34空间中平行垂直问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间中的平行与垂直问题单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021下-湖南张家界-高一慈利县第一中学校考期中）设，为两个平面，则的充要条件是（    ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对2．（2023下-浙江绍兴-高一绍兴市稽山中学校考期中）若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（    ）A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线C．内所有直线与异面 D．内所有直线与相交3．（2023下-高一课时练习）下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023下-河北邢台-高一统考期中）在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（    ）A．对任意直线，，总存在直线，使得，B．对任意直线，，总存在直线，使得，C．对任意平面，，总存在直线，使得，D．对任意平面，，总存在直线，使得，5．（2023下-江苏常州-高一常州高级中学校考期末）若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则.以上说法中成立的有（    ）个.A．0 B．1 C．2 D．36．（2023上-北京-高一东直门中学校考期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：①；②的面积大于的面积；③三棱锥的体积为定值.其中，所有正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023下-全国-高一随堂练习）如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（    ）  A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面8．（2023下-福建龙岩-高一统考期末）如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（    ）．A．若，，则B．若，，则平面平面C．若，，则面D．若，，则二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023下-山西运城-高一统考期中）设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ）A．若，，∥，∥，则∥B．若上有两点到的距离相等，则∥C．，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥D．与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥10．（2023下-河南洛阳-高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（    ）  A． B．C．平面 D．平面平面11．（2023下-河南郑州-高一校考期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（  ）  A． 平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023下-全国-高一随堂练习）在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）  13．（2023下-全国-高一随堂练习）已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则 .14．（2023下-河南洛阳-高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，空间中两个有一条公共边的正方形和．设分别是和的中点，那么以下4个命题中正确的是 ．①；②//平面；③//；④异面．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-广东韶关-高一校考期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面．  (1)求证：平面；(2)求证：平面；16．（2023下-湖南益阳-高一安化县第二中学校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．  (1)求证：平面平面；(2)求证：．17．（2023下-宁夏石嘴山-高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.  (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.18．（2023上-江西宜春-高一江西省丰城中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．  (1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．19．（2023下-云南昆明-高一校考期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点  (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM；(2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间中的平行与垂直问题单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021下-湖南张家界-高一慈利县第一中学校考期中）设，为两个平面，则的充要条件是（    ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对【答案】B【分析】AC可举出反例；B选项，根据线面平行的判定定理得到B正确.【详解】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出，A错误；B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误.C选项，如图，，平行于同一条直线，但，不平行，C错误；故选：B2．（2023下-浙江绍兴-高一绍兴市稽山中学校考期中）若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（    ）A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线C．内所有直线与异面 D．内所有直线与相交【答案】B【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.【详解】若内存在一条直线与平行，则由和线面平行判定定理可知，与已知矛盾，故内不存在直线与平行，A错误，B正确；记，当内直线a过点A，则与a相交，C错误；当内直线b不过点A，则与b异面，D错误.故选：B  3．（2023下-高一课时练习）下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④.【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误；由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确；由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确；由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确.故选：C.4．（2023下-河北邢台-高一统考期中）在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（    ）A．对任意直线，，总存在直线，使得，B．对任意直线，，总存在直线，使得，C．对任意平面，，总存在直线，使得，D．对任意平面，，总存在直线，使得，【答案】B【分析】根据空间直线、平面的位置关系一一判断.【详解】当直线与不平行时，不存在直线，使得，，A错误．当时，，则；当直线与相交，直线垂直于直线，所确定的平面时，即可满足，；当，异面，直线垂直于与直线，均平行的平面时，即可满足，，B正确．当与不平行时，不存在直线，使得，，C错误．当时，不存在直线，使得，，D错误．故选:B.5．（2023下-江苏常州-高一常州高级中学校考期末）若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则.以上说法中成立的有（    ）个.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理可依次判断得解.【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.故选：C.6．（2023上-北京-高一东直门中学校考期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：①；②的面积大于的面积；③三棱锥的体积为定值.其中，所有正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据平面得到①正确，点到直线的距离大于点到直线的距离，②正确，计算体积得到③正确，得到答案.【详解】对①：平面，平面，故，又，，平面，故平面，平面，故，正确；对②：平面，平面，，故是的高，是中点，，故，是的高，，正确；对③：平面，故，正确；故选：D7．（2023下-全国-高一随堂练习）如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（    ）  A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】C【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，连接，由于分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面，所以A选项正确.  B选项，连接，由于三角形和三角形是等边三角形，是的中点，所以，由于平面，所以平面，B选项正确.  C选项，几何体是正四面体，设在底面上的射影为，连接，则平面，且是等边三角形的中心，连接，由于分别是的中点，所以是等边三角形的中位线，所以，所以平面与平面不垂直，C选项错误.  D选项，连接，同理B选项的分析可得平面，由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.  故选：C8．（2023下-福建龙岩-高一统考期末）如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（    ）．A．若，，则B．若，，则平面平面C．若，，则面D．若，，则【答案】D【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定可判定A、B选项；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定C、D选项.【详解】  如图所示，对于选项A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，易知，所以平面，因为平面，所以平面平面，显然平面即平面，故B正确；  如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知，因为平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，显然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正确；对于D项，显然时，与不平行，故D不正确.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023下-山西运城-高一统考期中）设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ）A．若，，∥，∥，则∥B．若上有两点到的距离相等，则∥C．，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥D．与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥【答案】CD【分析】根据线线、线面、面面平行的判断定理及性质定理，逐一分析各选项即可求解【详解】若，，∥，∥，当m与n相交时，有∥，否则，∥不一定平行，故A错误；若上有两点到的距离相等，与可能平行，也可能相交，故B错误； ，，两两相交于三条直线，，，不妨设，易知，否则，，交于同一条直线，不满足题意，因为，则，又，则，故 C 正确；因为与互为异面直线，∥，∥，则内存在，且直线、会相交，因为，则易得，所以，故D正确．故选： CD .10．（2023下-河南洛阳-高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（    ）  A． B．C．平面 D．平面平面【答案】BD【分析】利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项；利用反证法可判断AC选项.【详解】因为平面，平面，所以，，因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，B对D对；因为平面，平面，则，则为锐角，即与不垂直，故与平面不垂直，C错；若，又因为，，、平面，所以，平面，与C选项矛盾，A错.故选：BD.11．（2023下-河南郑州-高一校考期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（  ）  A． 平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】CD【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解.【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体．  在正方体中，连接，如图②所示．  易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误；如图③所示，连接，由于平面,平面,所以平面，同理可得平面，平面,则平面平面，  同理可证平面平面，所以CD正确．故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023下-全国-高一随堂练习）在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）  【答案】平面，平面（答案不唯一）【分析】证明出线面垂直，得到面面垂直，得到答案.【详解】连接，因为四边形为正方形，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，同理平面，所以平面⊥平面，故垂直于平面的平面有平面，平面  故答案为：平面，平面(答案不唯一)13．（2023下-全国-高一随堂练习）已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则 .【答案】4【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可.【详解】因为平面，平面，所以，因为，所以点为中点，因为，，所以.故答案为：4.  14．（2023下-河南洛阳-高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，空间中两个有一条公共边的正方形和．设分别是和的中点，那么以下4个命题中正确的是 ．①；②//平面；③//；④异面．【答案】①②③【分析】①构造过且与垂直的平面，即可通过证明线面垂直从而得到线线垂直；②通过证明过的平面与平面平行，从而证明线面平行即可；③在三角形中，由中位线与底边平行，即可证明；④由③正确，即可说明④错误.【详解】取的中点，连接,如下所示：对①：显然，，又，所以．又，面，所以面．又面，所以，所以①正确．对②由①知，面面，故//面；//，面面，故//面；又面，故面面．又面，所以//平面．所以②正确．对③：因为过点，在三角形中为中点．所以//，所以③正确．④错．故答案为：①②③．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-广东韶关-高一校考期中）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面．  (1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，根据，可证得平面，从而，又满足线面垂直的判定定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可.【详解】（1）因为四边形为正方形，故，平面，平面,所以，平面，故平面，平面，故，由知，G为中点，故，因为平面，所以平面.（2）证明：作于F，因为平面平面,平面，平面，平面平面，故平面，  又由（1）知平面，所以，又平面平面，∴平面.16．（2023下-湖南益阳-高一安化县第二中学校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．  (1)求证：平面平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可；（2）利用线面平行的性质定理证明即可【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面.（2）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.17．（2023下-宁夏石嘴山-高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.  (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.【答案】(1)存在，证明见解析(2)2【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用几何体之间的体积关系，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）与的中点，可以使得平面平面，证明：在三棱柱中，∵与为与的中点，∴与平行且相等，故四边形为平行四边形，∴，∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形  故，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，而，  平面，平面，∴平面平面；  （2）∵，，.18．（2023上-江西宜春-高一江西省丰城中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．  (1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)上存在点，且【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面.（2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置.【详解】（1）连交于，因为为中点，所以是中位线，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．  （2）上存在点，且，使得平面，证明：上取点，且，因为为上的点，且，所以在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．  19．（2023下-云南昆明-高一校考期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点  (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM；(2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)不能垂直，理由见解析【分析】（1）取中点D，连接，DN，DM，，根据三角形中位线定理和平行四边形的性质可证得∥平面APM，∥平面APM，再由面面平行的判定可得平面∥平面APM，再利用面面平行的性质可得结论；（2）假设平面APM，设，，然后由三角形相似可求出的值进行判断.【详解】（1）取中点D，连接，DN，DM，，  ∵D，M分别为，CB的中点，∴∥且，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面APM，AM⊂平面APM，∴∥平面APM，∵D，N分别为，的中点，∴∥，又P，M分别为，CB的中点，∴∥，∴∥，又平面APM，MP⊂平面APM，∴∥平面APM，∵，DN⊂平面，，∴平面∥平面APM，又平面，∴∥平面APM（2）假设平面APM，由PM⊂平面APM，得，设，，当时，，∴∽，∴，由已知得：，，，∴，解得：，∴假设错误，∴直线与平面APM不能垂直