初中数学5.3.2 命题、定理、证明练习题

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测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023江苏扬州月考)下列句子中,属于命题的是( )
A.直线AB和CD垂直吗?
B.过线段AB的中点C作AB的垂线
C.同旁内角不互补,两直线不平行
D.已知a2=1,求a的值
2.(2023山东德州宁津期末)下列命题中,为真命题的是( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度
C.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补
D.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
3.(2022湖北十堰丹江口模拟)下列选项中的∠1和∠2能说明“同位角相等”是假命题的是( )
A B C D
4.(2023河北廊坊安次期末)下列命题是假命题的是( )
A.如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3
B.对顶角相等
C.如果一个数能被6整除,那么它肯定也能被3整除
D.内错角相等
二、填空题
5.“直角都相等”的题设是 ,结论是 .
6.(2023福建福州鼓楼期末)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 .
7.(2023北京西城二模)用一组a、b的值说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题,这组值可以是a= ,b= .
8.(2022云南昆明盘龙期末)现有三个命题:①两个角的和等于平角时,这两个角互为邻补角;②两直线平行,内错角相等;③同旁内角互补.其中真命题是 .(填序号)
三、解答题
9.把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并判断其真假.
(1)等角的补角相等.
(2)不相等的角不是对顶角.
(3)相等的角是内错角.
10.(2023黑龙江哈尔滨道里期末改编)在括号内,填上推理依据.如图,点D,E分别为三角形ABC的边AB,AC上的点,点F,G分别在BC,AB上,∠AED=∠C,∠DEF=∠B,∠EFG=90°.求证:FG⊥AB.
证明:∵∠AED=∠C,∴DE∥BC( ).
∴∠DEF=∠EFC( ).
∵∠DEF=∠B,∴∠EFC=∠B( ).
∴DB∥EF( ).
∴∠AGF+∠EFG=180°( ).
∵∠EFG=90°,∴∠AGF=90°.∴FG⊥AB( ).
11.(2022江苏泰州兴化期末)如图,直线EF∥GH,给出下列信息:
①AC⊥BC;②CB平分∠DCH;③∠ACD=∠DAC.
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为题设,其余的一条作为结论组成一个真命题,你选择的题设是 ,结论是 (填序号),并说明理由.
(2)在(1)的条件下,若∠ACG的度数比∠BCH的度数的2倍少3°,求∠DAC的度数.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C A.是问句,不是命题;
B.没有对一件事情作出判断,不是命题;
C.对一件事情作出判断,是命题;
D.没有对一件事情作出判断,不是命题.故选C.
2.答案 C A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故A不是真命题;
B.点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度,故B不是真命题;
C.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故C是真命题;
D.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,故D不是真命题.故选C.
3.答案 B A.两直线平行,同位角相等,无法说明“同位角相等”是假命题,该选项不符合题意;B.两直线不平行,同位角不相等,可以说明“同位角相等”是假命题,该选项符合题意;C.∠1和∠2是同旁内角,该选项不符合题意;D.∠1和∠2不是同位角,该选项不符合题意.故选B.
4.答案 D A.根据等量代换可得,如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3,故A是真命题;B.根据对顶角的性质可知对顶角相等,故B是真命题;C.根据整除的性质可得,如果一个数能被6整除,那么它也能被3整除,故C是真命题;D.只有两直线平行,才有内错角相等,故D是假命题.故选D.
二、填空题
5.答案 两个角是直角;这两个角相等
解析 “直角都相等”写成“如果……那么……”的形式:如果两个角是直角,那么这两个角相等.所以题设是两个角是直角,结论是这两个角相等.
6.答案 如果两个角是同位角,那么这两个角相等
7.答案 -3;3(答案不唯一)
解析 当a=-3,b=3时,满足a2=b2,但a≠b.(答案不唯一)
8.答案 ②
解析 两个角的和等于平角时,这两个角互为补角,但不一定互为邻补角,故①是假命题;两直线平行,内错角相等,故②是真命题;只有两直线平行时,同旁内角才互补,故③是假命题.
故真命题是②.
三、解答题
9.解析 (1)如果两个角分别是两个相等的角的补角,那么这两个角相等.本命题是真命题.
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.本命题是真命题.
(3)如果两个角相等,那么这两个角是内错角.本命题是假命题.
10.解析 同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;等量代换;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;垂直的定义.
11.解析 (1)答案不唯一.选择的题设是②③,结论是①.理由如下:
∵EF∥GH,∴∠ACG=∠DAC,
∵∠ACD=∠DAC,∴∠ACG=∠ACD,
∵CB平分∠DCH,
∴∠DCB=∠BCH,
∴∠ACG+∠BCH=∠ACD+∠DCB=12×180°=90°,
即∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
(2)设∠BCH=x°,则∠ACG=(2x-3)°,
∵∠ACG+∠BCH=90°,
∴x°+(2x-3)°=90°,
解得x=31,
∴∠ACG=(2x-3)°=59°,
∴∠DAC=∠ACG=59°.