初中数学人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明测试题

这是一份初中数学人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明测试题，文件包含第9课时命题定理与证明原卷版docx、第9课时命题定理与证明解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
考点1 命题的定义及结构
1．（2022春•周村区期中）下列语句是命题的是（ ）
A．画线段AB
B．用量角器画∠AOB＝90°
C．同位角相等吗？
D．两直线平行，内错角相等
思路引领：根据命题的定义即可求解．
解：根据命题是对某个问题作出判断，因此ABC不是命题，
故选：D．
总结提升：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2．（2021秋•雁塔区校级期末）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．①②④⑤D．①②④
思路引领：根据命题的定义对语句进行判断．
解：钝角大于90°是命题；
“两点之间，线段最短”是命题；
“明天可能下雨”不是命题；
“作AD⊥BC”不是命题；
“同旁内角不互补，两直线不平行”是命题．
故选：B．
总结提升：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3．（2022春•郧阳区期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
③两直线平行，内错角相等
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据平行线的判定与性质、垂直的相关定理逐项判断．
解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；
③两直线平行，内错角相等，是真命题；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
∴真命题有：①③两个，
故选：B．
总结提升：本题考查定理与命题，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、垂直的相关定理．
4．下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；
②同位角相等吗？
③画线段AB＝CD；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
⑤直角都相等．
A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④⑤
思路引领：根据命题的定义分别进行判断即可．
解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题；
②同位角相等吗？，不是命题；
③画线段AB＝CD，不是命题；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题；
⑤直角都相等，是命题；
故选：A．
总结提升：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
考点2 命题的分类
5．（2022•金华模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1B．a＝3，b＝﹣2C．a＝0，b＝1D．a＝2，b＝1
思路引领：据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，
∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．
故选：A．
总结提升：此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6．（2016春•罗平县校级期中）命题：“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”，题设是 ，结论是 ．
思路引领：根据命题的组成可知如果后面是题设，那么后面是结论，本题得以解决．
解：命题：“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”，
题设是a∥b，b∥c，结论是a∥c，
故答案为：a∥b，b∥c，a∥c．
总结提升：本题考查命题与定理，解题的关键是明确命题的定义，知道题设和结论分别是哪部分．
7．（2021春•额尔古纳市期末）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号）
思路引领：根据两直线的位置关系一一判断即可．
解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为③．
总结提升：本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
8．（2019春•广饶县期中）下列命题：①垂线段最短；②同位角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④内错角相等，两直线平行；⑤经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥如果|x|＝2，那么x＝2．其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：直接利用平行线的判定方法以及垂线的性质、绝对值的性质分别判断得出答案．
解：①垂线段最短，是真命题；
②同位角相等，是假命题；
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故是真命题；
④内错角相等，两直线平行，是真命题；
⑤经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
⑥如果|x|＝2，那么x＝±2，原命题是假命题．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
9．（2021春•金乡县期末）如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③DF∥AC三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
思路引领：根据命题的概念分别写出3个命题，根据对顶角相等、平行线的判定定理和性质定理证明即可．
解：命题1，如果∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么DF∥AC，是真命题，
证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴DB∥EC，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴DF∥AC；
命题2，如果∠1＝∠2，DF∥AC，那么∠C＝∠D，是真命题，证明方法同上；
命题3，如果DF∥AC，∠C＝∠D，那么∠1＝∠2，是真命题，证明方法同上，
故选：D．
总结提升：本题考查的是命题的概念、命题的真假判断，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点3 定理与证明（举反例）
10．下列说法错误的是（ ）
A．命题不一定是定理，但定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理
思路引领：根据命题与定理的定义与意义分别判断即可．
解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，正确，不符合题意；
B、定理不可能是假命题，正确，不符合题意；
C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意；
D、如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理，正确，不符合题意，
故选：C．
总结提升：考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单．
11．下列命题中，可以作为定理的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角互补；
②相等的角是对顶角；
③等角的余角相等；
④同角的补角相等．
A．1B．2C．3D．4
思路引领：对于①，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；对于③，④，根据补角和余角的性质即可判断．
解：两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
等角的余角相等，所以③可作为定理；
同角的补角相等，所以④可作为定理．
故选：C．
总结提升：本题侧重考查命题和定理，熟记常见命题和定理是解题关键．
12．（2021•江北区模拟）能说明命题“对于任意实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2B．a=13C．a=2D．a＝2
思路引领：写出一个a的值，不满足|a|＞﹣a即可．
解：命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题，反例要满足a≤0，如a＝﹣2．
故选：A．
总结提升：本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．（2021春•罗湖区校级期末）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
思路引领：熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β＝∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选：C．
总结提升：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
14．（2022春•河北区校级月考）命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式是 ；它是 命题（填“真”或“假”）．
思路引领：一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
解：∵“两直线平行，同位角相等”的题设是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”，为真命题，
故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行，真．
总结提升：本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度适中．
二、易错点
易错点1：改写“如果…，那么…”的时候，不能区分题设和结论或者语言不通顺
疑难点辨析：不能区分原命题和逆命题的题设和结论
15．把“等角的余角相等”改为“如果…那么…”的形式是____________________．
思路导引：先搞清这个命题的结论是什么，其余部分则为题设部分，并适当将语句丰满完整．
答案：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
误点警示：常见的错误有两种，一是不能区分题设和结论，如“如果两个角相等，那么这两个角的余角相等”；二是语句不完整，如“如果等角的余角，那么相等”．
拔尖角度
角度1 利用命题的分类识别真假命题（举反例法）
16．（2021春•福山区期末）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；
②对顶角相等；
③等腰三角形的两个底角相等；
④同角（或等角）的余角相等．
其中逆命题是真命题的是（ ）
A．①B．①③C．①③④D．①②③④
思路引领：分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④同角（或等角）的余角相等的逆命题是如果两个的余角相等则这两个角是同角（或等角），逆命题是真命题；
故选：C．
总结提升：此题考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．指出下列命题的条件和结论，并判断此命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
（1）互补的两个角都是钝角；
（2）a2＞b2，则a＞b；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）—个角的余角小于这个角．
思路引领：（1）互补的两个角一个是锐角一个是钝角，或两个都是直角；
（2）根据平方的概念判断；
（3）根据平行线的判定方法进行判断；
（4）根据直角三角形的判定解答．
解：（1）条件：两角互补；结论：这两个角都是钝角，此命题是假命题，如：∠1＝120°，∠2＝60°，显然∠1与∠2互补，但∠2是锐角；
（2）条件：a2＞b2，结论：a＞b，此命题是假命题，如a＝﹣3，b＝2时，（﹣3）2＞22，但﹣3＜2；
（3）条件：同位角相等，结论：两直线平行，此命题是真命题；
（4）条件：一个角的余角，结论：小于这个角，此命题是假命题，如30°的余角等于60°，但60°＞30°．
总结提升：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
角度2 利用证明的意义补全证明过程
18．（2021春•福田区校级期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAG＝60°，求∠G的度数．
解：∵EF∥AD（已知）
∴ ＝∠3（ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠G+∠BAG＝180°（ ）
∵∠BAG＝60°（已知）
∴∠G＝180°﹣∠BAG＝180°﹣60°＝120°．
思路引领：根据平行线的性质得出∠2＝∠3，由∠1＝∠2可得∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠G+∠BAG＝180°，由∠BAG＝60°可以得出答案．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠G+∠BAG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAG＝60°（已知）
∴∠G＝180°﹣∠BAG＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：∠2，两直线平行，同位角相等；等量代换；DG∥AB，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定理进行推理、计算是解此题的关键．
19．（2022春•宣城期末）完成下列推理过程：
（1）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°．
求证：BC∥DE
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ B ＝∠C（ ）；
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠ +∠D＝180°（等量代换）；
∴BC∥DE（ ）．
（2）如图，若已知∠1＝∠2，试完成下面的填空．
∵∠2＝∠3（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ 1 ＝∠ （等量代换）；
∴ ∥ （ ）．
思路引领：（1）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
证明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠C+∠D＝180°（等量代换），
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：B；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵∠2＝∠3（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；1；3；AB；CD；同位角相等，两直线平行．
总结提升：此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
角度3 利用证明的方法对改写命题进行证明
20．（2020秋•通许县期末）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，请说明FG∥DC；
（2）若把题设中DE∥BC与结论中FG∥DC对调，命题还成立吗？试证明．
（3）若把题设中∠1＝∠3与结论中FG∥DC对调呢？试证明．
思路引领：（1）由DE∥BC得∠1＝∠2，已知∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，从而证得FG∥DC；
（2）由FG∥DC得∠2＝∠3，已知∠1＝∠3，所以∠2＝∠1，从而证得DE∥BC；
（3）由DE∥BC得∠1＝∠2，又由FG∥DC得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．
解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
又已知∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴FG∥DC；
（2）命题还成立，
∵FG∥DC，
∴∠2＝∠3，
已知∠1＝∠3，
∴∠2＝∠1，
∴DE∥BC；
（3）命题还成立，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
又FG∥DC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
总结提升：此题考查的知识点是平行线的判定与性质，关键是运用平行线的判定与性质证明命题成立．
角度4 利用证明的方法对改写命题进行证明
21．（2017春•赣县区期中）如图，①∠D＝∠B；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B+∠2+∠4＝180°；⑤∠B+∠1+∠3＝180°．
（1）指出上述各项中哪一项能作为题设来说明∠E＝∠F；
（2）选出其中的一项加以说明．
思路引领：（1）依据平行线的判定方法，即可得到结论；
（2）选∠1＝∠2加以说明．根据∠1＝∠2，即可得到AD∥CB，进而得出∠E＝∠F．
解：（1）②∠1＝∠2，或⑤∠B+∠1+∠3＝180°．
（2）选∠1＝∠2加以说明．
∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
总结提升：本题主要考查了平行线判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22（2016春•孝南区期末）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”
（1）如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整：已知AB CD，EM、FN分别平分 和 ，则
（2）试判断这个命题的真假，并说明理由．
思路引领：（1）根据题意写出已知，求证即可；
（2）此命题为真命题，根据平行线的性质得到∠GEB＝∠EFD，由角平分线的定义得到∠GEM=12∠GEB，∠EFN=12∠EFD，等量代换得到∠GEM＝∠EFN，于是得到结论．
解：（1）已知AB∥CD，EM、FN分别平分∠GEB和∠EFD，则EM∥FD；
故答案为：∥，∠GEB，∠EFD，EM∥FD；
（2）此命题为真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠EFD，
∵EM、FN分别平分∠GEB和∠EFD，
∴∠GEM=12∠GEB，∠EFN=12∠EFD，
∴∠GEM＝∠EFN，
∴EM∥FD．
总结提升：此题考查了平行线的判定，解题的关键是：熟记同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
23．（2022春•建安区期中）如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题，并进行证明．（任选一种情况，写出已知、求证、证明．）
①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
思路引领：条件：①②，结论：③，根据平行线的性质直接证明即可．
解：条件：①②，结论：③，证明过程如下：
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠A＝∠ACE，
∵∠A＝∠B，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
总结提升：本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握不等式的性质、邻补角的定义、对顶角的定义、平行线的性质是解答此题的关键