人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.2 事件的相互独立性精品导学案及答案

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知识精讲
知识点
1.相互独立的概念：对于任意两个事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立 .
2. 相互独立事件的性质
①必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立
【微点拨】如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
【即学即练1】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（ ）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
【即学即练2】如图所示，表示个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为，，，则该系统的可靠性(个开关只要一个开关正常工作即可靠)为（ ）
A．0.504B．0.994C．0.496D．0.064
【即学即练3】有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（ ）
A．0.56B．0.92
C．0.94D．0.96
【即学即练4】2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练5】已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P()＝0.42.其中正确的有( )
A．4个B．2个
C．3个D．1个
【即学即练6】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则（ ）
A．A与B互斥B．A与B相互独立
C．D．
【即学即练7】假设，，且，相互独立，则______；______.
【即学即练8】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
（1）甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________；
（2）至少有一个气象台预报准确的概率为________.
【即学即练9】证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立.
【即学即练10】天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率；
（2）甲、乙两地都不降雨的概率；
（3）至少一个地方降雨的概率.
能力拓展
考法01
判断事件的相互独立：
【典例1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（ ）
A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等
【典例2】下列各对事件中，不互为相互独立事件的是
A．掷一枚骰子一次，事件 “出现偶数点”；事件 “出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件 “从甲组中选出1名男生”，事件 “从乙组中选出1名女生”
【典例3】若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立
【典例4】下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
【典例5】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
【典例6】从一副无大小王的扑克牌（52张）中任抽一张，记事件A为“抽到K”，记事件B为“抽到红牌”，判断事件A与B是否相互独立？为什么？
考法02
相互独立事件概率公式的运用：
【典例7】若事件与相互独立，且，则的值等于
A．0B．C．D．
【典例8】若，，，则事件与的关系错误是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立
【典例9】已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝_______；P()＝_______
【典例10】已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
考法03
事件相互独立的实际应用：
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的
②求出每个事件的概率，再求积
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的
2. 求较复杂事件的概率的一般步骤如下
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示，
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式，
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算，
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【典例11】在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ）
A．0.12B．0.88C．0.28D．0.42
【典例12】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为＋；④目标被命中的概率为1－，以上说法正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．②④D．①③
【典例13】一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例14】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）

A．B．C．D．
【典例15】设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例16】从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为D．个球中恰有个红球的概率为
【典例17】有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．恰有一人解出的概率为
B．没有人能解出的概率为
C．至多一人解出的概率为
D．至少两个人解出的概率为
【典例18】某自助银行有四台ATM，在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.
（1）若某客户只能使用四台ATM中的或，则该客户需要等待的概率为_________；
（2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率为_______.
【典例19】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶;（2）恰好有一人中靶;（3）两人都脱靶;（4）至少有一人中靶.
【典例20】甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求：
（1）甲、乙都解出此问题的概率；
（2）甲、乙都未解出此问题的概率；
（3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率；
（4）至少有一人解出此问题的概率.
分层提分
题组A 基础过关练
1．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥B．互为对立
C．相互独立D．相等
2. 甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是（ ）
A．B．C．D．
3. 一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立,若旅行团选择两个景点都去的概率是,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则选择去百花村的概率是（ ）
A．B．C．D．
4. 出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是,则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（ ）
A．B．C．D．
5. 首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是（ ）
A．B．C．D．
6. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
7. 学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
8. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（ ）
A．0．729B．0．8829C．0．864D．0．9891
9. 中秋节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，．假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为（ ）
A．B．C．D．
10. 在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有人去此地的概率是（ ）
A．B．C．D．
11. 下列事件A，B是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”
D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”
12. 某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ）
A．B．C．D．
13. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为（ ）
A．0.015B．0.005C．0.985D．0.995
14. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件｛第一个正四面体向下的一面出现偶数｝；事件｛第二个正四面体向下的一面出现奇数｝；事件｛两个正四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数｝.给出下列说法：
①；②；③.
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15. 荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（ ）
A．B．C．D．
16. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
17. 甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
题组B 能力提升练
1.（多选题） 下列各对事件中,为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
2. （多选题）甲袋中有5个红球15个白球，乙袋中有5个红球5个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为
3. （多选题）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（ ）
A．两件都是次品的概率为0.28B．至多有一件正品的概率为0.72
C．恰有一件正品的概率为0.26D．至少有一件正品的概率为0.98
4. （多选题）从甲袋中摸出个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为
5. （多选题）下列关于概率的命题，正确的有（ ）
A．若事件满足，则为对立事件
B．若事件A，B满足，则A，B相互独立
C．若对于事件，则两两独立
D．若对于事件与相互独立，且，则
6. （多选题）设为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为（ ）
A．若，则 为相互独立事件
B．若，则 为相互独立事件
C．若，则 为相互独立事件
D．若，则 为相互独立事件
7. （多选题）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4
B．目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4
C．目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4
D．目标被命中的概率为1－0.5×0.6
8. （多选题）如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是（ ）
A．A,B两个盒子串联后畅通的概率为B．D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为D．当开关合上时,整个电路畅通的概率为
9. 、、三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是、、，则三人都能达标的概率是__________，三人中至少有一人能达标的概率是__________.
10. 事件 A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P (B)=____;PB)=____.
11. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为___________.
12. 事件互相独立，若，则__________.
13. 在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______.
14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
15. 已知、、相互独立，如果，，，_________.
C 培优拔尖练
1. 设样本空间含有等可能的样本点，且，请验证A，B，C三个事件两两独立，但.
2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
3. 男、女两名运动员分别参加不同的长跑比赛，根据以往经验，他们获得冠军的概率分别为0.6与0.5，求下列事件的概率.
(1)两人都得冠军；
(2)至少一人得冠军.
4. 某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目．据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
5. 已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，甲、乙两人投篮是否投中相互独立．
(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
(3)若乙投篮两次，则至少投中一次的概率为多少？
6. 一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．试分别判断（1）（2）中的A，B是否为相互独立事件．
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B.
7. 一不透明容器中装有仅颜色不同的4个绿球和2个红球，分别采用有放回和不放回两种方式从中取两球．试分别就两种取球方式计算下列事件的概率：
(1)取到两绿球；(2)取到两颜色相同的球；(3)取到的两球中至少有一个为绿球．
8. 常言道：“三个臭皮匠，赛过诸葛亮．”意为：三个才能平庸的人，若能同心协力、集思广益，也能提出比诸葛亮还周到的计策．这是对人多智慧广、人多办法多的一种赞誉．试用两种计算概率的方法来加以论证，假设诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠独立解出问题的概率分别为，，，且每个臭皮匠解出问题是相互独立的．
9. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立．
10. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求；
(1)两人都成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
11. 某公司的录用考试有三道题目，张明和李华答对每道题目的概率都是.每位应试者都有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则考试通过，否则就一直抽题到第三次为止.张明和李华两人对每道题目的回答都是相互独立､互不影响的，并且约定两人都知道结果时一起离开考场.
（1）若，求第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场的概率；
（2）如果张明和李华都通过考试的概率大于0.81，求的取值范围.
12. 第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
课程标准
课标解读
理解相互独立事件的概念及意义；
能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题；
3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
通过本节课的学习，要求会求独立事件同时 生的概率，能综合处理与古典概型相关的实际问题.