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44专题04 立体几何初步（重点+难点）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）
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专题04 立体几何初步（重点+难点）一、单选题1．下列说法错误的是（ ）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形2．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对3．如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为（ ） A． B． C． D．4．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）A．，则B．，则直线，直线C．，则D．，且不共线，则重合5．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ）A． B． C． D．6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）A．4 B．2 C．8 D．67．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）A．直线共面B．C．直线与平面所成角的正切值为D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为98．如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A． B． C． D．二、多选题9．已知两个平面，，及两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则10．已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为11．在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ）A．直线与直线一定异面 B．直线与直线一定垂直C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面垂直12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ） A．直线，为异面直线B．直线与平面所成角的正切值为C．过点，，的平面截正方体的截面面积为D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题13．已知两个不重合的平面，若直线，请加一个条件 ，使得.14．三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 .15．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .16．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面为的中点，点分别在线段上运动，当最小时，三棱锥的体积为 ． 四、解答题17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证： (1)平面；(2)．18．如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.20．如图，已知矩形ABCD中，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上. (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.21．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.22．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．一、单选题1．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为2．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）A． B． C． D．3．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．4．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）A．CH的长是定值B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C．当时，三棱锥的体积为D．点H到面的最大距离为二、多选题6．已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为7．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为三、填空题8．三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 9．四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为 ．四、解答题10．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．11．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．(1)求证：直线平面；(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．专题04 立体几何初步（重点+难点）一、单选题1．下列说法错误的是（ ）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B2．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对【答案】B【分析】AC可举出反例；B选项，根据线面平行的判定定理得到B正确.【解析】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出，A错误；B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误.C选项，如图，，平行于同一条直线，但，不平行，C错误；故选：B3．如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直观图中上的高，即可求出，从而求出，即可得解.【解析】在直观图中，因为边长为的等边，所以上的高，∴，∴在原图中，上的高.故选：A4．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）A．，则B．，则直线，直线C．，则D．，且不共线，则重合【答案】C【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解.【解析】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确；对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确；对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确；对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确.故选：C.5．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.【解析】如图，连接，则，正四棱柱的体积为，则，则，则为异面直线与所成角，则，，故.故选：D 6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】A【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解.【解析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，则石磨的侧面积为，解得.故选：A.7．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）A．直线共面B．C．直线与平面所成角的正切值为D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】D【分析】对于A项，一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C项，充分利用正方体条件，找到直线与平面所成的角，在三角形中求解即得；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【解析】 对于A项，如图①，分别连接,,在正方体中，易得矩形,故有，又E， G分别是棱的中点，则,故,即可确定一个平面，故A项正确；对于B项，如图②，,故B项正确；对于C项，如图③，连接,因平面，故直线与平面所成角即,在中，,故C项正确；对于D项，如图④，连接,易得,因平面平面，则为过点B，E，F的平面与平面的一条截线，即过点B，E，F的平面即平面.由可得四边形为等腰梯形，故其面积为： ，即D项错误.故选：D.8．如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意画出图形,因为与平面所成角为,平面与平面所成锐角为,与平面所成角为分别求出和,,结合图形分别比较和和,即可求出答案.【解析】如图,过作,在中,由,可得．由等积法可得,则 平面平面,且,可得平面 ．画出底面平面图:在,由余弦定理可得: ,故 结合图像可知: ,可得: , 可得 ┄①过作,垂足为,连接，则为平面与平面所成的锐角． 到的距离,由底面图像可知: 即┄②由①②可得: 都是锐角,根据正切函数单调性可知: 故选:A.【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法.在立体图形中某个平面内的线段较多且关系复杂时,可画出其平面图形进行求解.解题关键是求,和.考查空间想象能力与逻辑思维能力,是中档题．二、多选题9．已知两个平面，，及两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则【答案】AB【分析】根据面面垂直性质定理判定A；由题可得，即可判断选项B；由面面平行判定定理可判断选项C，举反例判断D．【解析】对于A，若，，，，由面面垂直性质定理得，故A正确；对于B，，，，又，，故B正确；对于C，缺少条件与相交，则平面与平面不一定平行，故C错误；对于D，若，，符合，，但不成立，故D错误．故选：AB．10．已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为【答案】AB【分析】根据题意，结合圆台的几何结构特征，逐项计算，即可求解.【解析】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；对于B中，因为，且母线长为，所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为，当截面为轴截面时，，则，所以，当时，，所以D不正确.故选：AB.11．在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ）A．直线与直线一定异面 B．直线与直线一定垂直C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面垂直【答案】BCD【分析】当点与重合时，即可判断A；转化为证明平面,即可判断B；当点与重合时，利用线线平行，即可证明线面平行，即可判断C；当与重合时，即可证明线面垂直.【解析】对于A：当与重合时，，故A错误对于B：因为平面，且平面，所以又因为，且，平面,所以平面,平面，所以，故B正确; 对于C：当与重合时，，面，平面所以平面，故C正确； 对于D：当与重合时，连结 因为，且平面，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ） A．直线，为异面直线B．直线与平面所成角的正切值为C．过点，，的平面截正方体的截面面积为D．三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【分析】通过证明判断A，说明直线与平面所成角是并计算其正切值判断B，作出过点，，的平面截正方体的截面求出其面积判断C，作出三棱锥外接球的球心，求出半径得表面积判断D．【解析】选项A，连接，因为分别是中点，迥，又正方体中，所以，所以四点共面，从而直线，为共面直线，A错； 选项B，连接，由平面知直线与平面所成角是，，，B正确； 选项C，延长交的延长于，连接，，，正方体中易证，因为，是中点，是中点，所以，从而，，所以是平行四边形，，所以直线是平面与平面的交线，因此过点，，的平面截正方体的截面与侧面只有一个公共点，四边形即为截面，由已知它是一个等腰梯形，腰，，，因此其面积为．C正确． 选项D，在正方形中，取中点，过作的平行线交于，而是的垂直平分线，因此是的外心，易得是的四等分点，由于正方体中侧面，因此作交侧面于，则且侧面即平面，所以的中点是三棱锥外接球的球心，，所以外接球表面积为，D正确． 故选：BCD．三、填空题13．已知两个不重合的平面，若直线，请加一个条件 ，使得.【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用面面垂直的判定定理求解即得.【解析】由面面垂直的判定定理知，两个不重合的平面，若直线，，则，所以添加的一个条件是.故答案为：14．三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 .【答案】30°【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解.【解析】由题可得，即，如图：平面ABC，平面ABC，，又，，PC，平面PAC，平面PAC，而平面PAC，，即为二面角的平面角，在直角三角形PCA中，，可得故答案为：15．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .【答案】【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【解析】设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.16．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面为的中点，点分别在线段上运动，当最小时，三棱锥的体积为 ． 【答案】【分析】展开图将其平面化，再利用平面上“两点之间线段最短得到最小值，再由三角形相似得到点为线段的中点和点为线段的中点，最后由三棱锥的体积公式计算得到.【解析】将平面沿直线翻折，使得平面与平面在同一平面上，如图所示． 取关于直线对称的点为，连接，分别与交于点，连接，易知此时，因此的最小值为．由可得，因此，故点为线段的中点，由可得，因此，故点为线段的中点，三棱锥的体积．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将平面沿直线翻折，使得平面与平面在同一平面上，将空间问题转化为平面问题，从而得解.四、解答题17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证： (1)平面；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）借助线面垂直判定定理即可得；（2）借助线面垂直性质定理即可得.【解析】（1）四棱锥的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分别是，的中点，，平面，又平面，.18．如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足为M，则，进而得到平面BFG，即的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可.【解析】（1）连接，∵是正方形，，分别是棱，的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵，直线在平面内，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）∵平面，，∴平面，过C在平面内，作，垂足为，则，∵，又直线FG，BF在平面内，∴平面，∴的长是点C到平面的距离，∵中，，∴由等面积可得，∴点C到平面的距离为.19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论；（3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值.【解析】（1）连接，，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面；（2）因为，由余弦定理得，即，解得，因为，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为平面，，所以平面；（3）取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为⊥，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以.20．如图，已知矩形ABCD中，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上. (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)48【分析】（1）且，则平面，由平面，得；（2）由已知且，则平面，又平面，可得平面平面；（3）把求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积即可.【解析】（1）连接，由在平面BCD上的射影O在CD上,得平面， 平面，；又ABCD为矩形，，平面，，则平面，由平面，得；（2）∵为矩形，∴，由（1）知，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴.∵，，∴，∴，故所求三棱锥的体积为48.21．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)存在，(2)2【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．【解析】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面.证明如下：设的中点为N，连接EN，FN，因为，，且，，所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以存在点F，使平面，且.（2）解：在平面图形中，连接CE，则，，所以，如图所示，取BE中点O，连接，则，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以作于M，连接，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角中，，，可得，故二面角的平面角的正切值为．22．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的值为或．【分析】（1）作出二面角的平面角，求得相关线段长，解三角形可得答案；（2）证明为三棱锥的高，根据棱锥的体积公式可求得，即可求得答案；（3）假设直线上存在点M，使平面，讨论N点的位置，根据三角形相似以及线面平行的性质，即可求得的值，即得答案.【解析】（1）∵四边形，为两个全等的等腰梯形，且，过点E作，，分别交，于G、H，连接， ∴为二面角的平面角，∵四边形为正方形，∴，，则四边形为矩形，故；又，，，则，同理，则，∴，即二面角的大小为.（2）过点E作，垂足为O．∵，平面，平面，∴平面，∵，，∴∵平面，∴平面，∵平面，∴∵平面，∴平面，∴为三棱锥的高，由（1）可得，故，∵，∴.（3）假设直线上存在点M，使平面，当N在线段上时，连接交于R，连接， 则∽，所以，∵平面，平面，平面平面∴，∴；当点N在延长线上时，连接交于S，连接， 则∽，则，∵平面，平面，平面平面．∴，所以， 综上，在直线上存在点M，使平面，的值为或．一、单选题1．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为【答案】D【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解析】对A：连接，作图如下：因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，故可得，则，故A正确；对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C：取的中点分别为，连接，作图如下：容易知在△中，，又，，面面，故面面，又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段；又因为为正方体，故面面，故，则当与重合时，，故C正确；对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即，在中，，故，而当直线与直线BC所成的角为时，，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.故选：D.2．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可．【解析】如图，不妨记正方体为，，，故四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，，因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即为平面与平面的距离，则，由正方体棱长为得，由题意得，为等边三角形，故，根据，得，解得，根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.3．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.【解析】设，，由题设.三棱锥中，，，，将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，则有，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以外接球表面积.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解.4．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，结合线面垂直的判定方式，面面垂直的判定方法，线面平行的判定方法等逐个分析即可.【解析】 对（1）：因为平面，平面，所以，又，、平面，,所以平面，又因为平面，所以，取中点为，则，所以，即，又、平面，，故平面，故（1）正确；对（2）：因为，，所以为二面角的平面角，因为，所以，故（2）错误；对（3）、（4）：取中点为，延长至，使，连接，则，根据棱台特点知点四点共面，又因为平面平面，平面平面，平面平面，则，则，则点四点共面，若平面，平面平面，平面，则，与条件不符，故（3）错误；又且，所以，又 平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又,故平面平面，又平面，所以平面，故（4）正确.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理作辅助线，结合线面平行、面面平行以及线面垂直的判定与性质并结合反证法证明即可.5．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）A．CH的长是定值B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C．当时，三棱锥的体积为D．点H到面的最大距离为【答案】B【分析】对于A，取的中点G，由四边形是平行四边形，可得，进而求出CH；对于B，取AE的中点O，由外接球的性质可知，点O即为三棱锥外接球的球心，进而求出外接球的表面积；对于C，由即可求出结果；对于D，点D到面的距离为h，则点H到面的距离为，由得，当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，进而求出结果.【解析】取的中点G，连接GH，GE，则，且，又，且，所以，且，是平行四边形，，而，故A正确；对于B，取AE的中点O，连接，所以，即点O为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；对于C，连接，连接，，即，所以，即分别为的中点，，．又M为DE的中点，，，又平面，又，又平面CFH，，故C正确；对于D，令点D到面的距离为h，因为H为中点，所以点H到面的距离为．因为，因为三棱锥的底面积是定值，所以当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，取AE的中点O，连接，则平面ABE，所以，即，解得，所以点H到面的最大距离为，故D正确．故选：B．二、多选题6．已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为【答案】ABD【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系能求出截面多边形的周长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点，即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面所成角．【解析】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，对A,连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形，由，为中点，则，，，同理，又，，因此周长为，故B正确．对B,易知，，，，又，故，截面多边形的面积为，故B正确；对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，这个五边形没有外接圆，故C错误；对D,，，，，，，根据二面角的定义得是截面与底面所成角，，，根据余弦定理得，，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛:本题考查正方体的截面问题，关键是利用平面延展确定平面形状，并结合对称性确定跟各棱的交点位置并计算.7．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为【答案】AC【分析】由线面平行的判定定理可判断A；求出三棱锥的体积可判断B；由平面平面可证得，由此求出可判断C；求出三棱锥的外接球的半径可判断D.【解析】对于A，取的中点，连接，∵E，F分别是，的中点，∴，∵平面，不包含于平面，∴平面，故A正确；对于B，易得，为等边三角形，取的中点，连接，，则，，，∴，则点到平面的距离为，∴三棱锥的体积，故B错误；对于C，当平面平面时，平面平面，因为为等边三角形，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以，∴，故C正确；对于D，设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，，易得平面，平面，且，，，四点共面，，，在中，，又，则三棱锥外接球半径，故D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：求棱锥外接球的半径的方法是借用图形，寻找直角三角形（外接球的球心、截面圆的圆心、截面圆的内接三角形的顶点所构成的直角三角形），适时运用勾股定理或解三角形，得到外接球的半径R所满足的方程（组）.三、填空题8．三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求解，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2.【解析】由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图由等体积法求，，即.又由，即，所以；的外接圆半径为，故点到平面的距离为，由于，所以在三棱锥的外部，故球内含于球，且，所以.故答案为：，【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.9．四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为 ．【答案】【分析】先找出和，因为平面知，二面角的平面角可由三垂线法作出，再用表示出和，代入，解方程即可.【解析】 由平面，连接，则是在面内是射影，则直线与平面所成的角为，平面，平面，；又底面是正方形，，而平面，所以平面，连接，过点D在平面内作于F，连接故是二面角的平面角，即.在中，，在中，，从而；在中，.由，得，所以，由，解得，即为所求.故答案为：四、解答题10．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；（3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【解析】（1）因为ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：因为，面，面，所以面，又因为面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角． 设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．11．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．(1)求证：直线平面；(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，从而，得到线面平行；（2）先证明出为三等分点，然后运用余弦定理求出可得；（3）因为在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【解析】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又与互相垂直，,面故面,得.即为直角三角形，在中，为中点，，所以为的三等分点，设，由余弦定理可得：解之：，所以故⊥平面，在中，.与所成的角为（3）过作于，过作于，连为直截面，小球半径为的内切圆半径因为，所以，故AC⊥BC，则设所以，由解得，；由最小角定理由面,易知，内切圆半径为：则【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.
专题04 立体几何初步（重点+难点）一、单选题1．下列说法错误的是（ ）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形2．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对3．如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为（ ） A． B． C． D．4．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）A．，则B．，则直线，直线C．，则D．，且不共线，则重合5．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ）A． B． C． D．6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）A．4 B．2 C．8 D．67．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）A．直线共面B．C．直线与平面所成角的正切值为D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为98．如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A． B． C． D．二、多选题9．已知两个平面，，及两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则10．已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为11．在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ）A．直线与直线一定异面 B．直线与直线一定垂直C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面垂直12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ） A．直线，为异面直线B．直线与平面所成角的正切值为C．过点，，的平面截正方体的截面面积为D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题13．已知两个不重合的平面，若直线，请加一个条件 ，使得.14．三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 .15．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .16．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面为的中点，点分别在线段上运动，当最小时，三棱锥的体积为 ． 四、解答题17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证： (1)平面；(2)．18．如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.20．如图，已知矩形ABCD中，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上. (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.21．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.22．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．一、单选题1．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为2．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）A． B． C． D．3．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．4．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）A．CH的长是定值B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C．当时，三棱锥的体积为D．点H到面的最大距离为二、多选题6．已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为7．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为三、填空题8．三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 9．四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为 ．四、解答题10．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．11．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．(1)求证：直线平面；(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．专题04 立体几何初步（重点+难点）一、单选题1．下列说法错误的是（ ）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B2．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对【答案】B【分析】AC可举出反例；B选项，根据线面平行的判定定理得到B正确.【解析】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出，A错误；B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误.C选项，如图，，平行于同一条直线，但，不平行，C错误；故选：B3．如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直观图中上的高，即可求出，从而求出，即可得解.【解析】在直观图中，因为边长为的等边，所以上的高，∴，∴在原图中，上的高.故选：A4．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）A．，则B．，则直线，直线C．，则D．，且不共线，则重合【答案】C【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解.【解析】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确；对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确；对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确；对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确.故选：C.5．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.【解析】如图，连接，则，正四棱柱的体积为，则，则，则为异面直线与所成角，则，，故.故选：D 6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】A【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解.【解析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，则石磨的侧面积为，解得.故选：A.7．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）A．直线共面B．C．直线与平面所成角的正切值为D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】D【分析】对于A项，一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C项，充分利用正方体条件，找到直线与平面所成的角，在三角形中求解即得；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【解析】 对于A项，如图①，分别连接,,在正方体中，易得矩形,故有，又E， G分别是棱的中点，则,故,即可确定一个平面，故A项正确；对于B项，如图②，,故B项正确；对于C项，如图③，连接,因平面，故直线与平面所成角即,在中，,故C项正确；对于D项，如图④，连接,易得,因平面平面，则为过点B，E，F的平面与平面的一条截线，即过点B，E，F的平面即平面.由可得四边形为等腰梯形，故其面积为： ，即D项错误.故选：D.8．如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意画出图形,因为与平面所成角为,平面与平面所成锐角为,与平面所成角为分别求出和,,结合图形分别比较和和,即可求出答案.【解析】如图,过作,在中,由,可得．由等积法可得,则 平面平面,且,可得平面 ．画出底面平面图:在,由余弦定理可得: ,故 结合图像可知: ,可得: , 可得 ┄①过作,垂足为,连接，则为平面与平面所成的锐角． 到的距离,由底面图像可知: 即┄②由①②可得: 都是锐角,根据正切函数单调性可知: 故选:A.【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法.在立体图形中某个平面内的线段较多且关系复杂时,可画出其平面图形进行求解.解题关键是求,和.考查空间想象能力与逻辑思维能力,是中档题．二、多选题9．已知两个平面，，及两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，，，则【答案】AB【分析】根据面面垂直性质定理判定A；由题可得，即可判断选项B；由面面平行判定定理可判断选项C，举反例判断D．【解析】对于A，若，，，，由面面垂直性质定理得，故A正确；对于B，，，，又，，故B正确；对于C，缺少条件与相交，则平面与平面不一定平行，故C错误；对于D，若，，符合，，但不成立，故D错误．故选：AB．10．已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为【答案】AB【分析】根据题意，结合圆台的几何结构特征，逐项计算，即可求解.【解析】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；对于B中，因为，且母线长为，所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为，当截面为轴截面时，，则，所以，当时，，所以D不正确.故选：AB.11．在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ）A．直线与直线一定异面 B．直线与直线一定垂直C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面垂直【答案】BCD【分析】当点与重合时，即可判断A；转化为证明平面,即可判断B；当点与重合时，利用线线平行，即可证明线面平行，即可判断C；当与重合时，即可证明线面垂直.【解析】对于A：当与重合时，，故A错误对于B：因为平面，且平面，所以又因为，且，平面,所以平面,平面，所以，故B正确; 对于C：当与重合时，，面，平面所以平面，故C正确； 对于D：当与重合时，连结 因为，且平面，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ） A．直线，为异面直线B．直线与平面所成角的正切值为C．过点，，的平面截正方体的截面面积为D．三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【分析】通过证明判断A，说明直线与平面所成角是并计算其正切值判断B，作出过点，，的平面截正方体的截面求出其面积判断C，作出三棱锥外接球的球心，求出半径得表面积判断D．【解析】选项A，连接，因为分别是中点，迥，又正方体中，所以，所以四点共面，从而直线，为共面直线，A错； 选项B，连接，由平面知直线与平面所成角是，，，B正确； 选项C，延长交的延长于，连接，，，正方体中易证，因为，是中点，是中点，所以，从而，，所以是平行四边形，，所以直线是平面与平面的交线，因此过点，，的平面截正方体的截面与侧面只有一个公共点，四边形即为截面，由已知它是一个等腰梯形，腰，，，因此其面积为．C正确． 选项D，在正方形中，取中点，过作的平行线交于，而是的垂直平分线，因此是的外心，易得是的四等分点，由于正方体中侧面，因此作交侧面于，则且侧面即平面，所以的中点是三棱锥外接球的球心，，所以外接球表面积为，D正确． 故选：BCD．三、填空题13．已知两个不重合的平面，若直线，请加一个条件 ，使得.【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用面面垂直的判定定理求解即得.【解析】由面面垂直的判定定理知，两个不重合的平面，若直线，，则，所以添加的一个条件是.故答案为：14．三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 .【答案】30°【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解.【解析】由题可得，即，如图：平面ABC，平面ABC，，又，，PC，平面PAC，平面PAC，而平面PAC，，即为二面角的平面角，在直角三角形PCA中，，可得故答案为：15．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .【答案】【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【解析】设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.16．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面为的中点，点分别在线段上运动，当最小时，三棱锥的体积为 ． 【答案】【分析】展开图将其平面化，再利用平面上“两点之间线段最短得到最小值，再由三角形相似得到点为线段的中点和点为线段的中点，最后由三棱锥的体积公式计算得到.【解析】将平面沿直线翻折，使得平面与平面在同一平面上，如图所示． 取关于直线对称的点为，连接，分别与交于点，连接，易知此时，因此的最小值为．由可得，因此，故点为线段的中点，由可得，因此，故点为线段的中点，三棱锥的体积．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将平面沿直线翻折，使得平面与平面在同一平面上，将空间问题转化为平面问题，从而得解.四、解答题17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证： (1)平面；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）借助线面垂直判定定理即可得；（2）借助线面垂直性质定理即可得.【解析】（1）四棱锥的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分别是，的中点，，平面，又平面，.18．如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． (1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足为M，则，进而得到平面BFG，即的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可.【解析】（1）连接，∵是正方形，，分别是棱，的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵，直线在平面内，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）∵平面，，∴平面，过C在平面内，作，垂足为，则，∵，又直线FG，BF在平面内，∴平面，∴的长是点C到平面的距离，∵中，，∴由等面积可得，∴点C到平面的距离为.19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论；（3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值.【解析】（1）连接，，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面；（2）因为，由余弦定理得，即，解得，因为，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为平面，，所以平面；（3）取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为⊥，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以.20．如图，已知矩形ABCD中，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上. (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)48【分析】（1）且，则平面，由平面，得；（2）由已知且，则平面，又平面，可得平面平面；（3）把求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积即可.【解析】（1）连接，由在平面BCD上的射影O在CD上,得平面， 平面，；又ABCD为矩形，，平面，，则平面，由平面，得；（2）∵为矩形，∴，由（1）知，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴.∵，，∴，∴，故所求三棱锥的体积为48.21．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)存在，(2)2【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．【解析】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面.证明如下：设的中点为N，连接EN，FN，因为，，且，，所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以存在点F，使平面，且.（2）解：在平面图形中，连接CE，则，，所以，如图所示，取BE中点O，连接，则，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以作于M，连接，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角中，，，可得，故二面角的平面角的正切值为．22．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的值为或．【分析】（1）作出二面角的平面角，求得相关线段长，解三角形可得答案；（2）证明为三棱锥的高，根据棱锥的体积公式可求得，即可求得答案；（3）假设直线上存在点M，使平面，讨论N点的位置，根据三角形相似以及线面平行的性质，即可求得的值，即得答案.【解析】（1）∵四边形，为两个全等的等腰梯形，且，过点E作，，分别交，于G、H，连接， ∴为二面角的平面角，∵四边形为正方形，∴，，则四边形为矩形，故；又，，，则，同理，则，∴，即二面角的大小为.（2）过点E作，垂足为O．∵，平面，平面，∴平面，∵，，∴∵平面，∴平面，∵平面，∴∵平面，∴平面，∴为三棱锥的高，由（1）可得，故，∵，∴.（3）假设直线上存在点M，使平面，当N在线段上时，连接交于R，连接， 则∽，所以，∵平面，平面，平面平面∴，∴；当点N在延长线上时，连接交于S，连接， 则∽，则，∵平面，平面，平面平面．∴，所以， 综上，在直线上存在点M，使平面，的值为或．一、单选题1．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（ ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为【答案】D【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解析】对A：连接，作图如下：因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，故可得，则，故A正确；对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C：取的中点分别为，连接，作图如下：容易知在△中，，又，，面面，故面面，又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段；又因为为正方体，故面面，故，则当与重合时，，故C正确；对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即，在中，，故，而当直线与直线BC所成的角为时，，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.故选：D.2．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可．【解析】如图，不妨记正方体为，，，故四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，，因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即为平面与平面的距离，则，由正方体棱长为得，由题意得，为等边三角形，故，根据，得，解得，根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.3．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.【解析】设，，由题设.三棱锥中，，，，将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，则有，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以外接球表面积.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解.4．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，结合线面垂直的判定方式，面面垂直的判定方法，线面平行的判定方法等逐个分析即可.【解析】 对（1）：因为平面，平面，所以，又，、平面，,所以平面，又因为平面，所以，取中点为，则，所以，即，又、平面，，故平面，故（1）正确；对（2）：因为，，所以为二面角的平面角，因为，所以，故（2）错误；对（3）、（4）：取中点为，延长至，使，连接，则，根据棱台特点知点四点共面，又因为平面平面，平面平面，平面平面，则，则，则点四点共面，若平面，平面平面，平面，则，与条件不符，故（3）错误；又且，所以，又 平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又,故平面平面，又平面，所以平面，故（4）正确.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理作辅助线，结合线面平行、面面平行以及线面垂直的判定与性质并结合反证法证明即可.5．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）A．CH的长是定值B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为C．当时，三棱锥的体积为D．点H到面的最大距离为【答案】B【分析】对于A，取的中点G，由四边形是平行四边形，可得，进而求出CH；对于B，取AE的中点O，由外接球的性质可知，点O即为三棱锥外接球的球心，进而求出外接球的表面积；对于C，由即可求出结果；对于D，点D到面的距离为h，则点H到面的距离为，由得，当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，进而求出结果.【解析】取的中点G，连接GH，GE，则，且，又，且，所以，且，是平行四边形，，而，故A正确；对于B，取AE的中点O，连接，所以，即点O为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；对于C，连接，连接，，即，所以，即分别为的中点，，．又M为DE的中点，，，又平面，又，又平面CFH，，故C正确；对于D，令点D到面的距离为h，因为H为中点，所以点H到面的距离为．因为，因为三棱锥的底面积是定值，所以当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，取AE的中点O，连接，则平面ABE，所以，即，解得，所以点H到面的最大距离为，故D正确．故选：B．二、多选题6．已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为【答案】ABD【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系能求出截面多边形的周长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点，即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面所成角．【解析】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，对A,连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形，由，为中点，则，，，同理，又，，因此周长为，故B正确．对B,易知，，，，又，故，截面多边形的面积为，故B正确；对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，这个五边形没有外接圆，故C错误；对D,，，，，，，根据二面角的定义得是截面与底面所成角，，，根据余弦定理得，，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛:本题考查正方体的截面问题，关键是利用平面延展确定平面形状，并结合对称性确定跟各棱的交点位置并计算.7．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为【答案】AC【分析】由线面平行的判定定理可判断A；求出三棱锥的体积可判断B；由平面平面可证得，由此求出可判断C；求出三棱锥的外接球的半径可判断D.【解析】对于A，取的中点，连接，∵E，F分别是，的中点，∴，∵平面，不包含于平面，∴平面，故A正确；对于B，易得，为等边三角形，取的中点，连接，，则，，，∴，则点到平面的距离为，∴三棱锥的体积，故B错误；对于C，当平面平面时，平面平面，因为为等边三角形，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以，∴，故C正确；对于D，设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，，易得平面，平面，且，，，四点共面，，，在中，，又，则三棱锥外接球半径，故D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：求棱锥外接球的半径的方法是借用图形，寻找直角三角形（外接球的球心、截面圆的圆心、截面圆的内接三角形的顶点所构成的直角三角形），适时运用勾股定理或解三角形，得到外接球的半径R所满足的方程（组）.三、填空题8．三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求解，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2.【解析】由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图由等体积法求，，即.又由，即，所以；的外接圆半径为，故点到平面的距离为，由于，所以在三棱锥的外部，故球内含于球，且，所以.故答案为：，【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.9．四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且（），二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则的值为 ．【答案】【分析】先找出和，因为平面知，二面角的平面角可由三垂线法作出，再用表示出和，代入，解方程即可.【解析】 由平面，连接，则是在面内是射影，则直线与平面所成的角为，平面，平面，；又底面是正方形，，而平面，所以平面，连接，过点D在平面内作于F，连接故是二面角的平面角，即.在中，，在中，，从而；在中，.由，得，所以，由，解得，即为所求.故答案为：四、解答题10．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；（3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【解析】（1）因为ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：因为，面，面，所以面，又因为面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角． 设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．11．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．(1)求证：直线平面；(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，从而，得到线面平行；（2）先证明出为三等分点，然后运用余弦定理求出可得；（3）因为在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【解析】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又与互相垂直，,面故面,得.即为直角三角形，在中，为中点，，所以为的三等分点，设，由余弦定理可得：解之：，所以故⊥平面，在中，.与所成的角为（3）过作于，过作于，连为直截面，小球半径为的内切圆半径因为，所以，故AC⊥BC，则设所以，由解得，；由最小角定理由面,易知，内切圆半径为：则【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.
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