43空间立体几何练习（四大类选填+三大类解答）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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专题04 空间立体几何（四大类选填+三大类解答）-备战2023-2024学年高一数学下学期期中题型秒杀技巧及专项练习（原卷版）【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积（选填）】【题型2 棱柱、棱锥、棱台的体积（选填）】【题型3 与直观图还原有关的面积计算问题（选填）】【题型4 外接球内切球表面积与体积（选填）】【题型5 三点共线三线共点四点共面问题（解答题）】【题型6 处理各种线与面平行关系（解答题）】【题型7 处理线与面各种垂直关系（解答题）】题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积（选填）棱柱表面积：；其中侧面为平行四边形，底面为多边形棱锥表面积：，其中侧面为三角形，底面为多边形棱台的表面积：，其中侧面为梯形，底面为多边形，已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积与底面面积之和的大小关系为（    ）A． B．C． D．以上都不是如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　）A．10 B．12 C．13 D．14已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是（    ）．A． B． C． D．1．在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（    ）A． B． C． D．  2．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ）A． B．1 C． D．33．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ）A． B． C． D．4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）．A． B． C． D．5．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）   B．C． D．6．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）  A． B． C． D．7．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．    8．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．    题型2 棱柱、棱锥、棱台的体积（选填）柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）  A． B． C． D．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（    ）  A．3 B．4 C．6 D．121．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ）A． B． C． D．2．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）  A．14 B．21 C．24 D．363．中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为（    ）A． B． C． D．4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（   ）A．弧长度为 B．曲池的体积为C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为55．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 .6．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .  7．现有甲乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，已知，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是正四棱台高度的一半时用时分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是正四棱台高度的一半时用时 分钟．8．米斗是称量粮食的量器，它有着吉祥的宫意，是丰饶富足的象征，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.某课外兴趣小组为了解米斗的几何结构，在通用技术教师的指导下，用木制榫卯结构的方式制作了一个米斗如图，上宽下窄呈方形，近似于一个正四棱台，斗口边长为3米，斗底边长为2米，斗高3米，则该米斗能装米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.题型3 与直观图还原有关的面积计算问题（选填）由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的倍．（2）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.A．12 B．12C．6 D．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ）A．6 B． C． D．121．如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为 .   2．如图所示，是一个等腰直角三角形，且，是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形中， ．  3．如图，是水平放置的的直观图，，轴，则的面积为 ．  【答案】【详解】依题意是等腰直角三角形，，所以，则在原图中，，，且，所以的而积为．故答案为：.4．如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是 ．  【答案】.【详解】在等腰梯形中，，，则，由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图，显然四边形为直角梯形，于是得.故答案为：5．如图，一个水平放置的的斜二测直观图是以为斜边的直角，其中，则 .  【答案】【详解】在直观图中，，，则，，所以，则，还原平面图如下图，  则，，所以.故答案为：6．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长 .  【答案】【详解】如图，根据斜二测画法，因为，，所以，，且轴，轴，是的中点，所以，在直角中，由勾股定理有：，所以，则的周长.故答案为：.  7．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是   【答案】【详解】在直观图等腰直角三角形中，，则，根据直观图画出原图如下，则有，，所以，所以原三角形周长是.故答案为：.  8．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 ．  【答案】40【详解】根据题意，原图形如下图：  的底边AB的长为5，高为16，其面积为.故答案为：40题型4 外接球内切球表面积与体积（选填）长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其体对角线为 则外接球半径为侧棱垂直于底面的锥体或柱体可以补成立方体，利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为对棱两两相等的四面体可以补成立方体，利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为当三棱锥有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为内切球半径：已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）A． B． C． D．1．若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（    ）A． B．8 C．6或8 D．或62．已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．3．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ）A． B． C． D．4．已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．5．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．6．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为 .7．如图所示的雕塑组合：下面是棱长为2米的正方体基座，基座上面中心位置安放着一个大球，阳光从面正前方照射下时，基座在面正前方地面的影长是4.8米，此时大球影子最远点伸到距面8.8米处，则大球体积是 ．8．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为 ．题型5 三点共线三线共点四点共面问题（解答题）四点共面：技巧总结经常利用三角形中位线性质和平行四边形性质三点共线：三线共点：若证明共点，第一步：先确定交于点 第二步：证明三点共线即可.空间四边形中，分别在上，且满足，．  求证：三线共点．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点， 为的中点，为的中点．求证：(1)三点共线；(2)、、、四点共面；(3)、、三线共点．1．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．  2．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．3．如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.  (1)求证：；(2)设与交于点，求证：三点共线.4．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.  5．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.  (1)证明：四点共面；(2)设，证明：A，O，D三点共线.6．如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．7．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．8．在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．(1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．(2)求三棱锥的体积．题型6 处理各种线与面平行关系（解答题）线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（中位线或平行四边形及等比线段）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；  1．如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．2．如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．3．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)是否存在实数，使三棱锥体积为.5．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积大小．6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.7．如图，正方体的棱长为2.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.8．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点．  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．题型7 处理线与面各种垂直关系（解答题）证明垂直：线线垂直线面垂直面面垂直必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；如图，在四棱锥P­-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形．  1．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，．点在棱上，过三点的平面与平面的交线记为直线.(1)求证：；(2)若平面与平面所成角的余弦值为.（i）确定点的位置；（ii）求点到平面的距离.2．如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，．(1)求证：平面；(2)求该几何体的体积和表面积．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)证明：AC⊥PB；(2)证明：EF∥平面PAD．4．如图，在长方体中，，.(1)设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面；(2)求异面直线与所成角的大小.5．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若是棱的中点，，求点到平面的距离.6．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.(1)证明：平面(2)证明：平面平面.7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．(1)若，求证：直线平面PAB；(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．8．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：平面.专题04 空间立体几何（四大类选填+三大类解答）-备战2023-2024学年高一数学下学期期中题型秒杀技巧及专项练习（解析版）【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积（选填）】【题型2 棱柱、棱锥、棱台的体积（选填）】【题型3 与直观图还原有关的面积计算问题（选填）】【题型4 外接球内切球表面积与体积（选填）】【题型5 三点共线三线共点四点共面问题（解答题）】【题型6 处理各种线与面平行关系（解答题）】【题型7 处理线与面各种垂直关系（解答题）】题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积（选填）棱柱表面积：；其中侧面为平行四边形，底面为多边形棱锥表面积：，其中侧面为三角形，底面为多边形棱台的表面积：，其中侧面为梯形，底面为多边形，已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积与底面面积之和的大小关系为（    ）A． B．C． D．以上都不是破解：由题，正三棱台侧棱，正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高，，，故选：A如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　）A．10 B．12 C．13 D．14破解：由题意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为a，高为h因为过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，可知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大.所以，解得，于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为2a2+4ah＝2+12＝14故选：D已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是（    ）．A． B． C． D．破解：设圆锥的底面半径为，则，解得所以圆锥的底面面积为.故选：B1．在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，由，可得；由直四棱柱的性质可得，平面，所以；因为，所以.在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分，即图中圆弧.因为，所以，因为点的轨迹长度为，所以，即.四棱柱的表面积为.故选：A.  2．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【详解】设，则.因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，在四边形中，过点作于点，则，所以，所以，解得，在平面中，过点作于点，易知为正四棱台的高，则，所以.故选：C.3．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，过点作于点，如图所示，因为，所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，又因为，所以，所以，所以，所以方亭的侧面积为.故选：B.4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为，正四面体的表面积为，两者之比为，故选：B.5．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）   B．C． D．【答案】A【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，正六棱柱的底面面积为，如图所示，正六棱台中，，过点分别作垂直于底面于点，连接相交于点，则分别为的中点，过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，  所以正六棱台的斜高为，故正六棱台的侧面积为，又正六棱台的下底面面积为，所以该花灯的表面积为．故选：A．6．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，  正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，连接并延长交于，则为的中点，且，依题意，，正三角形的边长为2，所以，，，，所以该三棱锥的侧面积为.故选：B7．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．    【答案】/【详解】分别取，的中点，，连接，，  过点作的垂线，垂足为，因为，,所以，所以，根据对称性易得，所以，在中，，所以，，又，所以.故答案为：.8．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．    【答案】【详解】如图所示：    设正四棱台的侧高为，高为，棱台的侧面积，所以.所以.故答案为：题型2 棱柱、棱锥、棱台的体积（选填）柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）  A． B． C． D．破解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，  容易求得，.取的中点，连接，易得，则，所以多面体的体积.故选：B《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（    ）  A．3 B．4 C．6 D．12破解：因为上底面与下底面的面积之比为，设，则，故方亭的高为，故方亭的体积为，解得，故m，即该方亭的上底面边长为3m.故选：A1．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，因为，则，又，且，由，即，解得；由面，面，则；则，又正方形的面积为，正方形的面积为，故正四棱台的体积.故选：B.2．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）  A．14 B．21 C．24 D．36【答案】B【详解】设正四棱台的高为，则，，，又，，正四棱台的体积.故选：B.3．中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】该正四棱台上、下底面的对角线分别为、，则该正四棱台的高为，则.故选：A.4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（   ）A．弧长度为 B．曲池的体积为C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5【答案】ACD【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，因为弧的长度是弧长度的倍，，即，，，，所以弧的长度为，故A正确；曲池的体积为，故B错误；曲池的表面积为，故C正确；三棱锥的体积为，故D正确．故选：ACD．5．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 .【答案】【详解】由已知，所以，三棱锥的高等于，，所以，又因为，所以.故答案为：.6．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .  【答案】24【详解】因为四棱锥中，底面是正方形，且对角线，所以，且，所以，因为是棱锥的高，且，所以在中，，所以正四棱锥的体积为.故答案为：24.7．现有甲乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，已知，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是正四棱台高度的一半时用时分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是正四棱台高度的一半时用时 分钟．【答案】【分析】设正四棱台的高为，由，正四棱台的中截面是边长为的正方形，当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为，设水流速度为，则，，当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为，所以当水的高度是四棱台高度的一半时用时为分钟.故答案为：.8．米斗是称量粮食的量器，它有着吉祥的宫意，是丰饶富足的象征，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.某课外兴趣小组为了解米斗的几何结构，在通用技术教师的指导下，用木制榫卯结构的方式制作了一个米斗如图，上宽下窄呈方形，近似于一个正四棱台，斗口边长为3米，斗底边长为2米，斗高3米，则该米斗能装米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.【答案】【详解】由题意可得，上底面面积，下底面面积，高，则米斗的体积，则该米斗能装米升.故答案为：题型3 与直观图还原有关的面积计算问题（选填）由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的倍．（2）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.A．12 B．12C．6 D．破解：因为，由斜二测画法可知，则，故为等腰直角三角形，故，故矩形的面积为，所以原图形的面积是，故选：D.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ）A．6 B． C． D．12破解：如图，由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，，∴.故选：D.1．如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为 .   【答案】24【详解】如图，根据直观图复原原图，则，故的周长为，故答案为：24.2．如图所示，是一个等腰直角三角形，且，是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形中， ．  【答案】【详解】题图中，过点分别作轴､轴的平行线，分别交轴､轴于点，  由，得，所以．由直观图画法规则将还原为，如图所示，得，所以.  故答案为：3．如图，是水平放置的的直观图，，轴，则的面积为 ．  【答案】【详解】依题意是等腰直角三角形，，所以，则在原图中，，，且，所以的而积为．故答案为：.4．如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是 ．  【答案】.【详解】在等腰梯形中，，，则，由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图，显然四边形为直角梯形，于是得.故答案为：5．如图，一个水平放置的的斜二测直观图是以为斜边的直角，其中，则 .  【答案】【详解】在直观图中，，，则，，所以，则，还原平面图如下图，  则，，所以.故答案为：6．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长 .  【答案】【详解】如图，根据斜二测画法，因为，，所以，，且轴，轴，是的中点，所以，在直角中，由勾股定理有：，所以，则的周长.故答案为：.  7．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是   【答案】【详解】在直观图等腰直角三角形中，，则，根据直观图画出原图如下，则有，，所以，所以原三角形周长是.故答案为：.  8．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 ．  【答案】40【详解】根据题意，原图形如下图：  的底边AB的长为5，高为16，其面积为.故答案为：40题型4 外接球内切球表面积与体积（选填）长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其体对角线为 则外接球半径为侧棱垂直于底面的锥体或柱体可以补成立方体，利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为对棱两两相等的四面体可以补成立方体，利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为当三棱锥有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体利用长方体各顶点在同一个球面上，已知长方体长宽高分别是、、，其对角线为 则外接球半径为内切球半径：已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．破解：因为，故，故的内切圆的半径为.因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，故直三棱柱的高为2.将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为，故外接球的的表面积为.故选：D.在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）A． B． C． D．破解：设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，，由，得，故故选：B.1．若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（    ）A． B．8 C．6或8 D．或6【答案】C【详解】设球的半径为，则，得，如图所示，为的中心，为的中心，由题意可知，三棱台为正三棱台，为其高，球心在上，在中，在中，故，，当在线段上时，，当在线段的延长线上时，，故选：C2．已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为圆锥的底面积为，所以底面半径，记圆锥的高为，则，因为截去一个体积为的小圆锥，则小圆锥的高，小圆锥的底面半径，所以剩余圆台的高为，设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以外接球的表面积.故选：B3．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】过三角形的中心作平面的垂线，过三角形的中心作平面的垂线，两垂线交于点，连接，依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，因为，所以,则,即外接球半径为，则该球的表面积为，故选：C.4．已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】记该截面和球的半径分别为，由于两个圆锥的高之比为，故球心到该截面的距离为，从而，.而两个圆锥的高分别是，故体积之和.从而，故，.该球的表面积.故选：B.5．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为三棱锥中，平面，，设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，由正弦定理得，可得所以，则外接球的表面为.故选：B.  6．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为 .【答案】【详解】如图所示：  因为，，，则，所以的中点分别为，的外接圆的圆心，所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，所以其半径，所以球的表面积.故答案为：.7．如图所示的雕塑组合：下面是棱长为2米的正方体基座，基座上面中心位置安放着一个大球，阳光从面正前方照射下时，基座在面正前方地面的影长是4.8米，此时大球影子最远点伸到距面8.8米处，则大球体积是 ．【答案】【详解】过球的中心O作铅垂面，如图，设球的半径为r，由，得，，，解得，所以大球的体积．故答案为：．8．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为 ．【答案】/【详解】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，  设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则，得，即,易知，∴该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：.题型5 三点共线三线共点四点共面问题（解答题）四点共面：技巧总结经常利用三角形中位线性质和平行四边形性质三点共线：三线共点：若证明共点，第一步：先确定交于点 第二步：证明三点共线即可.空间四边形中，分别在上，且满足，．  求证：三线共点．破解：，，，，，又，，，四边形为梯形，设，则，而平面ABD，所以平面ABD ，又，平面BCD，所以平面BCD，而平面平面，，三线共点．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点， 为的中点，为的中点．求证：(1)三点共线；(2)、、、四点共面；(3)、、三线共点．破解：（1）∵平面，∴，平面；又∵平面，∴平面；∵、交于点M，∴，；又平面，平面，∴平面，平面；又平面，平面；∴、、三点在平面与平面的交线上，∴、、三点共线；（2）连接，∵E为的中点，F为的中点，∴，又∵，，∴四边形是平行四边形，∴；∴，∴E、F、C、D1四点共面；（3）∵平面平面，设与交于一点P，则：，平面，∴平面，同理，平面，∴平面平面，∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.1．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．  【详解】因为，且平面，所以平面，同理平面，从而M在两个平面的交线上，因为平面∩平面，所以成立．所以点三点共线．2．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．【详解】由，可知点，且平面ABC，可知点平面ABC，又，所以点P在平面ABC与平面的交线上，同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，所以P，Q，R三点共线．3．如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.  (1)求证：；(2)设与交于点，求证：三点共线.【详解】（1）、分别是、的中点，，，，.（2）因为，，平面，所以平面，同理平面.所以是平面与平面的公共点，又平面平面，所以，所以三点共线4．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.  【详解】平面，平面，同理，平面.是平面与平面的公共点.又平面平面，,三点共线.  5．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.  (1)证明：四点共面；(2)设，证明：A，O，D三点共线.【详解】（1）证明：如图，连接.  在正方体中，，所以，又，且，所以四边形是平行四边形，所以，，所以四点共面；（2）证明：由，，又平面，平面，同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三点共线.6．如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【详解】（1）连接在长方体中、分别是和的中点 、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面 面 即点共线.（3）延长交于面面面面面 面 、、三线共点.7．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【详解】（1）证明：连接，，正方体中，E，F分别是的中点，∴且，∵且，∴且，∴EC与相交，设交点为P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P为两平面的公共点，∵平面平面，∴，∴三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，则FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．8．在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．(1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．(2)求三棱锥的体积．【详解】（1）证明：，，，则平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，点F在直线ME上，则M，E，F三点共线．（2）解：，又，题型6 处理各种线与面平行关系（解答题）线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（中位线或平行四边形及等比线段）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.破解：（1）连接，交于点，连接，如图，正方形中，是中点，是中点，，平面平面，平面；（2）平面为中点，，到平面的距离，三棱锥的体积.如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；  破解：证明：连接，如下图所示：  因为，且，分别是棱的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.1．如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【详解】（1）如图，连接交于，连接.  因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，，  因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（1）知平面，又因为，，平面，所以平面平面.2．如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．【详解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行，证明如下：∵点分别为棱和中点，∴，∵平面，平面，∴平面．3．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；【详解】因D，E，F分别是棱，，的中点．且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，．又平面，平面，则平面．又平面ABD，，故平面平面4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)是否存在实数，使三棱锥体积为.【详解】（1）E是PC的中点.理由：连结AC，交BD于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点.∵平面EBD，平面平面平面PAC，∴，∵O是AC的中点，∴E是PC的中点.（2）假设存在实数，使三棱锥体积为，∵E为PC中点，∴.若，则.底面是边长为2的正方形，底面，则，故，∴，∴存在，使三棱锥体积为.5．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积大小．【详解】（1）在正方体中，连接，取的中点，连接，有M为的中点，则，又E为BC的中点，于是，则四边形是平行四边形，，又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，因此，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，所以三棱锥的体积.6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，所以，而，所以，所以四边形为平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于平面，所以直线与平面所成角为，由于平面，所以，由于，所以，所以.由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，，，对于三角形，，所以为钝角，所以，所以，，设到平面的距离为，由得，所以到平面的距离为. 7．如图，正方体的棱长为2.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【详解】（1）由于，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，∴平面.（2）设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得.所以点到平面的距离为.8．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点．  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【详解】（1）证明：连接交于点，连接，∵底面为正方形，∴为的中点，∵点是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面  （2）因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以又点是的中点，，，所以，，，，，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为．题型7 处理线与面各种垂直关系（解答题）证明垂直：线线垂直线面垂直面面垂直必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；破解：（1）证明：因为平面，平面，所以，又由，而，平面，平面，∴平面.（2）证明：如上图，连接交于，连接，∵点为线段的中点，点为线段的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.如图，在四棱锥P­-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形．  破解：如图：  取的中点，连接,因为△PAD为等边三角形，则，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD,平面,所以PO⊥平面ABCD，平面ABCD,则,又PA⊥CD，则平面，又平面,则,又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形．1．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，．点在棱上，过三点的平面与平面的交线记为直线.(1)求证：；(2)若平面与平面所成角的余弦值为.（i）确定点的位置；（ii）求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)（i）点是的中点；（ii）.【详解】（1）在四棱锥中，底面为正方形，则，而平面，平面，于是平面，又平面平面，平面，所以.（2）（i）由（1）知，，而平面，则直线与必相交，令交点为，连接，由平面，平面，得，而，平面，于是平面，又平面，则，因此是二面角的平面角，，得，，于是是的中点，由于，所以点是的中点；（ii）由（i）知，，平面，平面，则平面，从而点到平面的距离等于点到平面的距离，由平面，平面，得平面平面，在平面内过作于，而平面平面，则平面，因此长为点到平面的距离，在中，，所以点到平面的距离.2．如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，．(1)求证：平面；(2)求该几何体的体积和表面积．【答案】(1)证明见解析；(2)体积为，表面积为.【详解】（1）由正方形，得，，又，则，显然平面，且是相交直线，所以平面.（2）由正方形，得，而，平面，因此平面，点到平面的距离都等于，而，所以该几何体的体积；显然，等腰底边上的高，则，而，，所以几何体的表面积.3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)证明：AC⊥PB；(2)证明：EF∥平面PAD．【详解】（1）由条件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°，则，AC＝， ∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2，则∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，且AC⊂平面ABCD，则AC⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，所以AC⊥PB；（2）由（1）可知AB＝2．取棱PD中点为G，连接EF、EG、AG，因为E为PC的中点，所以EG∥DC，且EG＝DC，又，所以AF∥DC，且AF＝DC，所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四边形AFEG为平行四边形，所以EF∥AG．又EF⊄平面PAD，且AG⊄平面PAD，则EF∥平面PAD．4．如图，在长方体中，，.(1)设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面；(2)求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：因为O为中点，所以，且.又是长方体，为中点，所以，且，即，且，四边形为平行四边形，所以.又在平面内，在平面外，因此，平面.（2）连接，如图所示：因为平面，平面，所以，又，所以是异面直线与所成角（或其补角）.，故.因此，异面直线与所成角的大小为.5．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若是棱的中点，，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，，，，又，，为棱中点，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中点，连接，，，又，，，四边形为正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.（2），，，，由（1）知：平面，，则点到平面的距离，；，，，分别为棱中点，，，，，，，，，由余弦定理得：，则，，设点到平面的距离为，，解得：，即点到平面的距离为.6．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.(1)证明：平面(2)证明：平面平面.【详解】（1）连接交于点，连接.因为为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为点在平面内的射影为A，所以平面，因为平面，所以.又在正方形中，且，所以平面，又平面，所以平面平面.7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．(1)若，求证：直线平面PAB；(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．【答案】(1)证明见解析(2)90°．【详解】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，因为，所以且，又因为，且，点N为BC中点，所以且，则四边形MQBN为平行四边形，所以，平面PAB，平面PAB，所以直线平面PAB．（2）过点M作，交AD于K，连接KN，可知面ABCD，因为面ABCD，所以，又因为，所以．∵∴，∴，，所以四边形AKNB为平行四边形，，又因为，所以，又，∴面MNK，因为面MNK，∴，所以异面直线MN与AD成角为90°．8．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：平面.【详解】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形，连接，交于O点，则O为的中点，连接，因为E为的中点，故,因为平面，平面，故平面；（2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K，连接，因为，,故≌,所以,∵平面，平面，∴,故≌,故,又平面，平面,故,又，平面,故平面，平面，故,同理可证,结合，可知I在的平分线上，即I在上，则平面，而平面，平面,故,又底面是菱形，则 ,平面，故平面.