立体几何题型02几何法求二面角

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几何法求二面角一、二面角：1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角的大小范围：[0°，180°]。二、几何法求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律。（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用。（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角。（2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空间一点垂面法）。（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面积法求二面角：（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则这个方法对于无棱二面角的求解很简便。（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.于，，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角—BC—的平面角.设△ABC和△的面积分别为S和，，则..题型一： 定义法求二面角例1.（2022春·高一课时练习）假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中点，连接，∵和都是边长为2的正三角形，则，所以为二面角的平面角，又因为，则，AB D C所以，即二面角的大小为.故选：D.例2.（2021春·高一课时练习）如图，在正方体中，求二面角的正切值．【答案】【解析】如图，取的中点，连接，，则，又，为的中点，故，故是二面角的平面角．因为平面，平面，所以，设正方体的棱长为，则，在中，，所以二面角的正切值为.例3.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________.【答案】0【解析】作,垂足为D，作交于E点，连接,因为，故D为的中点，E为的中点，平面，平面，所以,又，平面,故平面,平面,故,所以,则为二面角的平面角，因为，,故,则, 又平面，平面，所以,则,故，所以二面角的余弦值大小为0，例4.（2023·全国·高三专题练习）如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______．【答案】【解析】∵，又点为的中点，∴，∵垂直平分，，平面，∴⊥平面，∵平面，∴⊥，∵⊥平面，平面∴⊥，∵，平面，∴⊥平面，∵平面，∴⊥，⊥，故是平面与平面的二面角，设，则，故，∵⊥，∴，故，故，∴.题型二： 三垂线法求二面角例1.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的平面角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正的中心为，有，而平面，则，延长交于点D，则点为的中点，有，，即为二面角的平面角，由，得，显然三棱锥为正三棱锥，其外接球的球心M在线段上，由三棱锥的外接球的表面积为，则该球半径，由，解得，，，所以，所以二面角的平面角的余弦值为.故选：B例2.（2023·广东广州·统考二模）木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以 ,进而可得取的中点为，过的中点作，连接,所以 ,,故,在直角三角形中，故，由于，所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，故选：A例3.（2023·全国·高二专题练习）如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．【答案】/【解析】取OC的中点N，连接MN，则MN∥PO，∵ PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，则∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，则，在Rt△BCD中，CD·BC =BD·CS，  则，则，所以，所以二面角M-BD-C的正切值为．例4.（2023春·全国·高一专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.（1）求证：平面平面ABC；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，又∵平面ABC，∴平面平面ABC.（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.∴.过M作于点，连接，∵平面ABC，∴，∵平面，∴平，∵平面，∴.∴即为二面角的平面角，，∴，，∴，∴.故二面角的余弦值为.例5.（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．（1）证明：平面ABC⊥平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，如图，由是菱形，所以．又，，所以平面，故,又，，所以AB⊥平面，又平面ABC．所以平面ABC⊥平面．（2）过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接．由平面ABC⊥平面，平面平面，所以平面ABC，所以，．又OH⊥BC，，所以BC⊥平面，故为二面角的平面角．设，由，可知O为AC的中点，所以．又，平面，平面，所以AB⊥AC，所以．所以．所以，所以二面角的余弦值为．例6.（2023春·全国·高一专题练习）在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如图，过点作交于点，则，故平面ABC，因为平面ABC，故，过点作交AB于点，连接DN，因为平面，平面，且，所以平面，又平面，则，故即二面角的平面角.设，在直角中，，所以，，所以，.所以，则，易知在上的值域为，所以.故选：C.题型三： 垂面法求二面角例1.（2023·全国·高一专题练习）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______．【答案】/【解析】设二面角的大小为，因为，，垂足为、，所以平面，平面，所以，又，所以.例2.（2021春·四川宜宾·高一统考期末）如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H．（1）求证：AB⊥平面PCD；（2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）120°【解析】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．又，故AB⊥平面PCD．（2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH，∴∠CHD是二面角的平面角；∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°；∴∠CHD＝120°；即二面角的大小是120°．例3.（2023·全国·高一专题练习）已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________.【答案】或【解析】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，，故，，又，平面，故平面，又，平面，故，，所以为二面角的平面角，因为直线所成角的大小为，所以或，当时，如图因为，所以；当时，如图因为，所以;综上，二面角的大小为或故答案为：或例4.（2023·全国·高一专题练习）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__．【答案】【解析】设平面交直线于点，连接，，由于，，，，故，，又，平面，故平面，又，平面，故，，所以为二面角的平面角，由于，，，，故，，故在四边形中，与互补，又，，在中由余弦定理，即，解得，又，所以，故，则二面角的大小为．题型四： 补形法求二面角例1.（2022·高一单元测试）如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为______．【答案】【解析】设棱长为1，延长、、交于一点，所以，，，则，故．同理，则即为所求二角的平面角，而，所以，其正弦值为．例2.（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值.【答案】【解析】∵，，∴∵面面，面面，又∵底面为正方形，∴，，，又面，则面PBC，故面PBC，面，∴，且面ABCD为正方形，如下图，作，，连接MF，ND，∴四边形、四边形为矩形，则∵M、N分别为AP和AC的中点∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，易知：面与面为同一个平面，且面面，所以平面平面，∵，，又面∴面，结合，故面，又面，则，在矩形中，由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为，∵，，，∴∴∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为.例3.（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，∵为中点，为中点，∴，又面，面，∴面，在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F为AB中点，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；（2）延长与交于，连，则面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面内过作，则面，∵面，∴，过作，连，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即为面与面所成二面角的平面角，∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.例4.如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________．【答案】【解析】如下图所示：当与重合时，可得：；②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面，平面，可得：过作于点，连接，可得：平面可得：故为平面与平面所成的角，即设，可得：，，可得：当且仅当，即为的中点时取等号.综上，的最小值为题型五: 射影面积法求二面角例1.（2022春·新疆和田·高一校考期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；（2）由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD．设AD＝a，则S△PAD，△PBD中，PD＝a，BDa，PBa，∴S△PBD，∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为，∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为．例2.（2023·全国·高二专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.【答案】【解析】过 A作的延长线于E， 连结 DE，∵平面平面，平面平面，∴ 平面∴ E点即为点A在平面内的射影，∴ 为在平面内的射影，设，则，∴由余弦定理可得，∴∴ ， 又，∴ ，设二面角为，∴ .而二面角与互补，∴二面角 的余弦值为.例3.（2022春·湖北·高一安陆第一高中校联考阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求：（1）圆柱的体积和侧面积；（2）二面角的正弦值．【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2）【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长，所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为.（2）因为是圆柱的底面直径，所以，因为是圆柱的母线，所以平面，在中，，，所以，∴，由勾股定理得，在中，∴，则，设二面角为，则由射影面积法可得所以，因此，二面角的正弦值为.例4.（2022春·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）（多选）如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有（ ） A．平面B．直线与BD所成的角为60°C．二面角的正切值是D．与底面ABCD所成角的正切值是【答案】AB【解析】如图，因为正方体中对角线在平面上的射影为，而，，，所以平面，所以，同理可得，又，可得平面，故A正确；因为，所以直线与BD所成的角为直线与所成的角，即为所求，又正方体中为正三角形，所以，故B正确；因为在上底面的射影三角形为，所以二面角的余弦为，所以，故C错误；因为平面ABCD，所以与底面ABCD所成角为，所以，故D错误.故选：AB