数学第四章 数列4.4* 数学归纳法第二课时教案

这是一份数学第四章 数列4.4* 数学归纳法第二课时教案，共6页。

课题：数学归纳法的简单应用
课型：
课时教学目标
能用数学归纳法证明关于正整数n的恒等式、不等式，发展逻辑推理素养.
教学重点和难点
（1）教学重点：运用数学归纳法证明一些关于正整数n的命题，
（2）教学难点：在“归纳递推”的步骤中，由假设n=kk∈N∗，k≥n0时命题成立证明n=k+1时命题也成立.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节一
复习回顾，引入新课
问题1 上一节课，我们一起学习了数学归纳法，认识、理解了数学归纳法的原理，你能复述用数学归纳法证明关于正整数n的命题的步骤吗？在使用数学归纳法的过程中，归纳递推的本质是什么？
师生活动 学生作答，师生共同回顾、巩固相关内容.
本节课的主要内容是数学归纳法的应用，其目的是让学生熟悉数学归纳法的两个步骤，深刻理解数学原理的本质，不断积累使用数学归纳法解决数学问题的经验，领悟数学归纳法的思想方法.
环节二
典例剖析，应用方法
例2 用数学归纳法证明：
12+22+⋯+n2=16nn+12n+1n∈N∗
师生活动 学生独立思考并书写证明过程，然后教师在全班展示部分学生的证明过程，同学进行点评.在展示交流过程中，教师引导学生重点关注：
（1）证明过程中，两个步骤是否清晰；
（2）在第二步用归纳递推证明n=k+1时命题成立时，是否用到了n=k时成立这一条件；
（3）是否标注了k的取值范围.
例3 已知数列{an}满足a1=0，2an+1−anan+1=1n∈N∗,试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
师生活动 学生独立思考、解答，并进行展示.同时，教师引导学生思考如下几个问题：
（1）数列{an}的递推关系是什么？
（2）根据递推关系，a2，a3，a4的值各是多少？
（3）根据a2，a3，a4的值猜想数列{an}的的通项公式是什么？
（4）怎样用数学归纳法证明所猜想的通项公式？
通过这几个问题，把整个题目进行分解，引导学生逐步解决以上问题，最终达到解决问题的目的.
追问 本例与上一节课中的探究问题有什么区别与联系？
师生活动 学生小组交流、讨论，并展示成果，教师适时参与交流.
例4 设x为实数，且x>−1，x≠0，n为大于1的正整数，若数列
x，x1+x，x1+x2，⋯，x1+xn−1，⋯
的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
师生活动 教师先引导学生思考下面的问题：
（1）数列的前n项和Sn怎么求？
（2）这里n的值是从多少开始的？当n=2，3，4时，Sn与nx的大小关系怎样？
（3）用数学归纳法证明猜想时，第二步归纳递推中P（k）与Pk+1的关系是怎样的？
在此基础上，学生独立思考，书写解答过程，并以小组为单位进行讨论，然后请部分学生展示其解答过程.
追问1 关于本例的证明，还有其他的解答思路吗？
师生活动 学生将不同于前一种的解题思路进行展示，学生、教师点评.
追问2 根据本例题的证明结果，你能得到一个一般性的结论吗？
师生活动 学生分组讨论、交流，根据证明的结果，可以得到不等式1+xn>1+nx，其中x∈R且x>−1，x≠0，n∈N∗且n>1.教师适时引导，这就是著名的贝努利不等式，该不等式还可以进一步引申拓展，有兴趣的同学可以课后去探究.
这是一个证明恒等式的问题，使学生进一步熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.
例3与第1课时中的探究问题十分相似，设计本题目的有二：一是让学生进一步体会“先猜后证”的探究问题的方式，即观察—归纳—猜想—证明；二是让学生体会“递推关系相同，而初始条件不同，则数列的通项公式不一定相同”，培养学生在学习中养成不断总结和反思的习惯.
例4将等比数列求和、不等式的性质和“先猜后证”的探究方法结合起来，意在让学生明白：数学归纳法除了能证明关于正整数n的恒等式问题之外，还可以用于证明关于正整数n的不等式问题.到此，运用数学归纳法不仅证明了数列中的等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式，而且还可以解决一些具有递推关系的非特殊数列的通项公式求解问题，从而把数学归纳法真正融入数列的整体知识结构之中.
追问1意在寻求一题多解，拓宽学生思路；追问2旨在引导学生加强总结、提炼，注重对平时学习中的例题、习题的加工，通过加工很可能就会得到一个非常有用的一般化结论，或数学史上重要的数学结论，同时要鼓励学生善于学习、善于总结，善于透过现象看本质.
环节三
单元小结，升华知识
问题2 回顾本单元的学习内容，回答下列问题：
（1）我们是如何提出本单元所研究的问题的？
（2）我们是通过怎样的方式得到数学归纳法原理的？
（3）用数学归纳法证明关于正整数n的命题的基本步骤是什么？
（4）用数学归纳法证明的第二步的本质是什么？
（5）在具体应用数学归纳法证明关于正整数n的命题时，应注意哪些细节？
（6）你能画出本单元的知识结构框图吗？
师生活动 学生独立思考，再小组交流讨论.以下内容供参考：
对（1），前面学习的等差数列通项公式是通过不完全归纳得到的，没有经过严格的证明，我们用已学习的证明方法，不能对这一类关于正整数n的命题进行证明，因此需要学习新的证明方法，这就是学习数学归纳法的必要性.
对（2），一方面以一特殊的含递推关系的数列的通项公式的猜想和证明为例，提出猜想，寻求证明猜想的方法；另一方面挖掘骨牌原理，类比、迁移骨牌原理寻找和构建递推关系，找到证明问题的方法，进一步抽象方法，获得数学归纳法原理.
对（3），用数学归纳法证明关于正整数n的命题的步骤是：第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.
对（4），第二步的本质是证明一个命题：条件是“n=k时命题成立”，结论是“n=k+1时命题也成立”.又由k的任意性，就保证了命题成立的递推性。
对（5），应用数学归纳法要注意的细节很多，一是注意归纳奠基这一步中n0的取值，二是在第二步要以“Pk为真”为前提条件，推证“Pk+1为真”，三是注意表述的规范，等等.
对（6），本单元的知识结构图如图4.4 - 6.
环节四
目标检测，检验效果
1.用数学归纳法证明下列等式：
−1+3−5+7+…+−1n2n−1+−1n+12n+1+−1n+22n+3=−1n+2n+2.
（1）要验证当n=1时等式成立，其左边的式子应为 ；
（2）当n=k+1时，其左边的式子应为 .
检测目标 本题主要检测学生对数学归纳法两个步骤的掌握情况，测评学生准确运用两个步骤解决问题的能力.
2.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=n4，其中n∈N∗.试推断an>bn对哪些正整数n成立，证明你的结论.
检测目标 本题主要检测学生对数学归纳法的掌握情况，测评学生运用“先猜后证”的思想方法进行推理论证的能力.
师生活动 学生独立思考，若条件允许，可以在课堂内完成，并完成点评.
第1题是根据教科书练习题目改编而成，主要评价学生对数学归纳法原理的理解；第2题则是教科书的练习题，评价学生选择使用数学归纳法的能力.
环节五
分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教科书第51页习题4.4第3、4、5题，
（2）选做题：教科书第51~52页习题4.4第7、8、9、10题，第57页复习参考题4第16题.
2.拓展性作业
课后查阅相关资料，领会数学归纳法的文化内涵，形成研究报告或数学小论文.
作业设计
板书设计
教学反思