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40几何法求线面角与二面角，面面角【7类题型】- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）
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专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角二面角的解法是立体几何的一个重点内容，它能有效地培养学生的空间想象、几何直观、逻辑推理、运算求解等能力。如果教师能引导学生一题多解，更能充分提升他们思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性等，进而促进创新思维的形成。总览题型解读题目均选自大市统考或名校试卷 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc164169242" 【题型1】 点到平面距离的相关计算 PAGEREF _Toc164169242 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc164169243" 【题型2】 求线面角 PAGEREF _Toc164169243 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc164169244" 【题型3】 求二面角与面面角 PAGEREF _Toc164169244 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc164169245" 【题型4】 已知线面角求其它量 PAGEREF _Toc164169245 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc164169246" 【题型5】 由二面角求其它量 PAGEREF _Toc164169246 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc164169247" 【题型6】 一题多解 PAGEREF _Toc164169247 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc164169248" 【题型7】 动点与线面角，二面角 PAGEREF _Toc164169248 \h 24【题型1】 点到平面距离的相关计算定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。作用：(1)求几何体的体积；(2)求直线与平面所成的角：(3)求二面角方法一：直接法，根据题意得到平面外一点在平面内的射影，建立三角形，解出长度方法二：等体积法方法三：利用垂直的性质定理，找出点在平面内的射影（2023·重庆西南大学附属中学·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】（22-23高一下·重庆渝中·期中）如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上. (1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值；(2)当最小时，求点到平面的距离．【巩固练习2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【题型2】 求线面角线面角定义：AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，BC是直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．线面角的取值范围：求解线面角方法：1.直接法根据线面角的定义，斜线与射影所成的角即为线面角，直接法根据垂线，斜线，射影构成的直角三角形解题.2.等体积法对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度h，斜线长l，则sinθ=h/l.3.转化法垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面进行转化或者按比例进行转化.4.投影法斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.5.角度互余利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.6.补体法把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.（2023·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为 ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为 . （2023·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为 . （2023·巴蜀中学·期末）如图；正四棱柱中；；点为的中点． (1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成线面角的正弦值．（2023·长沙一中期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC(1)证明：平面平面PAC(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【巩固练习1】（2023·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【巩固练习2】（2023·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 .【巩固练习4】（2023·广东·期末）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，． (1)证明：直线CM⊥平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【巩固练习3】（2023·重庆七校联考·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且. (1)求证:平面平面；(2)已知.求直线和平面所成角的正弦值.【题型3】 求二面角与面面角二面角的平面角是立体几何中的一个核心概念，也是高考的重点考查目标.因此厘清如何求解二面角的平面角，明晰求解二面角平面角的常用途径与方法便显得尤为重要.1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角与面面角的区别二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角4、大小范围二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围面面角：两个平面的夹角，范围5、求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．6、常用方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值，即补充：即使交线没有画出来也可以直接用（2023·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值．（2023·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面.(1)求证：面；(2)求二面角的余弦值.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.(1)证明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【巩固练习1】（2023·重庆一中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． (1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【巩固练习2】（2023·湖北黄冈、黄石、鄂州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点．．点在底面的射影恰好是边的中点． (1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．【巩固练习3】（2023·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，面为棱上一动点.(1)平面与平面是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若为的中点，求二面角的余弦值.【巩固练习4】（2023·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点. (1)证明：平面平面；(2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值.【巩固练习5】（2023·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. (1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求与平面所成角的正弦值.【巩固练习6】（2023·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，(1)证明：平面平面ABCD；(2)当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．【题型4】 已知线面角求其它量 如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，E，F分别为棱PC，BA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：平面.；(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．【巩固练习1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点． (1)求证：；(2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积．【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面． (1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．【巩固练习3】如图1，在等腰直角中，，，分别是，的中点，为线段上一点（不含端点），将沿翻折到的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，且． (1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的正切值．【巩固练习4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. (1)求证：；(2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小.【巩固练习5】在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．(1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【题型5】 由二面角求其它量 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．（2023·汕头市·期末）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.（2023·广东佛山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，． (1)证明：平面平面；(2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．（2023·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)当时，求直线与平面所成角的大小；(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．【答案】(1)证明见解析；(2)1．【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．【巩固练习1】（2023·衡阳市一中·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，. (1)设平面平面，证明：.(2)E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.【巩固练习2】（2023·湖北武汉5G·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；(2)设平面与平面的交线为，证明面；(3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.【巩固练习3】（2023·湖北武汉外国语·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且， (1)若，求和所成角的余弦值；(2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求出的最大值，并指出此时的取值【巩固练习4】（2023·重庆育才中学·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点．(1)试证：平面；(2)设，且二面角的平面角大于，求k的取值范围．【题型6】 一题多解 如今的高中数学教学重在培养学生的思维能力，重在培养他们的核心素养。“一题多解”能激发学生自主思考，能让他们逐步学会分析问题，进而提升他们的创新思维。因此教师可以二面角的解法作为出发点，基于变式教学理论，以图一的问题为例，以一题多解为展示的主要方式，最终促成创新能力的生长。如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点，如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知，AD⊥CD，，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD；(2)若求平面PBC与平面夹角的余弦值(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：BE⊥平面PCD； （2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. 求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【题型7】 动点与线面角，二面角（多选）如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点P，使平面B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值取值范围是【答案】BC【分析】利用向量法或几何法，根据线面垂直、两点间的距离、几何体的体积、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】记棱中点分别为，易知平面，而平面则，若平面，平面，则，由平面，所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.故A错误. 连接，易知，，设正方体棱长为2，知，，记，则，，由，得.故B正确. 为定值.故C正确.过点作于点，易知，过点作于点，知平面，所以，则二面角的平面角为，现在中求解.设正方体棱长为2，，则，，只需求取值范围即可：记，则，分析易知在时取到最大值，此时，在时取到最小值，此时，又即，即，所以即，. 【巩固练习】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. 的最小值为C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D. 与所成角的取值范围为 专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角二面角的解法是立体几何的一个重点内容，它能有效地培养学生的空间想象、几何直观、逻辑推理、运算求解等能力。如果教师能引导学生一题多解，更能充分提升他们思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性等，进而促进创新思维的形成。总览题型解读题目均选自大市统考或名校试卷 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc164169242" 【题型1】 点到平面距离的相关计算 PAGEREF _Toc164169242 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc164169243" 【题型2】 求线面角 PAGEREF _Toc164169243 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc164169244" 【题型3】 求二面角与面面角 PAGEREF _Toc164169244 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc164169245" 【题型4】 已知线面角求其它量 PAGEREF _Toc164169245 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc164169246" 【题型5】 由二面角求其它量 PAGEREF _Toc164169246 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc164169247" 【题型6】 一题多解 PAGEREF _Toc164169247 \h 61 HYPERLINK \l "_Toc164169248" 【题型7】 动点与线面角，二面角 PAGEREF _Toc164169248 \h 70【题型1】 点到平面距离的相关计算定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。作用：(1)求几何体的体积；(2)求直线与平面所成的角：(3)求二面角方法一：直接法，根据题意得到平面外一点在平面内的射影，建立三角形，解出长度方法二：等体积法方法三：利用垂直的性质定理，找出点在平面内的射影（2023·重庆西南大学附属中学·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，证得平面，取的中点，连接，证得平面，过点作，证得平面，从而得到平面，得到为点到平面的距离，结合，即可求解.【详解】如图所示，过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，取的中点，连接，因为为的中点，可得，所以平面，过点作，因为四边形为矩形，可得，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，取的中点，连接，因为为的中点，所以，所以平面，即为点到平面的距离，在矩形中，因为，可得，则，可得，又由，可得，解得，又由，即点到平面的距离为.故答案为：. 【巩固练习1】（22-23高一下·重庆渝中·期中）如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上. (1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值；(2)当最小时，求点到平面的距离．【答案】(1)在线段的四分点处，靠近点；；(2)【分析】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，的值最小即可求得最小值，从而确定点的位置；（2）利用等体积法求点面距离即可.【详解】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，的值最小，最小值为，此时，，即，所以在线段的四分点处，靠近点 ；（2）由正棱柱的性质可得: ，所以，则.，又，点D到平面的距离为，设点到平面的距离为，由得，，即，解得: .【巩固练习2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证；（2）根据线面平行可得，由等体积法求解.【详解】（1）在三棱柱中，，取中点F，连接DF，EF，∵D和E分别是和的中点，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面， ∴面//平面，而面DEF，故直线//平面．法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图，在三棱柱中，，，∴，，∴，则，又面，面，∴直线平面.（2）如图，∵直线//平面，∴，又，所以平行四边形边上的高，由B到面的高，则.【题型2】 求线面角线面角定义：AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，BC是直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．线面角的取值范围：求解线面角方法：1.直接法根据线面角的定义，斜线与射影所成的角即为线面角，直接法根据垂线，斜线，射影构成的直角三角形解题.2.等体积法对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度h，斜线长l，则sinθ=h/l.3.转化法垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面进行转化或者按比例进行转化.4.投影法斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.5.角度互余利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.6.补体法把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.（2023·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为 ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线线垂直得到线面垂直，得到异面直线的夹角，再作出辅助线，找到线面角，设出正方形边长，求出各边长，求出线面角的正弦值.【详解】折叠后可得⊥，⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为； 取的中点，连接，过点作⊥于点，因为，，所以⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则，故，所以，因为，由勾股定理得，则.故答案为：；（2023·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】【分析】将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出直线与平面所成角的正弦值.【详解】如图所示:将多面体放置于正方体中,连接,设的中点为,连接, 因为分别为中点,所以,且,则四边形为平行四边形,所以,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角,又平面,所以直线与平面所成角即为,设正方体的棱长为,则,所以,即直线与平面所成角的正弦值为.（2023·巴蜀中学·期末）如图；正四棱柱中；；点为的中点． (1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成线面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设和交于点，则为的中点，连接，可得，可得直线平面；（2）设，利用等体积法可求点到平面的距离为，进而利用直线与平面所成线面角与直线与平面所成线面角相等，可求直线与平面所成线面角的正弦值．【详解】（1）证明：设和交于点，则为的中点，连接， 是的中点，，又平面，平面，直线平面，（2）设，则三角形为正三角形，，，设点到平面的距离为，由等体积法：，所以，则，由点为中点，所以点，到平面距离相等，由，所以直线与平面所成线面角与直线与平面所成线面角相等，设直线与平面所成线面角为，所以，直线与平面所成线面角的正弦值为．（2023·长沙一中期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC(1)证明：平面平面PAC(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角求解.【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC；（2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为.【巩固练习1】（2023·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析,(2)【分析】（1）利用三角形的边角关系，可得线线垂直，进而可得线面垂直，由线面垂直即可得面面垂直，（2）根据面面垂直得性质可得线面垂直，即可由线面角的几何法结合三角形的边角关系即可求解.【详解】（1）证明：取的中点F，连接、、，在直角梯形中，，所以又，,又是边长为2的正三角形，所以，，所以，则．由题意知，，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）过D作交于H，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线与平面所成角，设点D到平面的距离为d，由于,则，连接，在中，因为，，由余弦定理可得．又为直角三角形，于是，设直线与平面所成角为，则，又，所以． . 【巩固练习2】（2023·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 .【答案】 /【分析】空1：取的中点，连接，则可得为直线与平面所成角，然后在中求解即可；空2：分别取的中点，连接，则可得（或其补角）为直线与直线所成角，然后在中求解即可.【详解】空1：取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为正三棱柱的各条棱长都是2，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值为，空2：分别取的中点，连接，则∥，，∥，，所以（或其补角）为直线与直线所成角，连接，则，在中，由余弦定理得，因为异面直线所成的角的范围为，所以直线与直线所成角的余弦值为，故答案为：；. 【巩固练习4】（2023·广东·期末）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，． (1)证明：直线CM⊥平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直，再找出一个线线垂直即可证明线面垂直；（2）根据（1）中的证明直接找出线面角，结合几何关系求解正弦值再得到角的大小.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为M是AB的中点，，所以，又因为平面，，所以直线CM⊥平面（2）连接由（1）知，直线CM⊥平面，所以即直线与平面所成角， 因为平面，平面，所以，又因为，所以在正方形中，，因为，M是AB的中点，，所以，，所以，因为CM⊥平面，平面，所以，在直角三角形中，，又因为，所以，即直线与平面所成角的大小为【巩固练习3】（2023·重庆七校联考·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且. (1)求证:平面平面；(2)已知.求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析.(2).【分析】（1）由线线垂直可得平面再由面面垂直的判定可得证；（2）转化法求出点C到平面PAD的距离，再由线面角的定义即可得解.【详解】（1）由题又为中点,,,又，四边形为矩形，则又为正三角形，为中点，,又,平面则平面又，平面又平面平面平面.（2）由（1）知平面平面，平面平面,过点作,交于则平面又中，,过作,交于 可求得则,即，, 即点到平面的距离.又平面,平面，平面,则点到平面的距离即是点到平面的距离，又设直线和平面所成角为，则故直线和平面所成角的正弦值为【题型3】 求二面角与面面角二面角的平面角是立体几何中的一个核心概念，也是高考的重点考查目标.因此厘清如何求解二面角的平面角，明晰求解二面角平面角的常用途径与方法便显得尤为重要.1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角与面面角的区别二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角4、大小范围二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围面面角：两个平面的夹角，范围5、求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．6、常用方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值，即补充：即使交线没有画出来也可以直接用（2023·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证法一：由面面垂直可得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论；证法二：由面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再由等边三角形的性质可得，然后由面面垂直的性质可证得结论；（2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可.【详解】（1）证法一：在正方形中，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面，因为平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，平面，所以平面，证法二：在正方形中，又侧面底面，侧面交底面于，所以平面，又平面，故平面平面，是正三角形，是的中点，所以又平面交平面于，平面，故平面．（2）取，的中点分别为，，连接，，，则，，因为，所以，又在正中，，因为，平面，平面，正方形中，，平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，设正方形的边长，则，，所以，所以，即侧面与底面所成二面角的余弦值为. （2023·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面.(1)求证：面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.（2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可.【详解】（1）由菱形可得，面面，面面，又正方形中，面，又平面，，，平面，面.（2）过作于，则面.过作于，连接，因平面，则，又平面，，故平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，在中，设，，，，，，.即二面角的余弦值为.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.(1)证明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）证明：平面ABCD，，又底面ABCD是菱形，，而，平面，平面PBD，而平面ACE，所以平面平面ACE.（2）观察图可知平面平面PBD，故CE在面PBD内的射影为OE，，，又由（1）可得，，，故是二面角的平面角，菱形ABCD中，，，∴，，又，∴，∴，∴，即二面角的余弦值为.【巩固练习1】（2023·重庆一中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． (1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，再用线线垂直得到线面垂直，进而利用线面垂直性质即可得证；（2）利用二面角平面角定义得出二面角的平面角，求出对应长度即可求出余弦值.【详解】（1）如图，取的中点，连接，，又因为为中点，所以，又因为，所以，即四点共面.因为，所以，又平面，且平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）作交于，连接，又平面，且平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，所以为二面角的平面角，在四边形中，因为，，，所以，由，可得，又，在直角三角形中，，所以，从而，所以二面角的余弦值为. 【巩固练习2】（2023·湖北黄冈、黄石、鄂州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点．．点在底面的射影恰好是边的中点． (1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）首先利用垂直关系证明平面，再根据平行关系，即可证明；（2）首先证明，再根据二面角的定义，构造二面角的平面角，再结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）为正边的中点，．又，，而点在底面的射影恰好是边的中点．即平面，连，，又底面是边长为2的等边三角形，则，而，平面，平面， 连，，且则四边形为平行四边形，，平面． （2）在正中，，，由（1）知，，，，．过点作于，为垂足．连，则，，则为二面角的平面角．如下图，，垂足为点，在等腰中，，，，，．．故二面角的余弦值为． 【巩固练习3】（2023·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，面为棱上一动点.(1)平面与平面是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若为的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)垂直，证明见解析(2).【分析】（1）由平面，得到，再由四边形是正方形，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）连接交于点，过作于点，过作于点，连接，得到为二面角的平面角求解.【详解】（1）垂直，理由如下：证明：平面平面，四边形是正方形，， 平面， 平面，平面，平面， 平面， 平面，平面，平面平面平面.（2）连接交于点，过作于点，过作于点，连接；面，面，又面又面，，面面面面则，综上，为二面角的平面角，为的中点，结合，，设，则，易知，在Rt中，，二面角的余弦值为.【巩固练习4】（2023·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点. (1)证明：平面平面；(2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析，.【详解】（1）因为点C在圆O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC；（2）取的中点，连接，如下图所示： 又点是的中点，所以，平面，平面，所以平面；又是的中点，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面内，所以三点共线，即；所以四边形为直角梯形，易知，作于点，如下图所示： 则，，所以；取的中点为，连接，作交于点，连接由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即为二面角的平面角，也即的平面角；在四边形中，交于点，如下图所示： 易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值为.【巩固练习5】（2023·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. (1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可；（2）根据几何关系，平方后得到，得到，根据余弦定理求解其平面角即可；（3）根据平行关系将所求角转化为与平面所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值.【详解】（1）取中点，连接，因为菱形，，所以为等边三角形，所以，又因为面，，所以面，因为面，所以 （2）因为，，所以，平方得，，即，解得，在中，由余弦定理得，，所以，由（1）可知，是二面角的平面角，在等边中，，同理，在中，由余弦定理，，因为，所以，即二面角的大小为.（3）取中点，连接，则是靠近G的三等分点，则，所以与平面所成角即为所成角，在平面中，作，因为面，面，所以，又因为面，，所以面，所以是与平面所成角，在中，，，所以，在中，由，得，，所以，所以与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习6】（2023·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，(1)证明：平面平面ABCD；(2)当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助三角形全等证得，再利用等腰三角形性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）作出侧面PAB与底面ABCD所成二面角，利用线面平行确定点A到平面PCD的距离，借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.【详解】（1）在四棱锥中，由正方形，得，而，，则，有，又为的中点，，于是，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）在四棱锥中，延长交于，连接，如图，由于正方形的对角线与相交于点，为的中点，则为的中点，有，于是是侧面与底面所成二面角，令，由（1）知平面，而平面，则平面平面，在平面内过作于，而平面平面，于是平面，又平面，平面，则平面，因此点到平面距离等于点到平面距离，由，得，而，在中，由余弦定理得：，又，即有，则，令，显然，，，当且仅当，即时取等号，当时，，，而，从而，所以当点到平面距离最大时，侧面与底面所成二面角的大小为.【题型4】 已知线面角求其它量 如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设与交于点，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可得答案；（2）过作于，由面面垂直的性质定理可得为直线与平面所成的角，由求出、，再求圆锥体积可得答案.【详解】（1）设与交于点，连接，因为，为底面圆两条互相垂直的直径，所以为底面圆的圆心，所以为圆锥的高，所以底面圆，因为底面圆，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）过作于，连接. 由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，则， 因为，所以，所以，则，所以，故该圆锥的体积为. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，E，F分别为棱PC，BA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：平面.；(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取取的中点，连接，证得平面，所以与平面所成的角为，结合题意求得，进而求得四棱柱的体积.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为棱的中点，所以，，又因为为的中点，所以且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，则有，因为平面平面，平面，且平面平面，所以平面，所以与平面所成的角为，因为，则，在直角中，可得，所以，所以. 如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【分析】（1）先判断出当平面时，四棱锥的体积取最大值；然后结合线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理证得平面.（2）判断出与平面所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得.【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点，，，，则平面，平面，，，，平面，平面，则，故当平面时，四棱锥的体积取最大值，，，，平面，因为，，为的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，因此，平面.（2）因为平面，与平面所成角为，因为平面，，所以，，解得，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，解得或.因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在直角梯形中利用勾股定理的逆定理可得，再由平面，得，然后由线面垂直的判定定理可证得平面PAC，从而可得；（2）过点M作于点N，连接BN，可证得平面，则∠MBN为BM与平面所成的角，设，则由已知线面角的正切值可求出，过点N作于点G，连接MG，可得∠MGN为二面角的平面角，从而可求得结果.【详解】（1）证明：因为，，，，所以四边形是直角梯形，且，，故，即．又平面，平面，所以又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以（2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点，证明如下，过点M作于点N，连接BN， 因为平面，平面，所以，因为MN，平面PAD，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则∠MBN为BM与平面所成的角．设，则，，，由得，解得或（舍去）所以M为PD的中点，过点N作于点G，连接MG，因为平面，平面，所以，又，平面MGN，故平面MGN，因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角，在中，，所以，即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为．【巩固练习1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点． (1)求证：；(2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正三棱柱的性质可得，，则由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）由题意可得为与平面所成角，则，再由，可求出棱柱的高，从而可求出棱柱的表面积.【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面，因为为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面,所以平面，因为平面，所以，（2）连接，，由（1）得平面，所以为与平面所成角，所以，因为，为正三角形，所以，,在直角中，，则，得，所以，所以三棱柱的表面积为 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面． (1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理即可得到平面，再由线面垂直的性质定理即可证明；（2）根据面面角的定义，先找出所求的二面角，然后代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以为等边三角形，所以，又四边形为梯形，，则，在中，由余弦定理可知，，根据勾股定理可知，，即．因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面所以．（2）在平面内，延长与相交于点，连接，则为平面与平面的交线，在平面内，过点作，垂足为，连接， 由（1）得，，因为且均在面内，所以面，因为面，所以，又因为且均在面内,所以面，即面,因为面，所以,因为且均在面内,所以面，由面所以,所以,在直角三角形中,在直角三角形中，所以平面与平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角，又因为平面，所以就是与平面所成角，所以，所以，因为，所以．【巩固练习3】如图1，在等腰直角中，，，分别是，的中点，为线段上一点（不含端点），将沿翻折到的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，且． (1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证得，利用线面垂直的判定得到平面，得出，再由，进而证得平面；（2）连接，得到与平面所成的角为，设，结合题意，列出方程求得，即为的中点，过作，得到二面角的平面角为，在直角中，即可求解.【详解】（1）证明：因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面．（2）解：如图所示，连接，因为分别是与的中点，可得，又因为平面，所以直线与平面所成的角为，由直线与平面所成角的正切值为，即，设，则，，所以，解得，即为的中点，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，所以二面角的平面角为，由，，则，所以，因为，所以． 【巩固练习4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. (1)求证：；(2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)为的中点，【详解】（1）因为，，，，所以四边形是直角梯形，且，，故，即.又平面，平面，所以.又，且平面，所以平面，又平面，所以；（2）过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，因为平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则为与平面所成的角.设，则，，，由得解得或（舍去），所以为的中点.过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，故平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，所以，即为的中点，且此时二面角的大小为. 【巩固练习5】在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．(1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得，根据三角形相似可得，即（2）设AB的中点O，首先由已知得底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，得底面ABCD，则为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，根据条件求解即可【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，在与中，∵，∴，由，得，又∵平面AMC，而平面平面 ，平面PBD，∴，∴在中，，∴；（2）设AB的中点O，在正中，，而侧面底面，侧面底面，且平面，∴底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，∴底面ABCD，∴为CM与底面ABCD所成角，∴，设，则，∴，，则在直角梯形ABCD中，，而，则，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，易得，，在梯形ABCD中，由，得，在中，，∴．【题型5】 由二面角求其它量 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，而平面平面，则由面面垂直的性质定理可得面，再由线面垂直的性质定理可得，（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，则可得面，由可得三角形为直角三角形，从而可得为所求的二面角的平面角，所以由，可得，再结合平行关系和是边长为2的等边三角形，可求出三棱锥的体积【详解】（1），为中点，，面，面面，且面面，面，∵面，．（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，因为∥且由（1）知面，所以面，∵面，在中，，，∥，，面为所求的二面角的平面角，，∥，，∥，，，．，．．（2023·汕头市·期末）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，连接，∵且，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.（2023·广东佛山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，． (1)证明：平面平面；(2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）先证明，，可得平面，进而可得结论；（2）过作交于，过作于，连接，先证明平面，可得为二面角的平面角，设，列方程求解即可.【详解】（1）连结，∵侧棱底面，平面，∴．又∵底面是正方形，∴．而且，平面．∴平面．又平面，∴平面平面． （2）过作交于，过作于，连接．在平面中，，，∴，因为底面，∴平面，又平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角．故，则．设，则，，．在Rt中，，∴．在Rt中，，∴．所以，当二面角的余弦值为时，．（2023·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)当时，求直线与平面所成角的大小；(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出，证明出线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，求出，得到答案；（2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，即，设点到平面和边的距离分别为，，由求出，由求出，从而利用求出答案.【详解】（1）延长，交于点，连接． 因为，所以，故为等边三角形，所以，．因为，，所以，．在中，由余弦定理得，所以，所以，所以由勾股定理逆定理得．因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，，平面，所以平面，所以即为直线与平面的所成角，在直角三角形中，，故直线与平面所成角的大小为．（2）过，分别作，的平行线交于点，连接，取的中点，连接．则四边形为平行四边形，由（1）知，，故，因为，，所以．又因为，所以为二面角的平面角，即．在中，因为，，所以为等边三角形，所以，且，．由（1）知，所以，因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，所以⊥平面， 因为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，在中，，，，所以．在中，，，所以，故，所以．易求得．设点到平面和边的距离分别为，，因为，所以，即，所以．在中，，故≌，故，所以，所以．设平面与平面所成二面角的大小为，则．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．【答案】(1)证明见解析；(2)1．【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．【巩固练习1】（2023·衡阳市一中·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，. (1)设平面平面，证明：.(2)E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.【答案】(1)证明见解析，(2)2【分析】（1）根据条件利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）根据条件求出二面角的平面角，再根据二面角的正切值建立方程求出λ的值即可.【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.又平面平面，平面PCD，所以.（2）法一：取AB的中点O，连接PO，交BE于点F，过点O作OH垂直于BD，垂足为H，连接HF.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面OFH，平面OFH，所以平面OFH，平面OFH，所以，所以为二面角的平面角.因为与相似，所以，即，.因为，所以.因为，所以F为的中心，所以E为PA的中点，所以. 法二：取AB的中点O，连接PO，过点E作EG垂直于AB，垂足为G.过点G作GH垂直于BD，垂足为H，连接HE.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面EGH，平面EGH，所以平面EGH，平面EGH，所以，所以为二面角的平面角.由，得，，，，，…由，解得. 【巩固练习2】（2023·湖北武汉5G·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；(2)设平面与平面的交线为，证明面；(3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值；（2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立；（3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值.【详解】（1）如图，连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，在梯形中，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（2）∵，平面，平面，∴面，又面，面面，∴，又面，面，∴面.（3）取的中点，连接、， ∵为的中点，且，，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，又，∴为等边三角形，又，∴为等边三角形，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，过点作，由，则，∴平面，平面，即平面平面，∴，，∴为平面与平面所成的锐二面角，∴.又由，∴，∴，∵，，∵，平面，平面，∴平面，∴为与平面所成的角，，∴，因此，与平面所成角的正弦值为.【巩固练习3】（2023·湖北武汉外国语·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且， (1)若，求和所成角的余弦值；(2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求出的最大值，并指出此时的取值【答案】(1)0(2)；【分析】（1）可先证明，通过平面即可得证；（2）首先利用线面角的定义，以及垂线法，找出和，再用表示出和，代入，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】（1）证明：连接BE，BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD，又 SD平面ABCD， 平面ABCD，所以，因为平面BCD，且，所以，平面BSD对任意的,平面BSD，都有.所以当时，和所成角的余弦值为0. （2）由SD平面ABCD,平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD；又底面ABCD是正方形，CDAD，而SDAD=D，平面SAD 所以CD平面SAD.因为平面SAD所以AECD，连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CFDFCF=F，平面CFD,所以AE平面CFD.因为平面CFD,因为CFAE，故是二面角C-AE-D的平面角，即.在Rt中，，BD=2a，，，；在Rt中， AD=，DE=，，从而；在Rt中，.,，当，即时等号成立，此时的最大值为.所以，即为所求.【巩固练习4】（2023·重庆育才中学·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点．(1)试证：平面；(2)设，且二面角的平面角大于，求k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)k的取值范围为【分析】（1）欲证面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与面内两相交直线垂直，而，，，满足定理条件；（2）连接交于，在底面中，过作，垂足为，连接，根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，求出此角的正切值使该值大于，即可求出的范围．【详解】（1）证明：由已知为直角．故是矩形．从而．又底面，，所以又平面，所以平面故．中，、分别为、的中点，故，从而，面，面由此得面．（2）解：连接交于，连接，在底面中，过作，垂足为，连接，因为，则四边形为平行四边形，所以为中点则，所以底面，故又，平面所以平面，则从而为二面角的平面角．设，则在中，有以下计算，考虑底面的平面图，连接，因，故．在中，因，得．而，．因此，．由知是锐角．故要使，必须，取值范围为【题型6】 一题多解 如今的高中数学教学重在培养学生的思维能力，重在培养他们的核心素养。“一题多解”能激发学生自主思考，能让他们逐步学会分析问题，进而提升他们的创新思维。因此教师可以二面角的解法作为出发点，基于变式教学理论，以图一的问题为例，以一题多解为展示的主要方式，最终促成创新能力的生长。如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点，【答案】【详解】方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）连接，，，，为中点，四边形为正方形，，翻折后，，，；又，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.（2）法1：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，；轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即平面与平面夹角的余弦值为法二：找出交线l，再用三垂线法设平面OMN∩平面OBC=l，由线面平行的性质定理，MN//l，所以l//BD，在平面OBCD内，过点O作 BD 的平行线，即为平面 OMN 与平面 OBCD的交线取OD的中点E，在平面OBCD 内，过点E作EF⊥l于F，连结ME，MF，∵ME∥OA，∴ME⊥平面OBCD，∴∠MFE即为平面OMN与平面OBCD的夹角，易知eq ME=\f(1,2)OA=1, EF=\f(\r(,2),2)OE=\f(\r(,2),2)eq ·tan∠MFE=\f(ME,EF)=\r(,2),eq ·cos∠MFE=\f(\r(,3),3),法三：线线角最快（AC⊥平面OMN,故∠OAC即所求），法四：投影面积法计算量也不大，法五：还可以用定义法：取MN中点G，如图，在四棱锥P－ABCD中，已知，AD⊥CD，，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD；(2)若求平面PBC与平面夹角的余弦值【解析】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF.因为AE是等边的中线，所以.因为E是棱PD的中点，F为PC的中点，所以，且.因为，所以，且，所以四边形ABFE是平行四边形，所以.因为，F为PC的中点，所以，从而.又，平面PCD.（注：无本行三个条件扣1分）所以平面PCD.（2）法1：投影面积法由(1)知AE⊥CD，又AD⊥CD，AD∩AE=A，且AD、AE平面ADP，所以CD⊥平面ADP，从而BA⊥平面ADP所以APBC在平面 PAD上的投影为△PAD．在中，取PC中点F，连结BF，则所以，记平面 PBC与平面PAD所成夹角为θ，(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：BE⊥平面PCD； （2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．【解析】（1）BE∥AF，故DC⊥BE，PD⊥BE(2)法一：先作平面垂线，再做交线垂线（得到直角三角形，勾股+三角形函数）如图，设AD＝2，则PG＝，HG＝，勾股得， 方式二：作2次交线垂线（在两个平面内各作一次交线的垂线）如图，BD⊥BC，再作BH⊥BC，∠DBH即为所求还是设AD=2，则BD=，由勾股可知PC=又因为BE是PC中垂线，故BP=BC=,由相似或三角函数可知再求出DH（勾股可求），用余弦定理方式三：转换成线面角问题过点D作平面PBC的垂线段DH，则由DH⊥BC，又因为DB⊥BC，故∠DBH即为所求由等体积可得：，再由勾股得出BH，如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. 求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【答案】【分析】连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面与平面所成的锐二面角为，求出的正切值即可.【详解】解：连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，所以，平面与平面所成的锐二面角为，因为，，因为平面，平面，所以，，所以，，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.法二：取DO中点M，连接EM，易知ME⊥平面ADC，再作MG⊥DC于G，∠MGE即所求．【题型7】 动点与线面角，二面角（多选）如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点P，使平面B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值取值范围是【答案】BC【分析】利用向量法或几何法，根据线面垂直、两点间的距离、几何体的体积、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】记棱中点分别为，易知平面，而平面则，若平面，平面，则，由平面，所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.故A错误. 连接，易知，，设正方体棱长为2，知，，记，则，，由，得.故B正确. 为定值.故C正确.过点作于点，易知，过点作于点，知平面，所以，则二面角的平面角为，现在中求解.设正方体棱长为2，，则，，只需求取值范围即可：记，则，分析易知在时取到最大值，此时，在时取到最小值，此时，又即，即，所以即，. 【巩固练习】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. 的最小值为C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D. 与所成角的取值范围为 【答案】ABD【解析】如图1，平面，所以A是正确的；如图2，的最小值就是，所以B是正确的；如图3，直线在面的投影为，则直线与平面所成角为，则，，所以C是错误的；如图4，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.故选ABD.
专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角二面角的解法是立体几何的一个重点内容，它能有效地培养学生的空间想象、几何直观、逻辑推理、运算求解等能力。如果教师能引导学生一题多解，更能充分提升他们思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性等，进而促进创新思维的形成。总览题型解读题目均选自大市统考或名校试卷 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc164169242" 【题型1】 点到平面距离的相关计算 PAGEREF _Toc164169242 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc164169243" 【题型2】 求线面角 PAGEREF _Toc164169243 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc164169244" 【题型3】 求二面角与面面角 PAGEREF _Toc164169244 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc164169245" 【题型4】 已知线面角求其它量 PAGEREF _Toc164169245 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc164169246" 【题型5】 由二面角求其它量 PAGEREF _Toc164169246 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc164169247" 【题型6】 一题多解 PAGEREF _Toc164169247 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc164169248" 【题型7】 动点与线面角，二面角 PAGEREF _Toc164169248 \h 24【题型1】 点到平面距离的相关计算定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。作用：(1)求几何体的体积；(2)求直线与平面所成的角：(3)求二面角方法一：直接法，根据题意得到平面外一点在平面内的射影，建立三角形，解出长度方法二：等体积法方法三：利用垂直的性质定理，找出点在平面内的射影（2023·重庆西南大学附属中学·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】（22-23高一下·重庆渝中·期中）如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上. (1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值；(2)当最小时，求点到平面的距离．【巩固练习2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【题型2】 求线面角线面角定义：AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，BC是直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．线面角的取值范围：求解线面角方法：1.直接法根据线面角的定义，斜线与射影所成的角即为线面角，直接法根据垂线，斜线，射影构成的直角三角形解题.2.等体积法对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度h，斜线长l，则sinθ=h/l.3.转化法垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面进行转化或者按比例进行转化.4.投影法斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.5.角度互余利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.6.补体法把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.（2023·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为 ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为 . （2023·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为 . （2023·巴蜀中学·期末）如图；正四棱柱中；；点为的中点． (1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成线面角的正弦值．（2023·长沙一中期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC(1)证明：平面平面PAC(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【巩固练习1】（2023·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【巩固练习2】（2023·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 .【巩固练习4】（2023·广东·期末）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，． (1)证明：直线CM⊥平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【巩固练习3】（2023·重庆七校联考·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且. (1)求证:平面平面；(2)已知.求直线和平面所成角的正弦值.【题型3】 求二面角与面面角二面角的平面角是立体几何中的一个核心概念，也是高考的重点考查目标.因此厘清如何求解二面角的平面角，明晰求解二面角平面角的常用途径与方法便显得尤为重要.1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角与面面角的区别二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角4、大小范围二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围面面角：两个平面的夹角，范围5、求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．6、常用方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值，即补充：即使交线没有画出来也可以直接用（2023·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值．（2023·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面.(1)求证：面；(2)求二面角的余弦值.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.(1)证明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【巩固练习1】（2023·重庆一中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． (1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【巩固练习2】（2023·湖北黄冈、黄石、鄂州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点．．点在底面的射影恰好是边的中点． (1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．【巩固练习3】（2023·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，面为棱上一动点.(1)平面与平面是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若为的中点，求二面角的余弦值.【巩固练习4】（2023·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点. (1)证明：平面平面；(2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值.【巩固练习5】（2023·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. (1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求与平面所成角的正弦值.【巩固练习6】（2023·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，(1)证明：平面平面ABCD；(2)当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．【题型4】 已知线面角求其它量 如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，E，F分别为棱PC，BA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：平面.；(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．【巩固练习1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点． (1)求证：；(2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积．【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面． (1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．【巩固练习3】如图1，在等腰直角中，，，分别是，的中点，为线段上一点（不含端点），将沿翻折到的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，且． (1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的正切值．【巩固练习4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. (1)求证：；(2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小.【巩固练习5】在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．(1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【题型5】 由二面角求其它量 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．（2023·汕头市·期末）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.（2023·广东佛山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，． (1)证明：平面平面；(2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．（2023·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)当时，求直线与平面所成角的大小；(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．【答案】(1)证明见解析；(2)1．【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．【巩固练习1】（2023·衡阳市一中·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，. (1)设平面平面，证明：.(2)E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.【巩固练习2】（2023·湖北武汉5G·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；(2)设平面与平面的交线为，证明面；(3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.【巩固练习3】（2023·湖北武汉外国语·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且， (1)若，求和所成角的余弦值；(2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求出的最大值，并指出此时的取值【巩固练习4】（2023·重庆育才中学·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点．(1)试证：平面；(2)设，且二面角的平面角大于，求k的取值范围．【题型6】 一题多解 如今的高中数学教学重在培养学生的思维能力，重在培养他们的核心素养。“一题多解”能激发学生自主思考，能让他们逐步学会分析问题，进而提升他们的创新思维。因此教师可以二面角的解法作为出发点，基于变式教学理论，以图一的问题为例，以一题多解为展示的主要方式，最终促成创新能力的生长。如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点，如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知，AD⊥CD，，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD；(2)若求平面PBC与平面夹角的余弦值(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：BE⊥平面PCD； （2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. 求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【题型7】 动点与线面角，二面角（多选）如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点P，使平面B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值取值范围是【答案】BC【分析】利用向量法或几何法，根据线面垂直、两点间的距离、几何体的体积、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】记棱中点分别为，易知平面，而平面则，若平面，平面，则，由平面，所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.故A错误. 连接，易知，，设正方体棱长为2，知，，记，则，，由，得.故B正确. 为定值.故C正确.过点作于点，易知，过点作于点，知平面，所以，则二面角的平面角为，现在中求解.设正方体棱长为2，，则，，只需求取值范围即可：记，则，分析易知在时取到最大值，此时，在时取到最小值，此时，又即，即，所以即，. 【巩固练习】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. 的最小值为C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D. 与所成角的取值范围为 专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角二面角的解法是立体几何的一个重点内容，它能有效地培养学生的空间想象、几何直观、逻辑推理、运算求解等能力。如果教师能引导学生一题多解，更能充分提升他们思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性等，进而促进创新思维的形成。总览题型解读题目均选自大市统考或名校试卷 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc164169242" 【题型1】 点到平面距离的相关计算 PAGEREF _Toc164169242 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc164169243" 【题型2】 求线面角 PAGEREF _Toc164169243 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc164169244" 【题型3】 求二面角与面面角 PAGEREF _Toc164169244 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc164169245" 【题型4】 已知线面角求其它量 PAGEREF _Toc164169245 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc164169246" 【题型5】 由二面角求其它量 PAGEREF _Toc164169246 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc164169247" 【题型6】 一题多解 PAGEREF _Toc164169247 \h 61 HYPERLINK \l "_Toc164169248" 【题型7】 动点与线面角，二面角 PAGEREF _Toc164169248 \h 70【题型1】 点到平面距离的相关计算定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。作用：(1)求几何体的体积；(2)求直线与平面所成的角：(3)求二面角方法一：直接法，根据题意得到平面外一点在平面内的射影，建立三角形，解出长度方法二：等体积法方法三：利用垂直的性质定理，找出点在平面内的射影（2023·重庆西南大学附属中学·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，证得平面，取的中点，连接，证得平面，过点作，证得平面，从而得到平面，得到为点到平面的距离，结合，即可求解.【详解】如图所示，过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，取的中点，连接，因为为的中点，可得，所以平面，过点作，因为四边形为矩形，可得，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，取的中点，连接，因为为的中点，所以，所以平面，即为点到平面的距离，在矩形中，因为，可得，则，可得，又由，可得，解得，又由，即点到平面的距离为.故答案为：. 【巩固练习1】（22-23高一下·重庆渝中·期中）如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上. (1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值；(2)当最小时，求点到平面的距离．【答案】(1)在线段的四分点处，靠近点；；(2)【分析】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，的值最小即可求得最小值，从而确定点的位置；（2）利用等体积法求点面距离即可.【详解】（1）把侧面展开，当在同一条直线上时，的值最小，最小值为，此时，，即，所以在线段的四分点处，靠近点 ；（2）由正棱柱的性质可得: ，所以，则.，又，点D到平面的距离为，设点到平面的距离为，由得，，即，解得: .【巩固练习2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证；（2）根据线面平行可得，由等体积法求解.【详解】（1）在三棱柱中，，取中点F，连接DF，EF，∵D和E分别是和的中点，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面， ∴面//平面，而面DEF，故直线//平面．法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图，在三棱柱中，，，∴，，∴，则，又面，面，∴直线平面.（2）如图，∵直线//平面，∴，又，所以平行四边形边上的高，由B到面的高，则.【题型2】 求线面角线面角定义：AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，BC是直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．线面角的取值范围：求解线面角方法：1.直接法根据线面角的定义，斜线与射影所成的角即为线面角，直接法根据垂线，斜线，射影构成的直角三角形解题.2.等体积法对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度h，斜线长l，则sinθ=h/l.3.转化法垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面进行转化或者按比例进行转化.4.投影法斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.5.角度互余利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.6.补体法把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.（2023·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为 ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线线垂直得到线面垂直，得到异面直线的夹角，再作出辅助线，找到线面角，设出正方形边长，求出各边长，求出线面角的正弦值.【详解】折叠后可得⊥，⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为； 取的中点，连接，过点作⊥于点，因为，，所以⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则，故，所以，因为，由勾股定理得，则.故答案为：；（2023·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】【分析】将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出直线与平面所成角的正弦值.【详解】如图所示:将多面体放置于正方体中,连接,设的中点为,连接, 因为分别为中点,所以,且,则四边形为平行四边形,所以,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角,又平面,所以直线与平面所成角即为,设正方体的棱长为,则,所以,即直线与平面所成角的正弦值为.（2023·巴蜀中学·期末）如图；正四棱柱中；；点为的中点． (1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成线面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设和交于点，则为的中点，连接，可得，可得直线平面；（2）设，利用等体积法可求点到平面的距离为，进而利用直线与平面所成线面角与直线与平面所成线面角相等，可求直线与平面所成线面角的正弦值．【详解】（1）证明：设和交于点，则为的中点，连接， 是的中点，，又平面，平面，直线平面，（2）设，则三角形为正三角形，，，设点到平面的距离为，由等体积法：，所以，则，由点为中点，所以点，到平面距离相等，由，所以直线与平面所成线面角与直线与平面所成线面角相等，设直线与平面所成线面角为，所以，直线与平面所成线面角的正弦值为．（2023·长沙一中期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC(1)证明：平面平面PAC(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角求解.【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC；（2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为.【巩固练习1】（2023·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析,(2)【分析】（1）利用三角形的边角关系，可得线线垂直，进而可得线面垂直，由线面垂直即可得面面垂直，（2）根据面面垂直得性质可得线面垂直，即可由线面角的几何法结合三角形的边角关系即可求解.【详解】（1）证明：取的中点F，连接、、，在直角梯形中，，所以又，,又是边长为2的正三角形，所以，，所以，则．由题意知，，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）过D作交于H，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线与平面所成角，设点D到平面的距离为d，由于,则，连接，在中，因为，，由余弦定理可得．又为直角三角形，于是，设直线与平面所成角为，则，又，所以． . 【巩固练习2】（2023·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 .【答案】 /【分析】空1：取的中点，连接，则可得为直线与平面所成角，然后在中求解即可；空2：分别取的中点，连接，则可得（或其补角）为直线与直线所成角，然后在中求解即可.【详解】空1：取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为正三棱柱的各条棱长都是2，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值为，空2：分别取的中点，连接，则∥，，∥，，所以（或其补角）为直线与直线所成角，连接，则，在中，由余弦定理得，因为异面直线所成的角的范围为，所以直线与直线所成角的余弦值为，故答案为：；. 【巩固练习4】（2023·广东·期末）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，． (1)证明：直线CM⊥平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直，再找出一个线线垂直即可证明线面垂直；（2）根据（1）中的证明直接找出线面角，结合几何关系求解正弦值再得到角的大小.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为M是AB的中点，，所以，又因为平面，，所以直线CM⊥平面（2）连接由（1）知，直线CM⊥平面，所以即直线与平面所成角， 因为平面，平面，所以，又因为，所以在正方形中，，因为，M是AB的中点，，所以，，所以，因为CM⊥平面，平面，所以，在直角三角形中，，又因为，所以，即直线与平面所成角的大小为【巩固练习3】（2023·重庆七校联考·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且. (1)求证:平面平面；(2)已知.求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析.(2).【分析】（1）由线线垂直可得平面再由面面垂直的判定可得证；（2）转化法求出点C到平面PAD的距离，再由线面角的定义即可得解.【详解】（1）由题又为中点,,,又，四边形为矩形，则又为正三角形，为中点，,又,平面则平面又，平面又平面平面平面.（2）由（1）知平面平面，平面平面,过点作,交于则平面又中，,过作,交于 可求得则,即，, 即点到平面的距离.又平面,平面，平面,则点到平面的距离即是点到平面的距离，又设直线和平面所成角为，则故直线和平面所成角的正弦值为【题型3】 求二面角与面面角二面角的平面角是立体几何中的一个核心概念，也是高考的重点考查目标.因此厘清如何求解二面角的平面角，明晰求解二面角平面角的常用途径与方法便显得尤为重要.1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角与面面角的区别二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角4、大小范围二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围面面角：两个平面的夹角，范围5、求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．6、常用方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值，即补充：即使交线没有画出来也可以直接用（2023·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证法一：由面面垂直可得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论；证法二：由面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再由等边三角形的性质可得，然后由面面垂直的性质可证得结论；（2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可.【详解】（1）证法一：在正方形中，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面，因为平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，平面，所以平面，证法二：在正方形中，又侧面底面，侧面交底面于，所以平面，又平面，故平面平面，是正三角形，是的中点，所以又平面交平面于，平面，故平面．（2）取，的中点分别为，，连接，，，则，，因为，所以，又在正中，，因为，平面，平面，正方形中，，平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，设正方形的边长，则，，所以，所以，即侧面与底面所成二面角的余弦值为. （2023·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面.(1)求证：面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.（2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可.【详解】（1）由菱形可得，面面，面面，又正方形中，面，又平面，，，平面，面.（2）过作于，则面.过作于，连接，因平面，则，又平面，，故平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，在中，设，，，，，，.即二面角的余弦值为.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.(1)证明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）证明：平面ABCD，，又底面ABCD是菱形，，而，平面，平面PBD，而平面ACE，所以平面平面ACE.（2）观察图可知平面平面PBD，故CE在面PBD内的射影为OE，，，又由（1）可得，，，故是二面角的平面角，菱形ABCD中，，，∴，，又，∴，∴，∴，即二面角的余弦值为.【巩固练习1】（2023·重庆一中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． (1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，再用线线垂直得到线面垂直，进而利用线面垂直性质即可得证；（2）利用二面角平面角定义得出二面角的平面角，求出对应长度即可求出余弦值.【详解】（1）如图，取的中点，连接，，又因为为中点，所以，又因为，所以，即四点共面.因为，所以，又平面，且平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）作交于，连接，又平面，且平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，所以为二面角的平面角，在四边形中，因为，，，所以，由，可得，又，在直角三角形中，，所以，从而，所以二面角的余弦值为. 【巩固练习2】（2023·湖北黄冈、黄石、鄂州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点．．点在底面的射影恰好是边的中点． (1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）首先利用垂直关系证明平面，再根据平行关系，即可证明；（2）首先证明，再根据二面角的定义，构造二面角的平面角，再结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）为正边的中点，．又，，而点在底面的射影恰好是边的中点．即平面，连，，又底面是边长为2的等边三角形，则，而，平面，平面， 连，，且则四边形为平行四边形，，平面． （2）在正中，，，由（1）知，，，，．过点作于，为垂足．连，则，，则为二面角的平面角．如下图，，垂足为点，在等腰中，，，，，．．故二面角的余弦值为． 【巩固练习3】（2023·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，面为棱上一动点.(1)平面与平面是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若为的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)垂直，证明见解析(2).【分析】（1）由平面，得到，再由四边形是正方形，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）连接交于点，过作于点，过作于点，连接，得到为二面角的平面角求解.【详解】（1）垂直，理由如下：证明：平面平面，四边形是正方形，， 平面， 平面，平面，平面， 平面， 平面，平面，平面平面平面.（2）连接交于点，过作于点，过作于点，连接；面，面，又面又面，，面面面面则，综上，为二面角的平面角，为的中点，结合，，设，则，易知，在Rt中，，二面角的余弦值为.【巩固练习4】（2023·广东深圳·期末）如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点. (1)证明：平面平面；(2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析，.【详解】（1）因为点C在圆O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC；（2）取的中点，连接，如下图所示： 又点是的中点，所以，平面，平面，所以平面；又是的中点，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面内，所以三点共线，即；所以四边形为直角梯形，易知，作于点，如下图所示： 则，，所以；取的中点为，连接，作交于点，连接由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即为二面角的平面角，也即的平面角；在四边形中，交于点，如下图所示： 易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值为.【巩固练习5】（2023·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，. (1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可；（2）根据几何关系，平方后得到，得到，根据余弦定理求解其平面角即可；（3）根据平行关系将所求角转化为与平面所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值.【详解】（1）取中点，连接，因为菱形，，所以为等边三角形，所以，又因为面，，所以面，因为面，所以 （2）因为，，所以，平方得，，即，解得，在中，由余弦定理得，，所以，由（1）可知，是二面角的平面角，在等边中，，同理，在中，由余弦定理，，因为，所以，即二面角的大小为.（3）取中点，连接，则是靠近G的三等分点，则，所以与平面所成角即为所成角，在平面中，作，因为面，面，所以，又因为面，，所以面，所以是与平面所成角，在中，，，所以，在中，由，得，，所以，所以与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习6】（2023·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，(1)证明：平面平面ABCD；(2)当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助三角形全等证得，再利用等腰三角形性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）作出侧面PAB与底面ABCD所成二面角，利用线面平行确定点A到平面PCD的距离，借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.【详解】（1）在四棱锥中，由正方形，得，而，，则，有，又为的中点，，于是，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）在四棱锥中，延长交于，连接，如图，由于正方形的对角线与相交于点，为的中点，则为的中点，有，于是是侧面与底面所成二面角，令，由（1）知平面，而平面，则平面平面，在平面内过作于，而平面平面，于是平面，又平面，平面，则平面，因此点到平面距离等于点到平面距离，由，得，而，在中，由余弦定理得：，又，即有，则，令，显然，，，当且仅当，即时取等号，当时，，，而，从而，所以当点到平面距离最大时，侧面与底面所成二面角的大小为.【题型4】 已知线面角求其它量 如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设与交于点，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可得答案；（2）过作于，由面面垂直的性质定理可得为直线与平面所成的角，由求出、，再求圆锥体积可得答案.【详解】（1）设与交于点，连接，因为，为底面圆两条互相垂直的直径，所以为底面圆的圆心，所以为圆锥的高，所以底面圆，因为底面圆，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）过作于，连接. 由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，则， 因为，所以，所以，则，所以，故该圆锥的体积为. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，E，F分别为棱PC，BA的中点，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：平面.；(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取取的中点，连接，证得平面，所以与平面所成的角为，结合题意求得，进而求得四棱柱的体积.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为棱的中点，所以，，又因为为的中点，所以且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，则有，因为平面平面，平面，且平面平面，所以平面，所以与平面所成的角为，因为，则，在直角中，可得，所以，所以. 如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【分析】（1）先判断出当平面时，四棱锥的体积取最大值；然后结合线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理证得平面.（2）判断出与平面所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得.【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点，，，，则平面，平面，，，，平面，平面，则，故当平面时，四棱锥的体积取最大值，，，，平面，因为，，为的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，因此，平面.（2）因为平面，与平面所成角为，因为平面，，所以，，解得，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，解得或.因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在直角梯形中利用勾股定理的逆定理可得，再由平面，得，然后由线面垂直的判定定理可证得平面PAC，从而可得；（2）过点M作于点N，连接BN，可证得平面，则∠MBN为BM与平面所成的角，设，则由已知线面角的正切值可求出，过点N作于点G，连接MG，可得∠MGN为二面角的平面角，从而可求得结果.【详解】（1）证明：因为，，，，所以四边形是直角梯形，且，，故，即．又平面，平面，所以又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以（2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点，证明如下，过点M作于点N，连接BN， 因为平面，平面，所以，因为MN，平面PAD，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则∠MBN为BM与平面所成的角．设，则，，，由得，解得或（舍去）所以M为PD的中点，过点N作于点G，连接MG，因为平面，平面，所以，又，平面MGN，故平面MGN，因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角，在中，，所以，即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为．【巩固练习1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点． (1)求证：；(2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正三棱柱的性质可得，，则由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）由题意可得为与平面所成角，则，再由，可求出棱柱的高，从而可求出棱柱的表面积.【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面，因为为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面,所以平面，因为平面，所以，（2）连接，，由（1）得平面，所以为与平面所成角，所以，因为，为正三角形，所以，,在直角中，，则，得，所以，所以三棱柱的表面积为 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面． (1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理即可得到平面，再由线面垂直的性质定理即可证明；（2）根据面面角的定义，先找出所求的二面角，然后代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以为等边三角形，所以，又四边形为梯形，，则，在中，由余弦定理可知，，根据勾股定理可知，，即．因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面所以．（2）在平面内，延长与相交于点，连接，则为平面与平面的交线，在平面内，过点作，垂足为，连接， 由（1）得，，因为且均在面内，所以面，因为面，所以，又因为且均在面内,所以面，即面,因为面，所以,因为且均在面内,所以面，由面所以,所以,在直角三角形中,在直角三角形中，所以平面与平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角，又因为平面，所以就是与平面所成角，所以，所以，因为，所以．【巩固练习3】如图1，在等腰直角中，，，分别是，的中点，为线段上一点（不含端点），将沿翻折到的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，且． (1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证得，利用线面垂直的判定得到平面，得出，再由，进而证得平面；（2）连接，得到与平面所成的角为，设，结合题意，列出方程求得，即为的中点，过作，得到二面角的平面角为，在直角中，即可求解.【详解】（1）证明：因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面．（2）解：如图所示，连接，因为分别是与的中点，可得，又因为平面，所以直线与平面所成的角为，由直线与平面所成角的正切值为，即，设，则，，所以，解得，即为的中点，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，所以二面角的平面角为，由，，则，所以，因为，所以． 【巩固练习4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. (1)求证：；(2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)为的中点，【详解】（1）因为，，，，所以四边形是直角梯形，且，，故，即.又平面，平面，所以.又，且平面，所以平面，又平面，所以；（2）过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，因为平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则为与平面所成的角.设，则，，，由得解得或（舍去），所以为的中点.过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，故平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，所以，即为的中点，且此时二面角的大小为. 【巩固练习5】在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．(1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得，根据三角形相似可得，即（2）设AB的中点O，首先由已知得底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，得底面ABCD，则为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，根据条件求解即可【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，在与中，∵，∴，由，得，又∵平面AMC，而平面平面 ，平面PBD，∴，∴在中，，∴；（2）设AB的中点O，在正中，，而侧面底面，侧面底面，且平面，∴底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，∴底面ABCD，∴为CM与底面ABCD所成角，∴，设，则，∴，，则在直角梯形ABCD中，，而，则，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，易得，，在梯形ABCD中，由，得，在中，，∴．【题型5】 由二面角求其它量 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，而平面平面，则由面面垂直的性质定理可得面，再由线面垂直的性质定理可得，（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，则可得面，由可得三角形为直角三角形，从而可得为所求的二面角的平面角，所以由，可得，再结合平行关系和是边长为2的等边三角形，可求出三棱锥的体积【详解】（1），为中点，，面，面面，且面面，面，∵面，．（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，因为∥且由（1）知面，所以面，∵面，在中，，，∥，，面为所求的二面角的平面角，，∥，，∥，，，．，．．（2023·汕头市·期末）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，连接，∵且，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.（2023·广东佛山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，． (1)证明：平面平面；(2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）先证明，，可得平面，进而可得结论；（2）过作交于，过作于，连接，先证明平面，可得为二面角的平面角，设，列方程求解即可.【详解】（1）连结，∵侧棱底面，平面，∴．又∵底面是正方形，∴．而且，平面．∴平面．又平面，∴平面平面． （2）过作交于，过作于，连接．在平面中，，，∴，因为底面，∴平面，又平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角．故，则．设，则，，．在Rt中，，∴．在Rt中，，∴．所以，当二面角的余弦值为时，．（2023·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)当时，求直线与平面所成角的大小；(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出，证明出线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，求出，得到答案；（2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，即，设点到平面和边的距离分别为，，由求出，由求出，从而利用求出答案.【详解】（1）延长，交于点，连接． 因为，所以，故为等边三角形，所以，．因为，，所以，．在中，由余弦定理得，所以，所以，所以由勾股定理逆定理得．因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，，平面，所以平面，所以即为直线与平面的所成角，在直角三角形中，，故直线与平面所成角的大小为．（2）过，分别作，的平行线交于点，连接，取的中点，连接．则四边形为平行四边形，由（1）知，，故，因为，，所以．又因为，所以为二面角的平面角，即．在中，因为，，所以为等边三角形，所以，且，．由（1）知，所以，因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，所以⊥平面， 因为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，在中，，，，所以．在中，，，所以，故，所以．易求得．设点到平面和边的距离分别为，，因为，所以，即，所以．在中，，故≌，故，所以，所以．设平面与平面所成二面角的大小为，则．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．【答案】(1)证明见解析；(2)1．【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．【巩固练习1】（2023·衡阳市一中·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，. (1)设平面平面，证明：.(2)E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.【答案】(1)证明见解析，(2)2【分析】（1）根据条件利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）根据条件求出二面角的平面角，再根据二面角的正切值建立方程求出λ的值即可.【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.又平面平面，平面PCD，所以.（2）法一：取AB的中点O，连接PO，交BE于点F，过点O作OH垂直于BD，垂足为H，连接HF.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面OFH，平面OFH，所以平面OFH，平面OFH，所以，所以为二面角的平面角.因为与相似，所以，即，.因为，所以.因为，所以F为的中心，所以E为PA的中点，所以. 法二：取AB的中点O，连接PO，过点E作EG垂直于AB，垂足为G.过点G作GH垂直于BD，垂足为H，连接HE.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面EGH，平面EGH，所以平面EGH，平面EGH，所以，所以为二面角的平面角.由，得，，，，，…由，解得. 【巩固练习2】（2023·湖北武汉5G·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；(2)设平面与平面的交线为，证明面；(3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值；（2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立；（3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值.【详解】（1）如图，连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，在梯形中，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（2）∵，平面，平面，∴面，又面，面面，∴，又面，面，∴面.（3）取的中点，连接、， ∵为的中点，且，，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，又，∴为等边三角形，又，∴为等边三角形，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，过点作，由，则，∴平面，平面，即平面平面，∴，，∴为平面与平面所成的锐二面角，∴.又由，∴，∴，∵，，∵，平面，平面，∴平面，∴为与平面所成的角，，∴，因此，与平面所成角的正弦值为.【巩固练习3】（2023·湖北武汉外国语·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且， (1)若，求和所成角的余弦值；(2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求出的最大值，并指出此时的取值【答案】(1)0(2)；【分析】（1）可先证明，通过平面即可得证；（2）首先利用线面角的定义，以及垂线法，找出和，再用表示出和，代入，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】（1）证明：连接BE，BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD，又 SD平面ABCD， 平面ABCD，所以，因为平面BCD，且，所以，平面BSD对任意的,平面BSD，都有.所以当时，和所成角的余弦值为0. （2）由SD平面ABCD,平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD；又底面ABCD是正方形，CDAD，而SDAD=D，平面SAD 所以CD平面SAD.因为平面SAD所以AECD，连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CFDFCF=F，平面CFD,所以AE平面CFD.因为平面CFD,因为CFAE，故是二面角C-AE-D的平面角，即.在Rt中，，BD=2a，，，；在Rt中， AD=，DE=，，从而；在Rt中，.,，当，即时等号成立，此时的最大值为.所以，即为所求.【巩固练习4】（2023·重庆育才中学·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点．(1)试证：平面；(2)设，且二面角的平面角大于，求k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)k的取值范围为【分析】（1）欲证面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与面内两相交直线垂直，而，，，满足定理条件；（2）连接交于，在底面中，过作，垂足为，连接，根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，求出此角的正切值使该值大于，即可求出的范围．【详解】（1）证明：由已知为直角．故是矩形．从而．又底面，，所以又平面，所以平面故．中，、分别为、的中点，故，从而，面，面由此得面．（2）解：连接交于，连接，在底面中，过作，垂足为，连接，因为，则四边形为平行四边形，所以为中点则，所以底面，故又，平面所以平面，则从而为二面角的平面角．设，则在中，有以下计算，考虑底面的平面图，连接，因，故．在中，因，得．而，．因此，．由知是锐角．故要使，必须，取值范围为【题型6】 一题多解 如今的高中数学教学重在培养学生的思维能力，重在培养他们的核心素养。“一题多解”能激发学生自主思考，能让他们逐步学会分析问题，进而提升他们的创新思维。因此教师可以二面角的解法作为出发点，基于变式教学理论，以图一的问题为例，以一题多解为展示的主要方式，最终促成创新能力的生长。如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点，【答案】【详解】方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）连接，，，，为中点，四边形为正方形，，翻折后，，，；又，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.（2）法1：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，；轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即平面与平面夹角的余弦值为法二：找出交线l，再用三垂线法设平面OMN∩平面OBC=l，由线面平行的性质定理，MN//l，所以l//BD，在平面OBCD内，过点O作 BD 的平行线，即为平面 OMN 与平面 OBCD的交线取OD的中点E，在平面OBCD 内，过点E作EF⊥l于F，连结ME，MF，∵ME∥OA，∴ME⊥平面OBCD，∴∠MFE即为平面OMN与平面OBCD的夹角，易知eq ME=\f(1,2)OA=1, EF=\f(\r(,2),2)OE=\f(\r(,2),2)eq ·tan∠MFE=\f(ME,EF)=\r(,2),eq ·cos∠MFE=\f(\r(,3),3),法三：线线角最快（AC⊥平面OMN,故∠OAC即所求），法四：投影面积法计算量也不大，法五：还可以用定义法：取MN中点G，如图，在四棱锥P－ABCD中，已知，AD⊥CD，，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD；(2)若求平面PBC与平面夹角的余弦值【解析】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF.因为AE是等边的中线，所以.因为E是棱PD的中点，F为PC的中点，所以，且.因为，所以，且，所以四边形ABFE是平行四边形，所以.因为，F为PC的中点，所以，从而.又，平面PCD.（注：无本行三个条件扣1分）所以平面PCD.（2）法1：投影面积法由(1)知AE⊥CD，又AD⊥CD，AD∩AE=A，且AD、AE平面ADP，所以CD⊥平面ADP，从而BA⊥平面ADP所以APBC在平面 PAD上的投影为△PAD．在中，取PC中点F，连结BF，则所以，记平面 PBC与平面PAD所成夹角为θ，(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：BE⊥平面PCD； （2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．【解析】（1）BE∥AF，故DC⊥BE，PD⊥BE(2)法一：先作平面垂线，再做交线垂线（得到直角三角形，勾股+三角形函数）如图，设AD＝2，则PG＝，HG＝，勾股得， 方式二：作2次交线垂线（在两个平面内各作一次交线的垂线）如图，BD⊥BC，再作BH⊥BC，∠DBH即为所求还是设AD=2，则BD=，由勾股可知PC=又因为BE是PC中垂线，故BP=BC=,由相似或三角函数可知再求出DH（勾股可求），用余弦定理方式三：转换成线面角问题过点D作平面PBC的垂线段DH，则由DH⊥BC，又因为DB⊥BC，故∠DBH即为所求由等体积可得：，再由勾股得出BH，如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. 求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【答案】【分析】连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面与平面所成的锐二面角为，求出的正切值即可.【详解】解：连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，所以，平面与平面所成的锐二面角为，因为，，因为平面，平面，所以，，所以，，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.法二：取DO中点M，连接EM，易知ME⊥平面ADC，再作MG⊥DC于G，∠MGE即所求．【题型7】 动点与线面角，二面角（多选）如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点P，使平面B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值取值范围是【答案】BC【分析】利用向量法或几何法，根据线面垂直、两点间的距离、几何体的体积、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】记棱中点分别为，易知平面，而平面则，若平面，平面，则，由平面，所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.故A错误. 连接，易知，，设正方体棱长为2，知，，记，则，，由，得.故B正确. 为定值.故C正确.过点作于点，易知，过点作于点，知平面，所以，则二面角的平面角为，现在中求解.设正方体棱长为2，，则，，只需求取值范围即可：记，则，分析易知在时取到最大值，此时，在时取到最小值，此时，又即，即，所以即，. 【巩固练习】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. 的最小值为C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D. 与所成角的取值范围为 【答案】ABD【解析】如图1，平面，所以A是正确的；如图2，的最小值就是，所以B是正确的；如图3，直线在面的投影为，则直线与平面所成角为，则，，所以C是错误的；如图4，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.故选ABD.
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