13第八章 立体几何初步基础（22个考点60题专练）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第八章 立体几何初步基础（22个考点60题专练）一．棱柱的结构特征（共3小题）1．（2023春•新城区校级月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是　　A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点2．（2023春•温州期中）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是　　A． B． C． D．3．（2023春•来宾期末）下列命题正确的是　　A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C．棱锥的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱二．棱锥的结构特征（共3小题）4．（2023春•成都期末）下列说法正确的是　　A．正三棱锥的各个面都是正三角形 B．有一个面为平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥5．（2023春•东营期末）用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是 　　．6．（2023春•三元区校级期中）空间两个角和，若，，，则的大小是 　　．三．棱台的结构特征（共3小题）7．（2023春•贵州月考）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是　　A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台8．（2023春•尚义县校级月考）下列说法中正确的是　　A．直四棱柱是长方体 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点9．（2023春•云浮期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是　　A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共3小题）10．（2024•毕节市模拟）已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为　　A． B． C． D．11．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知四边形为圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，异面直线与所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为　　A． B． C． D．12．（2023春•金山区校级期末）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 　　．五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）13．（2023春•绿园区校级期末）某个用橡皮泥捏成的圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为，且，若用这些橡皮泥重新捏成一个圆柱，该圆柱的底面半径为，高为，则　　A．2 B． C． D．14．（2023春•宛城区校级月考）已知圆锥的母线长为2，底面半径为，则过顶点的截面面积的最大值等于　　A． B． C．3 D．215．（2023春•阳高县校级期末）已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为　　A． B． C． D．六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共3小题）16．（2023春•龙岩期中）“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈，“这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈丈尺）”，则该问题中“城”的体积等于　　A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺17．（2023春•南京期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是　　A． B． C． D．18．（2024春•甘肃月考）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 　　．七．球的体积和表面积（共3小题）19．（2023春•成华区校级月考）已知正方体的棱长为，则该正方体外接球的体积为　　A． B． C． D．20．（2023春•陕西期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知．“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具．如果一个半球的半径为3，那么这个半球的表面积为　　A． B． C． D．21．（2023春•伊州区校级期末）若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为　　A． B． C． D．3八．平面图形的直观图（共3小题）22．（2023秋•虹口区校级期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为　　A． B．2 C． D．23．（2023春•金凤区校级期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是　　A．16 B．12 C． D．24．（2023春•商丘期末）如图△是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是　　A． B．1 C． D．九．空间几何体的直观图（共2小题）25．（2023春•石家庄期中）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　A． B． C． D．26．（2023春•永川区校级期中）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是　　A．1 B． C． D．一十．斜二测法画直观图（共3小题）27．（2023春•茂名期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为△，已知，则的周长为　　A．6 B．8 C． D．28．（2023春•东莞市校级月考）如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为 　　．29．（2023春•新邱区校级期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形．并求出直观和原图形的面积．一十一．平面的基本性质及推论（共3小题）30．（2023春•三明期中）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是　　A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面31．（2023春•中山区校级月考）平面，，不能将空间分成　　A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分32．（2023春•宝鸡期末）下列条件一定能确定一个平面的是　　A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线一十二．异面直线及其所成的角（共3小题）33．（2023秋•拉萨期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为　　A． B． C． D．34．（2023春•许昌期末）如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 　　．35．（2023春•郫都区期末）在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，为的中点，且平面，与交于点，为上一点，且．（1）求证：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．一十三．异面直线的判定（共2小题）36．（2023春•蒙自市校级期中）已知，为不同的平面，，，为不同的直线，则下列说法正确的是　　A．若，，则与是异面直线 B．若与异面，与异面，则与异面 C．若，不同在平面内，则与异面 D．若，不同在任何一个平面内，则与异面37．（2023春•蒲城县校级期末）如图，点在平面外，点在的延长线上，在线段上，则直线，，，，，中有 　　对异面直线．一十四．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）38．（2023春•城西区校级期中）已知平面平面，过平面内的一条直线的平面，与平面相交，交线为直线，则、的位置关系是　　A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定39．（2023春•镜湖区校级月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为 　　．一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共2小题）40．（2023春•蚌埠期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则41．（2023春•浏阳市期中）平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是 　　．一十六．直线与平面平行（共3小题）42．（2023春•大兴区校级期末）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　A． B． C． D．以上均有可能43．（2023•芝罘区校级开学）如图，在三棱锥木块中，，，两两垂直，，点为的重心，沿过点的平面将木块锯开，且使截面平行于直线和，则该截面的面积为 　　．44．（2023春•昌吉州期末）如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．（1）求证：面．（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．一十七．直线与平面垂直（共3小题）45．（2023春•市中区校级月考）已知：是正三角形，、垂直平面，且，，是中点．求证：（1）平面；（2）平面．46．（2023春•海陵区校级月考）如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现在沿着将折起到△位置，得到如图2所示的四棱锥．（1）证明：；（2）若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．47．（2023春•兴义市校级期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．求证：（1）平面；（2）．一十八．平面与平面之间的位置关系（共2小题）48．（2023春•嘉兴期末）下列命题中，正确的是　　A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一直线的两个平面平行49．（2023春•东平县校级期中）如图，，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过　　A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点一十九．平面与平面平行（共3小题）50．（2023春•金水区校级期中）如果直线平面，直线平面，且，则与的位置关系为　　A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面51．（2023春•宁波期中）如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．52．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．二十．平面与平面垂直（共3小题）53．（2023春•仓山区校级期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．54．（2023春•谯城区校级期末）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．55．（2023春•阳高县校级期末）如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．二十一．直线与平面所成的角（共3小题）56．（2023春•秦淮区校级月考）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为　　．57．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角 　　．58．（2023春•嘉定区校级期末）如图，在长方体中，已知，，点为棱的中点．求直线与平面所成角的正切值． 二十二．二面角的平面角及求法（共2小题）59．（2023春•西安期末）是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求平面与平面所成的二面角的大小．60．（2023春•喀什市校级期中）如图所示：三角形是边长为2的等边三角形，平面，，是的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．第八章 立体几何初步基础（22个考点60题专练）一．棱柱的结构特征（共3小题）1．（2023春•新城区校级月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是　　A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可．【解答】解：据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，正确；该几何体恰有14个面，不正确；该几何体恰有24条棱，正确；该几何体恰有12个顶点，正确．故选：．【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．2．（2023春•温州期中）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是　　A． B． C． D．【分析】根据立体图形与平面图形的相互转化，利用正方体的展开图，从给定的图形中辨认它们能否折叠成对应的立体图形即可．【解答】解：结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的相对两个平面上，所以符合要求的只有和选项，再根据三角形的位置，即可得出选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了立体图形与平面图形的相互转化问题，也考查了转化思想，是基础题．3．（2023春•来宾期末）下列命题正确的是　　A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C．棱锥的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【分析】根据题意，对选项中的命题分析判断真假性即可．【解答】解：对于，棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以错误；对于，棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成的两部分，所以错误；对于，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以错误；对于，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分，所以正确．故选：．【点评】本题考查了棱柱、棱锥的结构特征与应用问题，是基础题．二．棱锥的结构特征（共3小题）4．（2023春•成都期末）下列说法正确的是　　A．正三棱锥的各个面都是正三角形 B．有一个面为平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥【分析】根据题意，由棱锥的结构特征分析，由圆台的定义分析，由圆锥的定义分析，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，正三棱锥的侧面是等腰三角形，不一定是正三角形，错误；对于，有一个面为平行四边形的棱锥一定是四棱锥，正确；对于，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台，错误；对于，直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，错误．故选：．【点评】本题考查棱锥、圆锥、圆台的结构特征，注意常见几何体、旋转体的定义，属于基础题．5．（2023春•东营期末）用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是 　　．【分析】根据题意，将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开图的形状可得包装纸的对角线处在如图所示的位置时，包装纸面积最小，由此结合正三角形和正方形的性质加以计算，即可获得问题的解答．【解答】解：由题意得，将正四棱锥沿底面将侧面都展开，得到如图所示的平面展开图，可得当以为正方形的对角线时所需正方形的面积最小，此时这个正方形的边长也最小，设此时正方形的边长为，则有，变形可得．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥的侧面展开图，涉及正方形和正三角形的性质等知识，属于基础题．6．（2023春•三元区校级期中）空间两个角和，若，，，则的大小是 　或　．【分析】根据空间等角定理及推论判断即可．【解答】解：空间两个角和，因为，且，则或．故答案为：或．【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，属于基础题．三．棱台的结构特征（共3小题）7．（2023春•贵州月考）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是　　A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台【分析】根据题意，由棱台的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求，排除、，四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台．故选：．【点评】本题考查棱台的结构特征，注意棱台的定义，属于基础题．8．（2023春•尚义县校级月考）下列说法中正确的是　　A．直四棱柱是长方体 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，逐一分析各个选项作答，即可．【解答】解：对于，由直四棱柱的定义知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，即错误；对于，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，即错误；对于，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，即错误；对于，由棱台结构特征知，侧棱延长后必交于一点，即正确．故选：．【点评】本题考查简单几何体的结构特征，熟练掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力，属于基础题．9．（2023春•云浮期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是　　A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥【分析】根据题意，由棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；对于，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意．故选：．【点评】本题考查棱台、棱锥、棱柱的结构特征，注意常见几何体的面、棱、顶点的数目，属于基础题．四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共3小题）10．（2024•毕节市模拟）已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为　　A． B． C． D．【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，根据底面圆面积和侧面展开图的面积列方程，即可求出母线长．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则，解得；所以圆锥的侧面展开图面积为，解得，所以圆锥的母线长为．故选：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．11．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知四边形为圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，异面直线与所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为　　A． B． C． D．【分析】根据题意设底面圆心为，连接，，得出是直角三角形，是异面直线与所成的角，求出，得出底面圆的半径，即可计算圆柱的体积．【解答】解：设底面圆心为，因为为母线的中点，连接，则，又因为是的中点，所以，所以平面，是直角三角形，所以是异面直线与所成的角，所以，，，设底面圆的半径为，因为，则，所以，即，解得，所以圆柱的体积为．故选：．【点评】本题考查了圆柱的结构特征与应用问题，是基础题．12．（2023春•金山区校级期末）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 　　．【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可．【解答】解：设圆锥的母线为，则，所以，则圆锥的侧面积为．故答案为：．【点评】本题主要考查圆锥侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）13．（2023春•绿园区校级期末）某个用橡皮泥捏成的圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为，且，若用这些橡皮泥重新捏成一个圆柱，该圆柱的底面半径为，高为，则　　A．2 B． C． D．【分析】根据可以算出圆锥的母线和高，进而求出结果．【解答】解：设圆锥母线长为，高为，则，所以，所以，因为圆锥和圆柱体积相同，所以，解得．故选：．【点评】本题主要考查圆锥和圆柱体积公式，属于基础题．14．（2023春•宛城区校级月考）已知圆锥的母线长为2，底面半径为，则过顶点的截面面积的最大值等于　　A． B． C．3 D．2【分析】根据题意，作出圆锥的轴截面，分析轴截面的顶角大小，由此可得当两条母线相互垂直时，得到的截面面积的最大，计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图为圆锥的轴截面，其中为底面圆的圆心，，，易得，故当两条母线相互垂直时，得到的截面面积的最大，其最大值．故选：．【点评】本题考查圆锥截面面积最值的求法，涉及三角形面积的计算，属于基础题．15．（2023春•阳高县校级期末）已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为　　A． B． C． D．【分析】利用圆锥侧面积公式直接求解．【解答】解：某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为：．故选：．【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共3小题）16．（2023春•龙岩期中）“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈，“这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈丈尺）”，则该问题中“城”的体积等于　　A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺【分析】由题意求出直四棱柱的底面积，再由棱柱的体积公式计算即可．【解答】解：由题意，计算直四棱柱的底面积为（平方尺）；因为直四棱柱的高为200丈尺，所以问题中“城”的体积即直四棱柱的体积为（立方尺）．故选：．【点评】本题考查了直四棱柱体积的计算问题，是基础题．17．（2023春•南京期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是　　A． B． C． D．【分析】根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图的特点分析可得、的值，进而求出的值，即可得圆锥的体积，又由平面将圆锥的体积分为的两部分，且下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，若其侧面展开图是面积为的半圆，则有，解可得：，，则该圆锥的高，故该圆锥的体积，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分，则下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，则所得的圆台体积为．故选：．【点评】本题考查圆锥、圆台的体积计算，注意圆锥和圆台的关系，属于基础题．18．（2024春•甘肃月考）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 　　．【分析】根据题意，求出正四棱台的高，即可计算四棱台的体积．【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱与底面所成的角为，所以，即，解得，所以该四棱台的体积为．故答案为：．【点评】本题考查了正四棱台的结构特征与体积计算问题，是基础题．七．球的体积和表面积（共3小题）19．（2023春•成华区校级月考）已知正方体的棱长为，则该正方体外接球的体积为　　A． B． C． D．【分析】先求出球的半径，再利用体积公式进行求解即可．【解答】解：由题意正方体的对角线就是球的直径，，球的直径为，则球的体积为，故选：．【点评】本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于基础题．20．（2023春•陕西期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知．“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具．如果一个半球的半径为3，那么这个半球的表面积为　　A． B． C． D．【分析】根据题意代入球的表面积计算公式即可求解．【解答】解：设半球的半径为，则，所以这个半球的表面积．故选：．【点评】本题中医药考查球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．21．（2023春•伊州区校级期末）若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为　　A． B． C． D．3【分析】设球的半径为，直接由球的表面积与体积相等列式求得值．【解答】解：设球的半径为，由题意可得，解得．故选：．【点评】本题考查球的表面积与体积公式，属基础题．八．平面图形的直观图（共3小题）22．（2023秋•虹口区校级期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为　　A． B．2 C． D．【分析】求出直观图等腰梯形的高，计算等腰梯形的面积，再根据原平面图形与直观图的面积比求解即可．【解答】解：因为直观图是底角为的等腰梯形，且，，所以等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，所以原平面图形的面积为．故选：．【点评】本题考查了直观图与原平面图形的面积计算问题，是基础题．23．（2023春•金凤区校级期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是　　A．16 B．12 C． D．【分析】根据斜二测法规则，即可求解．【解答】解：设原图形的四边形为，则根据斜二测法规则及题意可知：原图形中，，又原图形中，原图形中，原图形的周长是．故选：．【点评】本题考查根据斜二测法规则，属基础题．24．（2023春•商丘期末）如图△是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是　　A． B．1 C． D．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．【解答】解：△是一平面图形的直观图，斜边，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是，原平面图形的面积是故选：．【点评】本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题，这种题目可以出现在高考卷的选择或填空中．九．空间几何体的直观图（共2小题）25．（2023春•石家庄期中）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　A． B． C． D．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的轴上，由此可以求得原图形的周长．【解答】解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示，则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8观察四个选项，选项符合题意．故选：．【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．26．（2023春•永川区校级期中）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是　　A．1 B． C． D．【分析】根据斜二测画法的原则确定三角形的底和高即可．【解答】解：因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，所以的底．腰，在中为直角三角形，且高．所以直角三角形的面积是．故选：．【点评】本题主要考查斜二测画法的应用，注意和轴平行的线段长度不变，和轴平行的线段长度减半．一十．斜二测法画直观图（共3小题）27．（2023春•茂名期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为△，已知，则的周长为　　A．6 B．8 C． D．【分析】根据题意，作出原图，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，作出原图，由斜二测画法，在原图中，，，所以．故的周长为；故选：．【点评】本题考查斜二测画法，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．28．（2023春•东莞市校级月考）如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为 　　．【分析】根据题意，求出正方形的面积，由直观图与原图的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，正方形的边长为2，其面积，则四边形的面积，故答案为：．【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．29．（2023春•新邱区校级期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形．并求出直观和原图形的面积．【分析】根据题意，有三角形面积公式求出直观图的面积，由斜二测画法分析原图，进而求出其面积，即可得答案．【解答】解：根据题意，直观图为等腰直角三角形，且，则，其面积．（1）在如图所示的图形中画相应的轴、轴，使与重合）；（2）在轴上取，使，在轴上取，使；（3）连接，则△就是原图形．原图的面积．【点评】本题考查斜二测画法，涉及原图与直观图的面积计算，属于基础题．一十一．平面的基本性质及推论（共3小题）30．（2023春•三明期中）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是　　A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面【分析】根据平面的基本性质判断即可．【解答】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．故选：．【点评】本题考查平面的基本性质及推论的合理运用，是基础题．31．（2023春•中山区校级月考）平面，，不能将空间分成　　A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分【分析】按三个平面的位置关系进行分类讨论，分别研究将平面分成几个部分，即可得到答案．【解答】解：三个平面平行时，将空间分成4个部分；三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8个部分．所以平面，，不能将空间分成5部分．故选：．【点评】本题考查了空间中平面与平面的位置关系，主要考查了平面将空间分成几个部分的问题，考查了学生空间想象能力，属于基础题．32．（2023春•宝鸡期末）下列条件一定能确定一个平面的是　　A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线【分析】根据题意，由空间中点线面的位置关系分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知错误；由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知错误；两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知错误；由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知选项正确．故选：．【点评】本题考查平面的基本性质，空间直线、平面的位置关系，属于基础题．一十二．异面直线及其所成的角（共3小题）33．（2023秋•拉萨期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为　　A． B． C． D．【分析】可连接，，从而得出是异面直线与所成的角，并且看出△是等边三角形，从而可求出的值．【解答】解：如图，连接，，，分别是，的中点，，是异面直线与所成的角，且△是等边三角形，．故选：．【点评】本题考查了三角形中位线的性质，异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．34．（2023春•许昌期末）如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 　　．【分析】取的中点，构造中位线，得到四边形是平行四边形，所以，找出角，再利用余弦定理得到答案．【解答】解：取的中点，连接，，所以，又，所以，，则四边形是平行四边形，所以，则异面直线与所成角为，设三棱柱各棱长为，由余弦定理得．故答案为：．【点评】本题考查了异面直线所成的角的计算问题，属于基础题．35．（2023春•郫都区期末）在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，为的中点，且平面，与交于点，为上一点，且．（1）求证：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．【分析】（1）首先根据已知条件，通过成比例得到，另因为平面，所以平面．，进一步求得结果．（2）利用（1）的结论进一步把异面直线的夹角进行转化成与所成的角．进一步利用所求的线段长，利用余弦定理求出结果．【解答】证明：（1）连接，由于在平面中，和相交于，已知是边长为2的正三角形，底面为菱形，为的中点，根据平行线分线段成比例定理：由于：．则：所以：，平面，所以：平面．平面所以：平面平面．（2）在中，已知：，则：进一步求出：，，利用余弦定理：解得：由：是边长为2的正三角形解得：所以：进一步解得：由题意得：，根据比例的关系进一步求得：，，利用平面．所以：解得：由于：，则：异面直线与所成角即是与所成的角．在中，利用余弦定理：．所以：异面直线与所成角的余弦值为．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直之间的转化，解三角形知识，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，异面直线的夹角问题．属于基础题型．一十三．异面直线的判定（共2小题）36．（2023春•蒙自市校级期中）已知，为不同的平面，，，为不同的直线，则下列说法正确的是　　A．若，，则与是异面直线 B．若与异面，与异面，则与异面 C．若，不同在平面内，则与异面 D．若，不同在任何一个平面内，则与异面【分析】根据异面直线的定义可得出正确的选项．【解答】解：根据异面直线的定义可得出正确．故选：．【点评】本题考查了异面直线的定义，考查了推理能力，属于基础题．37．（2023春•蒲城县校级期末）如图，点在平面外，点在的延长线上，在线段上，则直线，，，，，中有 　5　对异面直线．【分析】根据异面直线的定义判断即可．【解答】解：异面直线共5对，分别是与，与，与，与，与．故答案为：5．【点评】本题考查了异面直线的判定，属于基础题．一十四．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）38．（2023春•城西区校级期中）已知平面平面，过平面内的一条直线的平面，与平面相交，交线为直线，则、的位置关系是　　A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定【分析】根据题意，由平面与平面平行的性质可得，即可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得：，必有．故选：．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，涉及直线与直线、直线与平面的位置关系，属于基础题．39．（2023春•镜湖区校级月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为 　异面　．【分析】利用题给正方体的平面展开图，还原得到正方体的直观图，即可得到在正方体中直线与的位置关系．【解答】解：如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线与的位置关系为异面．故答案为：异面．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系判断，属于基础题．一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共2小题）40．（2023春•蚌埠期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【分析】根据空间线面位置关系的性质与判定判断．【解答】解：对于，由可知存在直线，使得，故当为内与垂直的直线时，显然，，故错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，，故错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，故错误；对于，由，可得，又，故，故正确．故选：．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．41．（2023春•浏阳市期中）平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是 　平行　．【分析】由面面平行的性质定理即可得出答案．【解答】解：平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得．故答案为：平行．【点评】本题考查面面平行的性质定理，属基础题．一十六．直线与平面平行（共3小题）42．（2023春•大兴区校级期末）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　A． B． C． D．以上均有可能【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．【解答】解：四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，平面，平面平面，由直线与平面平行的性质定理可得：．故选：．【点评】本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，基本知识的考查．43．（2023•芝罘区校级开学）如图，在三棱锥木块中，，，两两垂直，，点为的重心，沿过点的平面将木块锯开，且使截面平行于直线和，则该截面的面积为 　　．【分析】如图作出平面，根据线面平行的判定定理，可证平面，平面，则平面即为所求，根据线面平行的判定定理、性质定理，可证四边形为平行四边形，根据线面垂直的判定定理、性质定理，可证四边形为矩形，根据三角形相似，可求得，的值，即可得答案．【解答】解：由，，两两垂直，，则可将三棱锥补形到正方体中，连接并延长，交于，过作的平行线，交于，交与，过作，交于，过作，交于，连接，如图所示，、、、四点共面，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，平面即为所求，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，四边形为平行四边形，又，，，平面，平面，平面，又平面，，四边形为矩形，又易知为边长为的等边三角形，，，又为的重心，，，同理可证，，，矩形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的性质定理，线面垂直判定定理，分割补形法，三角形重心的性质，属中档题．44．（2023春•昌吉州期末）如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．（1）求证：面．（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．【分析】（1）可连接，根据题意知为的中点，然后即可得出，从而可得面；（2）在上存在点，使得平面平面，为的中点，证明过程为：连接，，可说明，从而得出平面，而同理可得出平面，然后根据面面平行的判定定理即可得出平面平面．【解答】解：（1）证明：连接，则为的中点，且为的中点，为的中位线，，又面，面，面；（2）在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下：取的中点，连接，，且为的中点，，且平面，平面，平面，同理，平面，且，平面，平面，平面平面．【点评】本题考查了三角形中位线的性质，线面平行和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．一十七．直线与平面垂直（共3小题）45．（2023春•市中区校级月考）已知：是正三角形，、垂直平面，且，，是中点．求证：（1）平面；（2）平面．【分析】（1）过作，只要证明即可；（2）因为平面，平面，得到平面平面，再由面面垂直的性质得到平面，进一步得到，由线面垂直的判定定理可证．【解答】证明：（1）过作，因为是的中点，所以是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）平面，平面，平面平面，又平面平面，，平面，平面，，又，平面．【点评】本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定，关键是熟练相关的判定定理和性质定理，将线面关系转化为线线关系解答．46．（2023春•海陵区校级月考）如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现在沿着将折起到△位置，得到如图2所示的四棱锥．（1）证明：；（2）若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在梯形中，连接，证明出为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，，利用线面垂直的判定和性质定理可证得结论成立；（2）取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，证明出，过点在平面内作交于点，计算出的长，可计算出的长，分析出为的中点，即可求得的长．【解答】（1）证明：在梯形中，连接，如下图所示：，，，，，，边上一点满足，则，，，且，四边形为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，，为的中点，，同理可证，又，平面，平面，．（2）解：取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，连接，下面证明出，、分别为、的中点，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面，，过点在平面内作交于点，，，由余弦定理可得，，，则，，则，，，则，，，，，，且直线、相交，四边形为梯形，为的中点，，则为的中点，，在线段上存在点，使得，且．【点评】本题主要考查直线与平面垂直的判定，综合性较强．47．（2023春•兴义市校级期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．求证：（1）平面；（2）．【分析】（1）证明，利用直线与平面平行的判断定理证明平面．（2）证明，结合，推出平面，然后证明．【解答】证明：（1）因为点，分别是，的中点，所以，又因平面，平面，从而平面．（2）因为点是的中点，且，所以，又因，平面，平面，，故平面，因为平面，所以．【点评】本题考查直线与平面平行以及垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．一十八．平面与平面之间的位置关系（共2小题）48．（2023春•嘉兴期末）下列命题中，正确的是　　A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一直线的两个平面平行【分析】根据平行于同一直线的两个平面，位置关系是相交或平行来判断；根据平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面来判断；根据垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交来判断；根据垂直于同一直线的两个平面平行来判断．【解答】解：对，平行于同一直线的两个平面，位置关系是相交或平行，故错误；对，平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，故错误；对，垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交，故错误；对，垂直于同一直线的两个平面平行，故正确．故选：．【点评】本题考查了平面与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力．49．（2023春•东平县校级期中）如图，，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过　　A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点【分析】直线，过，，三点的平面记作，可得，即可得出结论．【解答】解：直线，过，，三点的平面记作，，与的交线必通过点和点，故选：．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．一十九．平面与平面平行（共3小题）50．（2023春•金水区校级期中）如果直线平面，直线平面，且，则与的位置关系为　　A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系直接判断即可．【解答】解：因为直线平面，直线平面，且，所以直线与的位置关系为：平行或异面．故选：．【点评】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题．51．（2023春•宁波期中）如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．【分析】（1）可连接，根据题意知为的中点，然后即可得出；（2）在上存在点，使得平面平面，为的中点，证明过程为：连接，，可说明，从而得出平面，而同理可得出平面，然后根据面面平行的判定定理即可得出平面平面．【解答】解：（1）证明：连接，则为的中点，且为的中点，为的中位线，；（2）在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下：取的中点，连接，，且为的中点，，且平面，平面，平面，同理，平面，且，平面，平面，平面平面．【点评】本题考查了三角形中位线的性质，线面平行和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．52．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【分析】（1）利用线线平行证线面平行；（2）利用线面平行证面面平行．【解答】（1）证明：因为平面，，所以平面，（2）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面．【点评】本题考查线面平行的证明与面面平行的证明，属基础题．二十．平面与平面垂直（共3小题）53．（2023春•仓山区校级期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明．（2）由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面．（3）取的中点，连接，，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得平面．【解答】解：（1）证明：平面，平面，平面平面，所以．（2）证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（3）当为中点时，平面．证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，又因为，，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面．线段上存在点，使得平面．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题．54．（2023春•谯城区校级期末）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．【分析】（1）由中位线的性质可知，由此即可得证；（2）先由平面，可证，再结合已知，即可证得平面，进而得证．【解答】证明：（1），分别为，的中点，是三角形的一条中位线，，不在平面内，在平面内，平面；（2）平面，在平面内，，又，，且，都在平面内，平面，在平面内，平面平面．【点评】本题考查线面平行及面面垂直的判定，掌握基本的判定定理是解题的关键，属于基础题．55．（2023春•阳高县校级期末）如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【分析】（1）只需证明四边形是平行四边形，即可得到，由此得证；（2）只需证明平面，再利用面面垂直的判定可得出结论．【解答】证明：（1）取的中点，是的中点，，且，又底面是菱形，是中点，，且，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）设，则是中点，底面是菱形，，又，是中点，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面．【点评】本题考查线面平行及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．二十一．直线与平面所成的角（共3小题）56．（2023春•秦淮区校级月考）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为　　．【分析】连接，则在正方体中，面，可得是直线与平面所成角，即可求出直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：连接，则在正方体中，面，是直线与平面所成角设棱长为1，则，直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查直线和平面所成的角．解决本题的关键在于找出直线与平面所成角．57．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角 　　．【分析】先得平面，根据线面所成的角的定义即可得．【解答】解：直三棱柱中，平面，，又，，，平面，则为直线与平面所成的平面角，又，又平面，则，则．【点评】本题考查直线与平面所成的角，属于基础题．58．（2023春•嘉定区校级期末）如图，在长方体中，已知，，点为棱的中点．求直线与平面所成角的正切值．【分析】根据长方体的性质可证得直线与平面所成角就是，根据即可求得．【解答】解：因为长方体，且，所以平面，故直线与平面所成角就是，在中，由已知可得，因此，，即直线与平面所成角的正切值为．【点评】本题考查了直线与平面所成的角的计算，属于基础题．二十二．二面角的平面角及求法（共2小题）59．（2023春•西安期末）是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求平面与平面所成的二面角的大小．【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长交延长线于，连，只要证明平面即可得到为所求的平面与平面所成二面角，在等腰直角三角形中即可得到．【解答】解：（1）证明：如图所示，取中点，连、．，，，且．又，且，且．四边形为平行四边形，．平面，平面，平面．（2）证明：平面，．又是正三角形，是的中点，．平面．又，平面．平面平面．，，．平面，．（3）解：延长交延长线于，连．由，知，为的中点，．又平面，．平面．为所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，可得．平面与平面所成的较小二面角是．【点评】熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．60．（2023春•喀什市校级期中）如图所示：三角形是边长为2的等边三角形，平面，，是的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．（2）推导出，，，，从而即是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小．【解答】证明：（1）为等边三角形，是的中点，是的中线、角平分线和高线，，平面，，，，，平面解：（2）由（1）知，平面，，，，，，，是等腰三角形，是的中点，是的中线、角平分线和高线，，即是二面角的平面角，，，，，二面角的大小为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．