初中数学人教版七年级下册6.1 平方根练习题

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考点1 平方根的定义
1．如果x2＝a，那么下列说法错误的是（ ）
A．若x确定，则a的值是唯一的
B．若a确定，则x的值是唯一的
C．a叫做x的平方
D．x叫做a的平方根
思路引领：根据平方根的定义（若x2＝a，则x叫作a的平方根）解决此题．
解：A．根据乘方的定义，若x确定，则a的值是唯一的，那么A正确，故A不符合题意．
B．根据平方根的定义，若a为正数，则x的值存在两个，那么B错误，故B符合题意．
C．根据乘方的定义，a叫做x的平方，那么C正确，故C不符合题意．
D．根据平方根的定义，x叫做a的平方根，那么D正确，故D不符合题意．
故选：B．
总结提升：本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
2．（2022春•望城区期末）实数4的算术平方根是（ ）
A．16B．2C．﹣2D．2
思路引领：正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．
解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：B．
总结提升：本题考查一个正数的算术平方根，关键是要掌握正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．
3．（2022春•鼓楼区期中）16的平方根是±4的数学表达式是（ ）
A．16=4B．±16=4C．16=±4D．±16=±4
思路引领：根据平方根的运算符号判断即可．
解：16的平方根是±4的数学表达式是±16=±4．
故选：D．
总结提升：本题主要考查的是平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
4．（2022春•吉林校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．125的平方根是±15
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．2的算术平方根是2
思路引领：根据平方根的定义和算术平方根的定义对各选项分析判断即可得解．
解：A、125的平方根是±15正确，故本选项错误；
B、﹣9是81的一个平方根正确，故本选项错误；
C、应该为0.04的算术平方根是0.2，说法不正确，故本选项正确；
D、2的算术平方根是2正确，故本选项错误．
故选：C．
总结提升：本题考查了算术平方根和平方根的定义，是基础题，熟记概念并准确计算是解题的关键．
5．（2019秋•莱州市期末）下列各数：49，(−32)2，0，﹣4，﹣（﹣3），﹣|﹣3|，﹣（﹣5）4，其中有平方根的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
思路引领：根据平方根的定义即可求出答案．
解：49，(−32)2，0，﹣（﹣3）有平方根，
故选：B．
总结提升：本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．
6．（2017•江岸区校级模拟）下列说法中错误的是（ ）
A．12是0.25的一个平方根
B．正数a的两个平方根的和为0
C．916的平方根是34
D．当x≠0时，﹣x2没有平方根
思路引领：根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：12是0.25的一个平方根，故选项A正确，
因为正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，故选项B正确，
916的平方根是±34，故选项C错误，
因为负数没有平方根，故当x≠0时，﹣x2没有平方根，故选项D正确，
故选：C．
总结提升：本题考查平方根，解答本题的关键是明确什么是平方根，可以判断各个选项是否正确．
考点2 平方根的性质
7．（2022•琼山区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．任何非负数都有两个平方根
B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
思路引领：根据平方根的定义，结合正数有两个平方根；0的平方根是0；负数没有平方根逐一进行判定即可．
解：A、非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B．一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C．因0的平方根是0，故本选项错误；
D．负数没有平方根，故本选项正确；
故选：D．
总结提升：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．注意：1或0平方等于它的本身．
8．下列说法正确的有（ ）
①﹣2是﹣4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的平方根；
④4的平方根是﹣2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：依据平方根的定义和性质求解即可．
解：①负数没有平方根，故①错误；
②a2的平方根是±a，故②错误；
③2是4的平方根正确，
④4的平方根是±2，故④错误．
故选：A．
总结提升：本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
9．（2012•瑞安市模拟）下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的正整数B．0没有相反数
C．0没有倒数D．0没有平方根
思路引领：根据有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义对各选项依次判断即可解答．
解：A、最小的正整数是1，故本选项错误；
B、0的相反数是0，故本选项错误；
C、0没有倒数，正确；
D、0的平方根是0，故本选项错误．
故选：C．
总结提升：本题主要考查有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
考点3 求平方根
10．（2020•招远市模拟）8116的平方根是（ ）
A．±94B．94C．±32D．32
思路引领：分别根据平方根及算术平方根的定义进行解答即可．
解：8116=94，94的平方根是±32．
故选：C．
总结提升：本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
11．（2022秋•方城县月考）下列语句中正确的是（ ）
A．81的平方根是9B．81的算术平方根是±9
C．81的算术平方根是±3D．81的算术平方根是3
思路引领：求出81=9，再求出9的平方根和算术平方根，即可得出选项．
解：A、A、81的平方根是±3，故本选项错误；
B、81的算术平方根是3，故本选项错误；
C、81的算术平方根是3，故本选项错误；
D、81的算术平方根是3，故本选项正确；
故选：D．
总结提升：本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
12．（2019秋•文登区期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m为 ．
思路引领：由于同一个数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m﹣4＝﹣（3m﹣1），或者2m﹣4＝3m﹣1，解方程即可求解．
解：依题意得：2m﹣4＝﹣（3m﹣1）或2m﹣4＝3m﹣1，
解得m＝1或﹣3；
∴m的值为1或﹣3．
故答案为1或﹣3．
总结提升：此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
13．（2021春•依安县期末）如果一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，则这个数为 ．
思路引领：根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值．
解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，
∴a+3和2a﹣15互为相反数，
即（a+3）+（2a﹣15）＝0；
解得a＝4，
则a+3＝﹣（2a﹣15）＝7；
则这个数为72＝49；
故答案为49．
总结提升：本题考查了平方根的概念，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
考点4 （）2与的性质
14．（2020春•紫云县期末）下列结论正确的是（ ）
A．−(−6)2=−6B．(−3)2=9
C．(−16)2=±16D．−(−1625)2=1625
思路引领：根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答．
解：A．因为−(−6)2=−36=−6，故本选项正确；
B．因为(−3)2=3，故本选项错误；
C．因为(−16)2=162=16，故本选项错误；
D．因为−(−1625)2=−(−45)2=−1625，故本选项错误；
故选：A．
总结提升：本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题．
15．（2019•高邮市一模）根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（ ）
A．|﹣2|B．（﹣2）2C．−2D．(−2)2
思路引领：将各数化简即可求出答案．
解：（A）原式＝2，故A不是负数；
（B）原式＝4，故B不是负数；
（D）原式＝2，故D不是负数；
故选：C．
总结提升：本题考查正数与负数，解题的关键是将原数化简，本题属于基础题型．
16．（2022春•江岸区期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简a2−|a﹣b|+b2得（ ）
A．0B．2aC．2bD．﹣2b
思路引领：根据a2=|a|化简，再根据绝对值的性质化简即可．
解：根据数轴得a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
原式＝|a|﹣|a﹣b|+|b|
＝﹣a+a﹣b+b
＝0，
故选：A．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，掌握a2=|a|是解题的关键．
二、易错点警示
易错点 混淆平方根与算术平方根的概念而出错
17．（2021•福建模拟）下列说法不正确的是（ ）
A．21的平方根是±21
B．49的平方根是23
C．0.01的算术平方根是0.1
D．﹣5是25的一个平方根
思路引领：利用算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．
解：A．21的平方根是±21，正确，故选项不符合题意；
B． 49的平方根是±23，原说法错误．故选项符合题意；
C．0.01的算术平方根是0.1，正确，故选项不符合题意；
D．﹣5是25的一个平方根，正确，故选项不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查算术平方根和平方根，解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根．
拔尖角度
角度1 利用平方法求平方根和算术平方根
18．求下列各数的算术平方根与平方根：
（1）225；
（2）121144；
（3）0.81；
（4）（﹣4）2．
思路引领：直接根据算术平方根和平方根的定义即可求解．
解：（1）∵（±15）2＝225，
∴225的算术平方根为15，平方根为±15；
（2）∵(±1112)2=121144，
∴121144的平方根为±1112，算术平方根为1112；
（3）∵（±0.9）2＝0.81，
∴0.81的算术平方根为0.9，平方根为±0.9；
（4）∵（﹣4）2＝16，
∴（﹣4）2的平方根为±4，算术平方根为4．
总结提升：本题较简单，主要考查了学生计算一个数的算术平方根的运算能力．
角度2 利用平方根的定义解方程
19．（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100；
（2）（x+1）2＝81．
思路引领：（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．
解：（1）169x2＝100，
x2=100169，
x=±100169，
∴x=±1013；
（2）（x+1）2＝81，
x+1=±81，
x+1＝±9，
x＝8或﹣10．
总结提升：本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
角度3 利用平方根的性质或意义求字母的值
20．（1）已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和5﹣3m，求m的值和这个正数．
（2）已知2m+3和4m+9是一个正数的平方根，求m的值和这个正数的平方根．
思路引领：（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得（2m+3）+（4m+9）＝0，解方程求出m的值，接下来求出这个正数的平方根即可；
（2）本题需分2m+3≠4m+9和2m+3＝4m+9两种情况讨论；当2m+3≠4m+9时，可得（2m+3）+（4m+9）＝0，解方程求出m的值，接下来求出这个正数的平方根即可；当2m+3＝4m+9时，解方程求出m的值，进而可求出这个正数的平方根．
解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴（2m+1）+（5﹣3m）＝0，
解得：m＝6．
此时2m+1＝2×6+1＝13，
5﹣3m＝5﹣3×6＝﹣13．
∵（±13）2＝169，
∴这个正数是169．
（2）分两种情况进行讨论：
①当2m+3≠4m+9时，得（2m+3）+（4m+9）＝0，
解得m＝﹣2，
∴2m+3＝2×（﹣2）+3＝﹣1，4m+9＝4×（﹣2）+9＝1，
∴这个正数的平方根是±1．
②当2m+3＝4m+9时，得m＝﹣3，
此时这个正数为（2m+3）2＝9，
∴这个正数的平方根是±3．
总结提升：本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
21．（2021秋•兴庆区校级期末）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值．
思路引领：根据开方与平方是互逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解．
解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
∴2m+2＝16，3m+n+1＝25，
联立解得，m＝7，n＝3，
∴m+2n＝7+2×3＝13．
故答案为：13．
总结提升：本题考查了平方根的定义，根据平方与开方是互逆运算，列出两个等式并求出m、n的值是解题的关键．
22．（2022秋•浑南区月考）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a和m的值；
（2）利用平方根的定义，求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
思路引领：（1）利用一个正数得平方根有两个，是互为相反数，其和相加得0，列方程求解；
（2）利用直接开平方根法求解．
解：（1）由题意得：a+6+2a﹣9＝0，
解得：a＝1，
∴m＝（a+6）2＝49．
（2）原方程为：x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
解得：x＝±4．
总结提升：本题考查了平方根得意义，掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键．
角度4 利用阅读材料信息，探究与|a|的大小关系
23．（2020秋•兴义市校级月考）阅读材料，解答下列问题．
例：当a≥0时，如a＝6则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝﹣6，则|a|＝|﹣6|＝﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即|a|=a，当a＞00，当a=0−a，当a＜0
问：（1）这种分析方法涌透了 分类讨论 数学思想．
（2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式a2的各种展开的情况．
（3）猜想a2与|a|的大小关系．
（4）尝试用从以上探究中得到的结论来解决下面的问题：化简(x−5)2+(x+3)2（﹣3≤x≤5）．
思路引领：（1）由题意解决．
（2）根据二次根式的性质解决此题．
（3）根据二次根式的性质以及绝对值的定义解决此题．
（4）根据二次根式的性质解决此题．
解：（1）分类讨论．
（2）当a＞0，a2=a；
当a＝0，a2=0；
当a＜0，a2=−a．
（3）当a＞0，a2=a，|a|＝a，此时a2=|a|．
当a＝0，a2=0，|a|＝0，此时a2=|a|．
当a＜0，a2=−a，|a|＝﹣a，此时a2=|a|．
综上：a2=|a|．
（4）∵﹣3≤x≤5，
∴x﹣5≤0，x+3≥0．
∴(x−5)2+(x+3)2=5﹣x+x+3＝8．
总结提升：本题主要考查二次根式、绝对值，熟练掌握二次根式的性质与化简、绝对值的定义、分类讨论的思想是解决本题的关键．