17第八章 立体几何共点、共线、共面问题、线面平行复习讲义- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第八章 立体几何初步 共点、共线、共面问题与线面平行知识点一 共点问题的证明证明直线共点问题要分两步：第一步证明其中两条直线交于一点。第二步证明该点也在其余直线上。如果证明点在直线上，主要思路是利用基本事实3。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。典例1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点。 求证：CE、D1F、DA三线交于一点。随堂练习：已知是三个平面，且 且，求证：三线共点。知识点二 共线问题的证明证明点共线问题，通常采用两种方法：第一种方法：证明这些点都是某两个平面的公共点，利用基本事实3可以得到这些点都在这两个平面的交线上。第二种方法：选择其中两个点确定一条直线，然后证明其它点也在该直线上。典例2、已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝M，BC∩α＝N，AC∩α＝P，如图所示。求证：M，N，P三点共线。随堂练习：如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O。求证：B，D，O三点共线. 知识点三 共面问题的证明证明空间的点、线共面问题，通常有两种方法：第一种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内。这种方法我们称为纳入平面法。第二种方法：分别过其中的某些点或直线做两个平面，然后证明这两个平面重合。这种方法我们称为 辅助平面法。典例3、两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内。已知：如图，求证：直线在同一个平面内随堂练习：如图，已知，三点确定的平面记为则A、直线MP B、直线NP C、直线PR D、直线MR知识点四 证明直线与平面的平行。1、一共有两个思路：第一种思路：是用直线与平面平行的判定定理。第二种思路：是用平面与平面平行的性质。直线与平面平行的判定定理指出: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。定理是证明线面平行的依据，也是证明面面平行的基础。用定理证明直线与平面平行主要有两步。第一步是“找”：在平面内找一条直线。第二步是“证”：证明找出的直线与已知直线平行。典例4、已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点 求证：直线平面.典例5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD 中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE. 随堂练习：如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB).求证：MN∥平面SBC. 2、直线与平面平行的综合问题的解题策略直线与平面平行的判定定理应用广泛，常与三视图、棱柱、棱锥等知识综合设计题目，有时也会与翻折问题综合，其解决方法一般是先确定直观图，再利用直观图中的线线平行去证线面平行．典例4、一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN∥平面ACC1A1. 随堂练习、如下图(1)，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF与平面ABCD相交，连接部分线段后围成一个空间几何体，如下图(2)．求证：BE∥平面ADF. 典例5、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.随堂练习：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.