初中湘教版4.5 垂线综合训练题

这是一份初中湘教版4.5 垂线综合训练题，共9页。试卷主要包含了5　垂线等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 垂线的有关概念

1.如图,点O在直线AB上且OC⊥OD,若∠COA=46°,则∠DOB的大小为( )
A.36°B.44°C.64°D.72°
2.(2023山东枣庄滕州月考)已知,如图所示,AB⊥CD,垂足为O,EF为过O点的一条直线,则∠α与∠β一定(M7204006)( )
A.相等B.互余
C.互补D.互为对顶角
3.(2022湖南邵阳绥宁期末)如图,OB⊥OD,OC⊥OA,∠BOC=32°,那么∠AOD等于( )
A.148°B.132°
C.128°D.90°
4.下列条件中,可以判断两条直线互相垂直的是( )
①两直线相交所成的四个角都是直角;
②两直线相交,对顶角互补;
③两直线相交所成的四个角都相等.
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
5.(2023湖南株洲荷塘月考)如图,AB⊥CD于点O,EF经过点O,∠1=28°,则∠COF= .(M7204006)
6.【新独家原创】如图,OE⊥AB于点O.
(1)若∠BOF=2∠AOF,求∠EOF的度数;
(2)若∠AOC=∠EOF,试判断OF与CD的位置关系,并说明理由.
7.【教材变式·P98例2】如图,BD⊥AC于D,EF⊥AC于F,DM∥BC,∠1=∠2.(M7204006)
(1)试说明:BD∥EF;
(2)试说明:∠AMD=∠AGH.
知识点2 垂线的性质
8.(2023湖南株洲二十七中月考)下列图形中,线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是( )
AB
CD
9.【跨学科·体育与健康】如图,体育课上测量跳远成绩的依据是( )
A.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
10.(2022湖南岳阳期末)如图,从点P向直线l所画的4条线段中,线段 最短.
11.【真实情境】如图所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你作图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;
(2)若计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
能力提升全练
12.(2023湖南岳阳中考,4,★☆☆)已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是(M7204006)( )
A.40°B.45°C.50°D.60°
13.(2023湖南岳阳平江期末,5,★★☆)P为直线m外一点,A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=6 cm,则点P到直线m的距离( )
A.等于5 cmB.等于4 cm
C.小于4 cmD.不大于4 cm
14.(2023湖南湘西州龙山期末,15,★☆☆)同一平面内的三条直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a c.若a∥b,b∥c,则a c.若a∥b,b⊥c,则a c.
15.(2023河南信阳月考,14,★☆☆)如图,直线a∥b,直线l与直线a相交于点P,与直线b相交于点Q,PM⊥l于点P,若∠1=50°,则∠2= °.
16.(2023浙江金华兰溪月考,21,★★☆)如图,E、F分别在AB和CD上,∠1=∠D,∠2与∠C互余,AF⊥CE于G,试说明:AB∥CD.(M7204006)
17.(2023贵州毕节期末,22,★★☆)如图,已知CF∥AG,E是直线AB上的一点,CE平分∠ACD,射线CF⊥CE,∠2=58°.(M7204006)
(1)求∠ACE的度数;
(2)若∠1=32°,试说明:AB∥CD.
18.【教材变式·P100例3】(2023广西桂林期末,24,★★☆)如图,已知三角形ABC,按要求作图.
(1)过点A作BC的垂线段AD;
(2)过点C作AB、AC的垂线分别交直线AB于点E、F;
(3)AB=15,BC=7,AD=12,求点C到直线AB的距离.
素养探究全练
19.【推理能力】(2023安徽淮南凤台期中)已知:直线AB与直线CD交于点O,过点O作OE⊥AB.
(1)如图1,OP为∠AOD内的一条射线,若∠1=∠2,试说明:OP⊥CD;
(2)如图2,若∠BOC=2∠AOC,过点O作OF⊥CD,经过点O画直线MN,若射线OM平分∠BOD,请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.

第4章 相交线与平行线
4.5 垂线
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,∴∠DOB=180°-46°-90°=44°.故选B.
2.B ∵AB⊥CD,∴∠COE+∠α=∠COB=90°,
∵∠β=∠COE,∴∠β+∠α=90°,故选B.
3.A ∵OB⊥OD,OC⊥OA,∴∠AOC=∠BOD=90°,∵∠BOC=32°,∴∠AOB=58°,∴∠AOD=90°+58°=148°,故选A.
4.D ∵两直线相交所成的四个角都是直角,即四个角都是90°,∴两条直线互相垂直,∴①符合题意.
∵两直线相交,对顶角互补,∴两直线相交所成的对顶角是180°2=90°,∴两条直线互相垂直,∴②符合题意.
∵两直线相交所成的四个角都相等,∴四个角都是360°4=90°,∴两条直线互相垂直,∴③符合题意.故选D.
5.答案 62°
解析 ∵AB⊥CD,∴∠1+∠DOE=90°,∴∠DOE=90°-28°=62°,∴∠COF=∠DOE=62°.
6.解析 (1)∵∠BOF=2∠AOF,∠BOF+∠AOF=180°,∴3∠AOF=180°,∴∠AOF=60°,∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°,∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=90°-60°=30°.
(2)OF⊥CD.理由:
∵OE⊥AB,∴∠BOD+∠DOE=90°,
∵∠AOC=∠BOD,∠AOC=∠EOF,
∴∠EOF=∠BOD,∴∠EOF+∠DOE=90°,
∴OF⊥CD.
7.解析 (1)∵BD⊥AC,EF⊥AC,
∴∠CFE=∠CDB=90°,∴BD∥EF.
(2)∵BD∥EF,∴∠2=∠CBD,∵∠1=∠2,
∴∠CBD=∠1,∴GF∥BC,∵DM∥BC,∴DM∥GF,
∴∠AMD=∠AGH.
8.B 选项A、C、D中AD与BC不垂直,故线段AD的长不能表示点A到直线BC的距离;选项B中AD⊥BC于D,则线段AD的长表示点A到直线BC的距离,符合题意,故选B.
9.C 跳远成绩是落地时脚跟所在点到起跳线的距离,依据是垂线段最短,故选C.
10.答案 PB
解析 由垂线段最短可知线段PB最短.
11.解析 (1)两点之间,线段最短,如图所示,连接AD,BC交于H,则H为蓄水池的位置,它到四个村庄的距离之和最小.
(2)如图,过H作HG⊥EF,垂足为G,沿HG开渠,水渠最短,依据是“垂线段最短”.
能力提升全练
12.C ∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°,∵∠AEF+∠FEG+∠BEG=180°,∠AEF=40°,∴∠BEG=180°-∠AEF-∠FEG=50°,∵AB∥CD,∴∠EGF=∠BEG=50°.
13.D 根据垂线段最短得出点P到直线m的距离不大于4 cm,故选D.
14.答案 ∥;∥;⊥
解析 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,平行于同一条直线的两条直线平行.
15.答案 40
解析 ∵PM⊥l,∴∠2+∠3=90°,∵a∥b,∴∠1=∠3=50°,∴∠2=40°.
16.解析 ∵AF⊥CE,∴∠CGF=90°,∵∠1=∠D,∴AF∥DE,∴∠4=∠CGF=90°,又∵∠2与∠C互余,∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠C=∠2+∠3=90°,∴∠C=∠3,∴AB∥CD.
17.解析 (1)∵CF∥AG,∴∠FCH=∠2=58°,
∵CF⊥CE,∴∠FCE=90°,
∴∠ACE=90°-58°=32°.
(2)∵CE平分∠ACD,
∴∠DCE=∠ACE=32°,
∵∠1=32°,∴∠1=∠DCE,∴AB∥CD.
18.解析 (1)如图.
(2)如图.
(3)∵S△ABC=12AB·CE=12BC·AD,
∴CE=BC·ADAB=7×1215=285,
即点C到直线AB的距离为285.
素养探究全练
19.解析 (1)∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°,即∠1+∠AOC=90°,∵∠1=∠2,∴∠2+∠AOC=90°,即∠POC=90°,∴OP⊥CD.
(2)∠AOD,∠BOC,∠FON,∠EOM.
详解:∵∠AOC+∠BOC=180°,∠BOC=2∠AOC,
∴∠AOC=60°,
∵OM平分∠BOD,
∴∠BOM=∠DOM=∠AON=∠CON=30°,
∵OE⊥AB,OC⊥OF,∴∠AOE=∠COF=90°,
∴∠AOC=∠EOF=60°,
∴∠AOD=∠BOC=∠FON=∠EOM=180°-60°=120°=2∠EOF,∴与2∠EOF度数相等的角是∠AOD,∠BOC,∠FON,∠EOM.