03第8章 立体几何初步 单元综合检测（重点）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第8章 立体几何初步 单元综合检测（重点）一、单选题1．下列说法正确的是（　　）A．四边形确定一个平面B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内C．经过三点确定一个平面D．经过一条直线和一个点确定一个平面2．一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（ ）A． B． C． D．3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ）A．6 B． C． D．124．设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中错误的是（    ）A．当时，若，则B．当时，若，则C．当时，若则是异面直线D．当时，若则5．已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（    ）  A．1 B．2 C．3 D．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（    ）A．EF平面B． C．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面所成角的正弦值为8．四面体，，，两两垂直，，，分别是，，上的点，且，设二面角，，的平面角分别为，，，则（    ）．A． B．C． D．二、多选题9．下列说法中不正确的是（    ）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线10．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（　　）A． B．C． D．11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（    ）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为12．如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（    ）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为三、填空题13．空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）.14．如果圆台的两底面半径是和，则与两底面平行且等距离的截面面积为 ．15．如图，在三棱柱中，， ，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于 16．如图，在长方体中，底面为正方形，E，F分别为，CD的中点，点G是棱上靠近的三等分点，直线BE与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；    ②；③平面平面；    ④B，E，F，G四点共面.其中，所有正确结论的序号为 .四、解答题17．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.19．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？21．如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.22．已知如图平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点.        (1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.第8章 立体几何初步 单元综合检测（重点）一、单选题1．下列说法正确的是（　　）A．四边形确定一个平面B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内C．经过三点确定一个平面D．经过一条直线和一个点确定一个平面【答案】B【解析】略2．一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正方体表面积求出棱长，从而得到内切球半径，代入球的体积公式求得结果.【解析】设正方体棱长为，则    正方体内切球半径为棱长的一半，即体积本题正确选项：【点睛】本题考查球的表面积公式和体积公式的应用，关键是明确正方体内切球半径为正方体棱长的一半.3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ）A．6 B． C． D．12【答案】D【分析】由直观图和原图的之间的关系，还原是一个直角三角形，直接求解其面积即可.【解析】如图，由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，，∴.故选：D.4．设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中错误的是（    ）A．当时，若，则B．当时，若，则C．当时，若则是异面直线D．当时，若则【答案】C【分析】根据线面平行和垂直关系逐项分析判断即可得解.【解析】对A，两个互相平行的平面同时垂直于同一个平面，故A正确；对B，分别垂直于两个平行平面的直线互相平行，故B正确；对C，两个互相平行的平面内的两条直线可以平行或异面，故C错误；对D，由则，又则成立，故D正确.故选：C.5．已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长交圆于，连接，取的中点，连接，分析可知为与所成的角，利用余弦定理可求得，然后利用余弦定理可求得的余弦值，即为所求.【解析】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，则为与所成的角，不妨设圆的半径为，则，，因为为、的中点，则四边形为平行四边形，，，则，在中，，由余弦定理可得，所以，．故选：A．6．如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（    ）  A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】取MD中点O，连接OP，OQ，利用线面平行的判定定理证明平面.从而利用面面平行的判定定理得平面平面.再利用面面平行的性质定理得，利用三角形的比例性质即可求解.【解析】如图所示，  取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.又平面，，平面，平面，∴平面平面.又平面，平面，平面平面，平面平面，∴，∴在中，.故选：C.7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（    ）A．EF平面B． C．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面所成角的正弦值为【答案】C【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断．【解析】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正确；对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确；对于C，由，得EF与AD1所成角为.在中，，所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，，所以，故D正确．故选：C．8．四面体，，，两两垂直，，，分别是，，上的点，且，设二面角，，的平面角分别为，，，则（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】设四面体为侧棱的直三棱锥，令，应用等体积法求到面的距离，等面积法求到、、的距离，进而可得，，并比较大小，即可确定，，的大小关系.【解析】由题设，不妨设直三棱锥是侧面腰长为4的等腰直角三角形，即，且，∴，而，∴，则，又，若到面的距离为，∴，而到的距离，同理可得到的距离，到的距离，∴由题设知：，，，又，，均为锐角，∴，即.故选：B.【点睛】关键点点睛：构建符合题设条件的四面体，利用几何法求面面角的正弦值，由题意知，，均为锐角，即可比较角的大小.二、多选题9．下列说法中不正确的是（    ）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】ABC【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解.【解析】如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故A错；有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即B错误，反例如图：棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故C错；圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故D对.故选：ABC10．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（　　）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明即可．【解析】解：对于A：取GD的中点F，连结BF、EF，因为B、F均为相应边的中点，则BF∥HG，且BF＝HG，又HG∥AE，HG＝AE，则BF∥AE，BF＝AE，即ABCD为平行四边形，所以AB∥EF，同理CD∥EF，则AB∥CD，即A、B、C、D四点共面，故A正确；对于B：显然AB与CD异面，故B不正确；对于C：连结AC、BD、EF，因为BE∥DF，即BDFE为平行四边形，所以BD∥EF，又A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF，所以BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，故C正确；对于D：连结AC、BD、EF、GH，因为GE∥HF，即GEFH为平行四边形，则GH∥EF，又A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF，同理BD∥GH，所以BD∥AC，即A、B、C、D四点共面，故D正确．故选：ACD．11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（    ）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为【答案】ACD【分析】将圆台的侧面展开图还原可得圆台，并根据圆弧所在圆的半径和圆心角，可计算圆台的高、体积、表面积以及内切球的半径.【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即；，即；圆台的母线长，所以圆台的高，故A正确；圆台的体积，故B错误；圆台的表面积，所以C正确；由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，即D正确.故选：ACD.12．如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（    ）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为【答案】ABC【解析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【解析】由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.三、填空题13．空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）.【答案】【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论.【解析】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分；两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面，这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分.因此，空间三个平面最多将空间分成个部分.故答案为：.14．如果圆台的两底面半径是和，则与两底面平行且等距离的截面面积为 ．【答案】【分析】取圆台的轴截面，利用梯形的中位线可求得所求截面圆的半径，再利用圆的面积公式可求得结果.【解析】根据题意，圆台的轴截面是上底为，下底为的等腰梯形，由于题中的截面平行于上、下底，且与上、下底等距离，所以，这个截面圆在圆台轴截面上截得的直径是等腰梯形的中位线，因此，根据梯形中位线公式，得该截面圆的直径等于，所以，该截面圆的半径为，可得截面面积为．故答案为：.【点睛】本题考查圆台的截面圆面积的计算，考查圆台轴截面的应用，考查计算能力，属于基础题.15．如图，在三棱柱中，， ，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于 【答案】/0.5【分析】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，可得四边形为矩形，结合条件可得，，进而即得．【解析】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，则即为三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四边形为矩形，在直角三角形和中，，，侧棱的长为1，则，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案为：.16．如图，在长方体中，底面为正方形，E，F分别为，CD的中点，点G是棱上靠近的三等分点，直线BE与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；    ②；③平面平面；    ④B，E，F，G四点共面.其中，所有正确结论的序号为 .【答案】①②③【分析】设，由题可得，然后根据线面平行的判定定理可判断①，根据长方体的性质结合条件可得，进而可判断②，根据线面角的概念可得，进而可得，然后根据线面垂直及面面垂直的判定定理可判断③，根据条件可作出过的平面，进而可判断④.【解析】设，连接，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故①正确；连接，因为底面为正方形，所以，所以，又，，所以，故②正确；由题可知平面，所以为直线BE与平面所成角，即，则，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正确；延长交的延长线于，连接交于，连接，则B，E，F确定平面，由，可得，又点是棱上靠近的三等分点，所以平面，故④错误，所以所有正确结论的序号为①②③.故答案为：①②③.四、解答题17．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面.(2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.（2）连接，如图所示：因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.【解析】（1）平面，四边形为矩形，，.（2）证明：平面，，又，且点是的中点，，又，，，平面，又平面，，由，，，平面，平面，.19．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.【解析】（1）在正方体中，连接，由于，所以是异面直线与所成的角，由于三角形是等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角的大小为.（2）在正方体中，，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知，所以二面角的大小为.20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？【答案】(1)方案一：（m3），方案二：（m3）；(2)方案一：（m2），方案二：（m2）；(3)方案二比方案一更加经济些.【分析】（1）根据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；（2）根据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；（3）根据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可判断.【解析】（1）按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，则仓库的体积为（m3）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，则仓库的体积为（m3）,（2）根据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积（）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积为（）.（3）根据（1）（2）所求，，故方案二比方案一更加经济些.21．如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)①；②【分析】（1）由题意，为的中点，推出，由平面ABC，推出BC⊥PO，进而得到线面垂直，即可得到所证；（2）①由（1）利用线面垂直和勾股定理求解出长，求出的体积；②由（1）利用面面垂直的判定得到平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可，【解析】（1）因为，为的中点，所以，又平面，则，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）①由平面，则直线与平面所成角为，则，由，为的中点，所以，则，所以，由平面，所以，所以；②在平面内作于，连接，由，又，平面，所以平面，所以，则为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，所以在三角形中，，所以，则，同理，而，所以，即二面角的大小为.22．已知如图平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点.        (1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理可求解；（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用二面角平面角的定义，结合三角形等面积法即可求解.【解析】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）如图所示，过点作，垂足为．        由（1）知，平面，因为平面，所以，，，平面，所以平面，所以为与平面所成角.由（1）知，平面，平面，所以，在中，因为，，所以，因为为的中点，所以，在中，，在中，，在中，，所以由同角三角函数的基本关系得.所以与平面所成角的正弦值为.  （3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，由（1）知，平面，所以平面，平面.所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角.在中，，由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，所以，由（1）知，平面，平面，所以，在中，，由（2）知，，即，解得.因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为.