高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合示范课课件ppt

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问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为 3×2=6.
这6种不同的选法如图所示.
问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分三个步骤来解决这个问题：第1步， 确定百位上的数字， 在1， 2， 3， 4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步， 确定十位上的数字， 当百位上的数字确定后， 十位上的数字只能从余下的3个数字中去取， 有3种方法；第3步， 确定个位上的数字， 当百位、十位上的数字确定后， 个位的数字只能从余下的2个数字中去取， 有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1， 2， 3， 4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三位数，不同的排法种数为4×3×2＝24 .
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24 .因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.
由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143213 214 231 234 241 243312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432
上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.
两个排列相同的充要条件两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同．
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照__________ ____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
【预习自测】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)1，2，3与3，2，1为同一排列．(　　)(2)有12名学生参加植树活动，要求3人一组，分组方案的种数属于排列问题．(　　)(3)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．(　　)(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．
(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛？ (2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛？
(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？在上述三个问题中，是排列问题的是________(填序号).【答案】(1)【解析】对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．故填(1).
确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认(1)要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题．而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个．
解：(1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列问题，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能．(5)是排列问题，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．
例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
解：(1) 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3＝60. (2) 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5＝125.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，求其商的个数；(2)求由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求分配方案的个数．
题型2　排列的简单应用
解：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列有100×99＝9 900.(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个).(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，有5×4×3×2＝120(个).