人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线第1课时随堂练习题

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考点一 邻补角及其性质
1．下列关于邻补角的说法，正确的是（ ）
A．和为180°的两个角互为邻补角
B．有公共顶点且互补的两个角互为邻补角
C．有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角
D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角
思路引领：利用只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，进而判断即可．
解：A、和为180°的两个角互不一定为邻补角，故此选项错误；
B、有公共顶点且互补的两个角互为邻补角，此选项错误；
C、有一条公共边且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，此选项错误；
D、有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，正确．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了邻补角的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2022春•柳江区期中）下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案．
解：根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角的定义进行求解是解决本题的关键．
3．（2022春•陇县期中）如图，∠1的邻补角是（ ）
A．∠BOCB．∠BOE和∠AOFC．∠AOFD．∠BOC和∠AOF
思路引领：根据邻补角的定义可直接求得．
解：因为构成∠1的两边与射线OB和OF有关；
从射线OB来看，∠1的邻补角是∠EOB，
从射线OF来看，∠1的邻补角是∠AOF，
∴∠1的邻补角有∠EOB，∠AOF，
故选：B．
总结提升：本题考查邻补角的定义，两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．
4．（柳州中考真题）如图，图中∠α的度数等于（ ）
A．135°B．125°C．115°D．105°
思路引领：根据邻补角互补解答即可．
解：∠α的度数＝180°﹣45°＝135°．
故选：A．
总结提升：此题考查邻补角定义，关键是根据邻补角互补分析．
5．（济南中考真题）如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．140°D．150°
思路引领：根据互补两角之和为180°，求解即可．
解：∵∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝140°．
故选：C．
总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
6．（2021春•同心县校级期中）两条直线a、b相交，其中2∠3＝3∠1，求∠2的度数．
思路引领：根据邻补角的性质，可得∠1的度数，根据对顶角的性质，可得答案．
解：∵2∠3＝3∠1，∠3=32∠1，
∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∠1＝72°，
由邻补角的性质得∠2＝180°﹣∠1＝108°．
总结提升：本题考查了邻补角、对顶角，利用了邻补角、对顶角的性质，熟记这些性质是解题的关键．
7．（2019秋•大名县期中）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分
∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ；∠AOE的邻补角为 ．
（2）如果∠COD＝25°，那么∠COE＝ ；如果∠COD＝60°，那么∠COE＝ ；
（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
（2）先根据角平分线求出∠DOE的度数，再根已知条件解答；
（3）根据角平分线求出∠DOE=12∠AOB即得结论．
解：（1）答案为：∠AOD；∠BOE；
（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠EOD=12∠AOB＝90°，
当∠COD＝25°时，
∠COE＝65°，
当∠COD＝60°时，
∠COE＝30°，
故答案为：65°；30°；
（3）∠COD+∠COE＝90°．理由如下：
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
所以∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC．
所以∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB
=12×180°＝90°．
总结提升：本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
考点2 对顶角及其性质
8．（2022春•肥东县期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足是点O．若OC平分∠AOE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠COE与∠BOD互余B．∠COE与∠AOD互补
C．∠AOC与∠BOD是对顶角D．∠AOD与∠EOD是对顶角
思路引领：由已知条件和观察图形可知∠AOC与∠COE互余，OC平分∠AOE，∠AOC＝∠COE，∠BOC与∠AOD是对顶角，可得结论．∠COB与∠AOC互补，利用这些关系可解此题．
解：∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝90°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，
故A和C正确
∵∠AOC＝∠COE，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠COE+∠AOD＝180°，
故B正确；
∵A，O，B共线，
∴∠AOD与∠1互为邻补角，
故C正确；
由图可知∠BOC与∠AOD是对顶角，
故D不正确．
故选：D．
总结提升：本题考查了垂线的定义，余角和补角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．
9．（2022春•平泉市期末）下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据邻补角、对顶角的性质判断即可．
解：A、∠1+∠2＝180°，但∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；
B、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，一定相等，本选项符合题意；
D、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
10．（2022春•沈河区期末）如图，直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．120°C．180°D．360°
思路引领：根据对顶角相等得出∠3＝∠AOD，根据平角定义求出即可．
解：
∵∠3＝∠AOD，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠AOD+∠2＝180°，
故选：C．
总结提升：本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．
11．（2022春•泰山区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠DOE＝36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
思路引领：先根据角平分线，求得∠AOD的度数，再根据对顶角相等，求得∠BOD的度数．
解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2×36°＝72°，
∵∠BOC与∠AOE是对顶角，
∴∠BOC的度数为72°，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的定义，解题时注意：对顶角成对出现，在相交直线中，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．
12．（2022春•永定区期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角）解决此题．
解：A．根据对顶角的定义，A选项中∠1与∠2不是对顶角，那么A不符合题意．
B．根据对顶角的定义，B选项中∠1与∠2不是对顶角，那么B不符合题意．
C．根据对顶角的定义，C选项中∠1与∠2不是对顶角，那么C不符合题意．
D．根据对顶角的定义，D选项中∠1与∠2是对顶角，那么D符合题意．
故选：D．
总结提升：本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解决本题的关键．
13．（2021秋•平城区校级月考）如图是跷跷板，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与水平地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC＝28°，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．84°
思路引领：根据题意画出当B端着地时的图形，则可知△AOB′是等腰三角形，根据三线合一的性质，即可得∠AOC＝∠B′OC，又由∠OAC＝28°，易求得∠AOA′的度数，然后由邻补角的定义，求得∠A′OA即为上下转动的最大角度．
解：当B端着地时，如图，
则∠A′OA即为上下转动的最大角度，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OC⊥AB′，
∴∠AOC＝∠B′OC，∠ACO＝90°，
∵∠OAC＝28°，
∴∠AOC＝90°﹣28°＝62°．
∴∠AOB′＝2∠AOC＝124°，
∴∠A′OA＝180°﹣∠AOB′＝180°﹣124°＝56°．
故选：B．
总结提升：此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
14．（2011春•新洲区期末）如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3＝ ．
思路引领：由图形可知，∠1+∠2+∠3是周角的一半，再把∠1，∠2，代入可求∠3的度数．
解：由题意，得
∠1+∠2+∠3=12×360°＝180°．
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝80°．
故答案为：80°．
总结提升：本题考查了对顶角相等的性质，注意运用周角等于360°．
15．如图，直线AB、CD相交于点O．
（1）若∠AOC+∠BOD＝100°，求各角的度数．
（2）若∠BOC比∠AOC的两倍多33°，求各角的度数．
思路引领：（1）根据对顶角相等，邻补角互补，∠AOC+∠BOD＝100°，可得答案；
（2）根据邻补角互补，∠BOC比∠AOC的倍多33°可得，∠BOC与∠AOC的大小，根据对顶角相等，可得答案．
解：（1）由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD，
∠AOC＝∠BOD＝50°，
由邻补角互补得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
由邻补角互补得∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°；
（2）由邻补角的性质，得∠BOC+∠AOC＝180°，
由∠BOC比∠AOC的两倍多33°，得
∠BOC＝2∠AOC+33°
2∠AOC+33°+∠AOC＝180°
∠AOC＝49°，
由对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝49°，
由邻补角互补得∠BOC＝180﹣∠AOC＝180°﹣49°＝131°，
由对顶角相等得∠AOD＝∠BOC＝131°．
总结提升：本题考查了对顶角、邻补角，（1）对顶角相等，邻补角互补，（2）由邻补角互补，两角的关系，得出两个二元一次方程，解二元一次方程组，再由对顶角相等，邻补角互补得出答案．
16．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOB的度数．
思路引领：根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，再求出∠AOC＝∠COF，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：由对顶角相等可得，∠AOC＝∠BOD＝56°，
∵OC平分∠EOG，
∴∠1＝∠2，
∵∠AOG＝∠FOE，
∴∠1+∠FOE＝∠2+∠AOG，
即∠AOC＝∠COF＝56°，
∴∠FOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COF＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
总结提升：本题考查了对顶角相等，邻补角的定义，角平分线的定义，熟记概念并求出∠AOC＝∠COF是解题的关键．
二、易错点
易错点1：对顶角概念理解出错
17．（2021春•宁德期末）下列命题是真命题的有几个？（ ）
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据题目中的说法可以判断各个命题是否为真命题，从而可以解答本题．
解：对顶角相等，故①是真命题，
相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，而这两个同位角不是对顶角，故②是假命题，
因为对顶角相等，所以两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，故③是真命题，
若两个角不是对顶角，则这两个角可能相等，如两直线平行，同位角相等，则这两个同位角不是对顶角，故④是假命题，
故选：B．
总结提升：本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题是否为真命题．
误点警示：对顶角必须满足具有公共边，两个角的两边互为反向延长线，这两个条件只满足其中一个条件是不能判定这两个角是对顶角的，在平时作业过程中，如果两个角只满足对顶角的一个特征，不少同学就误认为这两个角是对顶角．
易错点2：邻补角与补角区分不清
18．如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC互为补角的角有两个．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②C．③④D．①④
解析：由图可知，∠AOC 只有一个邻补角∠BOC，①正确③错误；
∵∠AOD= ∠COE=90°
∴∠AOE+∠EOD= ∠COD+∠EOD
∴∠AOE= ∠COD.
又∵∠AOE+∠BOC= ∠COD+∠EOD=90°
所以∠ BOC= ∠EOD.
∴与∠AOC 互为补角的角有两个，分别为 ∠BOC和∠EOD，②错误④正确；
故选D
误点警示：邻补角既包含数量关系，又包含位置关系，补角仅包含数量关系，本题容易因对邻补角和补角区分不清而出错。
三、拔尖角度
角度1 利用邻补角及对顶角的性质求角
19．如图所示，直线AB、CD、EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝ ，∠4＝ ，∠5＝ ，∠6＝ ．
思路引领：根据对顶角相等可求∠3，∠4，根据邻补角互补可求∠5，∠6，从而求解．
解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，
∴∠3＝30°，∠4＝60°，∠5＝180°﹣30°＝150°，∠6＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：30°，60°，150°，120°．
总结提升：此题考查了对顶角、邻补角，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
20．（2021春•祥云县期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
思路引领：（1）根据邻补角的概念即可解答；
（2）根据对顶角的概念即可解答；
（3）因为∠BOF＝90°，所以AB⊥EF，由此可得∠AOF，再根据对顶角的概念可得∠FOC的度数．
解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF＝90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF＝90°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝60°
∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．
总结提升：本题考查的主要内容是邻补角和对顶角的概念，以及角的和差计算，掌握邻补角和对顶角的概念是解题的关键．
角度2 利用邻补角的性质求折叠中的角（折叠法）
21．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
思路引领：（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，则∠AOE＝∠DOF；
（2）①因为∠BOD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折叠可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因为COB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，则∠BOG＝∠COF；
②因为∠BOF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因为∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：
∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，
∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，
∴∠AOE＝∠DOF；
（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOF+∠DOF＝90°，
∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
∴∠BOF＝∠GOD，
∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，
∵∠COB＝90°，
∴∠COB＝∠GOF，
∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，
∴∠BOG＝∠COF；
②∵∠BOF＝50°，
∴∠DOF＝40°
∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，
∴OH平分∠DOF，
∴∠DOH＝∠FOH＝20°，
∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，
∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．
总结提升：本题考查了垂线、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
22．如图，AB，CD，EF相交于点O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°．
（1）求∠BOE的度数．
（2）通过计算∠AOF，∠AOC的度数，你发现射线OA有什么特殊性吗？
思路引领：（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，再根据题意解答即可；
（2）由（1）的结论解答即可．
解：（1）∵∠AOC＝65°，∠DOF＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，
∴∠BOE+∠AOF＝360﹣65°×2﹣50°×2＝130°，
又∵∠BOE＝∠AOF，
∴∠BOE=12×130°＝65°；
（2）射线OA平分∠COF，理由如下：
由（1）得，∠AOF＝65°，
∴∠AOC＝∠AOF，
∴射线OA平分∠COF．
总结提升：此题主要考查了邻补角、对顶角，以及角平分线，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
角度3 利用邻补角及对顶角的性质探究角的变化
23．如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）∠AOC＝50°，求∠DOF与∠DOE的度数，并计算∠EOF的度数；
（2）当∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
思路引领：（1）根据对顶角、邻补角，可得∠BOD、∠AOD，根据角平分线的性质，可得∠DOF与∠DOE的度数，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠DOF与∠DOE的度数，根据角的和差，可得答案．
解：（1）由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝50°，
由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠BOD=12×50°＝25°，
由邻补角互补，得∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠AOD=12×130°＝65°，
由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝25°+65°＝90°；
（2）∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数没有变化，
理由：由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠BOD，
由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠AOD，
由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE
=12∠BOD+12∠AOD
=12（∠AOD+∠BOD）
=12∠AOB＝90°．
总结提升：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角的性质，邻补角的定义，角平分线的性质，角的和差．
角度4 利用邻补角及对顶角的定义进行计数（基本图形法）
24．（1）观察图①，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角．
（2）观察图②，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角．
（3）观察图③，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角．
（4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角．
思路引领：（1）根据对顶角、邻补角的定义得到2×1＝2对对顶角，4对邻补角；
（2）根据对顶角、邻补角的定义得到3×2＝6对对顶角，12对邻补角；
（3）根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对顶角，24对邻补角；
（4）根据前面的规律得到：有n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，2n（n﹣1）对邻补角．
解：（1）图①中共有2条直线，2对对顶角，4对邻补角；
（2）图②中共有3条直线，6对对顶角，12对邻补角；
（3）图③中共有4条直线，12对对顶角，24对邻补角．
（4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成n（n﹣1）对对顶角，2n（n﹣1）对邻补角．
总结提升：本题考查了对顶角、邻补角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
角度5 方程思想的运用
25．（2021春•抚远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝7：1，求∠AOF的度数．
思路引领：设∠AOD＝7x°，则∠BOE＝x°，由角平分线的定义可求解x值，进而可求解∠COE的度数，由角平分线的定义可得∠COF的度数，再根据∠AOF＝∠AOC+∠COF可求解．
解：设∠AOD＝7x°，则∠BOE＝x°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°，
∵∠AOB＝180°，
∴9x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠DOE＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∠COE＝160°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=12∠COE＝80°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝120°．
总结提升：本题主要考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，求解∠COE的度数是解题的关键．