这个滚筒约需要铁板．故答案为：例10．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可.【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为，正四面体的表面积为，两者之比为，故选：B.多面体的表面积是各个面的面积之和【跟踪练习】练习1．已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为 .【答案】【分析】利用长方体体对角线可求得各棱长，再由表面积公式即可求得结果.【详解】如下图所示：  易知底面边长，体对角线，则可得；设，则，解得；所以长方体的表面积为.故答案为：.练习2．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 .【答案】80【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，取的中点，因为，所以，因为，，所以正四棱锥的侧面积为， 故正四棱锥的侧面积为.      故答案为：.练习3．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．    【答案】【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可.【详解】如图所示：    设正四棱台的侧高为，高为，棱台的侧面积，所以.所以.故答案为：练习4．仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？【答案】【分析】求出一个侧面面积，再由四个侧面全等得出正四棱锥侧面积.【详解】正四棱锥的侧面为全等的4个等腰三角形，设一个等腰三角形底边上的高为，由题意则，故正四棱锥的侧面积为.故所需油毡纸的面积是.【重难点06旋转体的表面积】例11．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，所以该圆锥的表面积为.故选：C例12．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 .【答案】【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个边长为2正方形，得到圆柱的高和底面半径，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2正方形，所以，所以，所以圆柱的侧面积为，圆柱的表面积为所以圆柱的表面积与侧面积的比为：，故答案为：.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【跟踪练习】练习1．已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值.【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为．因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为，则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得，于是， ，所以.故选：A．练习2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解得,所以圆台的侧面积.故选：B练习3．两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为 .【答案】【分析】根据球的表面积公式即可求解.【详解】设两个球的半径分别为，，表面积分别为，，则．故答案为：练习4．圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积.【答案】【分析】作出圆台的轴截面图，再设上底面半径为，下底面半径为，高为，结合勾股定理列式可得，进而求得表面积.【详解】圆台的轴截面如图所示，  设上底面半径为，下底面半径为，高为，由题意，，则它的母线长为，所以.故，.故答案为：【重难点07几何体的体积】例13．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】设该正四棱台的高为，由棱台体积公式计算即可.【详解】设该正四棱台的高为，又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则，所以,故选：D.例14．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为 .【答案】【分析】根据题意，分析得出该圆柱的高和底面直径是，计算体积即可.【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是，所以该圆柱的体积为.故答案为: .【跟踪练习】练习1．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，因为，则，又，且，由，即，解得；由面，面，则；则，又正方形的面积为，正方形的面积为，故正四棱台的体积.故选：B.练习2．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）  A．14 B．21 C．24 D．36【答案】B【分析】设正四棱台的高为，结合棱锥体积公式可求得，根据面积比可表示出上下底面面积，代入棱台体积公式可求得结果.【详解】设正四棱台的高为，则，，，又，，正四棱台的体积.故选：B.练习3．如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出圆柱的体积，再得到扇形的弧长，再求得圆锥的体积，最后求出体积比.【详解】因为矩形的长为2，宽为3，所以圆柱的底面半径为1，高为3，所以圆柱的体积为，因为扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，所以半径为3，根据弧长公式可以得到扇形的弧长为，又扇形的弧长等于底面圆的周长，所以圆锥底面圆的半径为，所以根据圆锥的体积公式得到圆锥的高为，所以圆锥的体积为，所以圆柱和圆锥的体积之比为，故选：D.练习4．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 .【答案】【分析】根据锥体体积公式求解.【详解】由已知，所以，三棱锥的高等于，，所以，又因为，所以.故答案为：.【重难点08组合体的表面积及体积】例15．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（    ）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米【答案】A【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，设底面圆的半径为r，则，则圆锥的母线长为（米），故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），故选：A例16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.【答案】 14 【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是.故答案为：14，.1.组合体的表面积应注意重合部分的处理；2.若求体积，应先弄清楚组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量，再计算求值．【跟踪练习】练习1．杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为 ．  【答案】【分析】根据条件，利用柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.【详解】因为两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6，所以两个圆柱的体积分别为，，又圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2，所以圆台的体积为，所以该组合体的体积为，故答案为：.练习2．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．    【答案】/【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，  过点作的垂线，垂足为，因为，,所以，所以，根据对称性易得，所以，在中，，所以，，又，所以.故答案为：.练习3．如图是一个以△A1B1C1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，A1B1＝2，求几何体A1B1C1-ABC的体积．【答案】3【详解】解：如图，在AA1上取点D，使得A1D＝BB1＝2，在CC1上取点E，使得C1E＝BB1＝2.连接BD，DE，BE，则三棱柱A1B1C1DBE为正三棱柱，取DE的中点F，连接BF.取A1C1的中点G，连接B1G，则BF⊥DE，B1G⊥A1C1.又平面BDE⊥平面ACC1A1，平面BDE∩平面ACC1A1＝DE，BF⊂平面BDE，所以BF⊥平面ACC1A1.又BF＝＝，S△A1B1C1＝×2×＝，S四边形ADEC＝＝3，所以VBADEC＝×3×＝，VA1B1C1DBE＝S△A1B1C1·A1D＝2，所以VA1B1C1ABC＝VBADEC＋VA1B1C1DBE＝3.练习4．如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．(1)求此旋转体的表面积．(2)求此旋转体的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断出以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，分析圆锥与圆锥的基本量，然后利用圆锥和圆柱的表面积公式求解即可．（2）由圆锥和圆柱的体积公式即可求解.【详解】（1）在梯形中，，，且，，，，，．以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的底面积，组合体上底面积，旋转体的表面积．（2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，圆柱的体积，圆锥的体积，旋转体的体积．【重难点09表面积与体积的最值问题】例17．已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】设，可知，根据体积关系结合基本不等式运算求解.【详解】设，由题意可得：，整理得，则该长方体体积，当且仅当时，等号成立，所以该长方体体积的最大值为4.故选：C.例18．如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为 ．【答案】【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等式，解不等式即可.【详解】因为、、两两垂直，且，，，所以，即，则，根据已知条件恒成立，则有，解得所以正实数的最小值为故答案为：【跟踪练习】练习1．甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设母线长分别为，由侧面展开图的圆心角之和与表面积之和列方程求底面半径，利用基本不等式求的最大值.【详解】设母线长分别为，则侧面展开图的圆心角之和，得．又表面积之和，得，，解得，当且仅当时，取“”，故选：A．练习2．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形相似可得出，再利用圆柱的表面积公式以及基本不等式可求得该圆柱表面积的最大值.【详解】取圆锥的轴截面，如下图所示：  设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则，整理可得，所以，该圆柱的表面积为.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该圆柱表面积的最大值为.故选：D.练习3．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .【答案】【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.练习4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．已知圆锥是直角圆锥，底面直径是圆锥侧面上一点，若点到圆锥底面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为 .【答案】/【分析】计算各线段长度，确定到平面的最大距离为，根据计算得到答案.【详解】如图所示：为等腰直角三角形，，则，，  点到圆锥底面的距离为1，故为对应母线的中点，到平面的最大距离为，.故答案为：定义图形及表示结构特征棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱①有两个面互相平行；②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD．①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′①上底面与下底面是互相平行的相似多边形；②侧面都是梯形；③侧棱延长线必交于一点定义图形及表示结构特征圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′．①圆柱有无数条母线，它们平行且相等．②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO．①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．②平行于底面的截面都是圆．③过任意两条母线的截面是等腰三角形．圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′．①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．②平行于底面的截面是圆．③过轴的截面是全等的等腰梯形．④过任意两条母线的截面是等腰梯形．球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．第一步在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面.第二步已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段第三步已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半强调注意：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．几何体棱柱棱锥棱台侧面展开图侧面积公式ch(c为底面周长，h为侧棱长)ch′(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)(c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)表面积公式几何体圆柱圆锥圆台球侧面展开图侧面积公式  表面积公式  几何体体积柱 (S为底面面积，h为高)锥(S为底面面积，h为高)，台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，球 (为球的半径)定义图形及表示结构特征棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱①有两个面互相平行；②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD．①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′①上底面与下底面是互相平行的相似多边形；②侧面都是梯形；③侧棱延长线必交于一点定义图形及表示结构特征圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′．①圆柱有无数条母线，它们平行且相等．②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO．①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．②平行于底面的截面都是圆．③过任意两条母线的截面是等腰三角形．圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′．①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．②平行于底面的截面是圆．③过轴的截面是全等的等腰梯形．④过任意两条母线的截面是等腰梯形．球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．第一步在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面.第二步已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段第三步已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半强调注意：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．几何体棱柱棱锥棱台侧面展开图侧面积公式ch(c为底面周长，h为侧棱长)ch′(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)(c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)表面积公式几何体圆柱圆锥圆台球侧面展开图侧面积公式  表面积公式  几何体体积柱 (S为底面面积，h为高)锥(S为底面面积，h为高)，台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，球 (为球的半径)