2024春高中数学第七章随机变量及其分布章末检测（人教A版选择性必修第三册）

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第七章章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知随机变量X的分布列是则m＝(　　)A． eq \f(5,6) B． eq \f(2,3)C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,6)【答案】B　【解析】X服从两点分布，由分布列的性质，得 eq \f(1,3)＋m＝1，解得m＝ eq \f(2,3).2．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为(　　)A．18， eq \f(1,3) B．36， eq \f(1,3)C．36， eq \f(2,3) D．18， eq \f(2,3)【答案】D　【解析】由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，解得n＝18，p＝ eq \f(2,3).3．某同学通过计算机测试的概率为 eq \f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　)A． eq \f(4,9) B． eq \f(2,9)C． eq \f(4,27) D． eq \f(2,27)【答案】A　【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝C eq \o\al(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(4,9).4．若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)A．1，2 B．1，－2C．－1，2 D．－1，－2【答案】C　【解析】由E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，得1－E(ξ)＝2，(－1)2D(ξ)＝2，据此可得E(ξ)＝－1，D(ξ)＝2.5．(2023年永州模拟)某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ(单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　　)A．5份 B．10份C．15份 D．20份【答案】B　【解析】由题意易知P(ξ>100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80<ξ≤100)＝0.45.∴P(ξ>120)＝P(ξ>100)－P(100<ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.6．(2023年遵义期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为(　　)A．0.48 B．0.49C．0.51 D．0.52【答案】C　【解析】设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P( eq \x\to(A))＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B| eq \x\to(A))＝0.95，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A))P(B| eq \x\to(A))＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.7．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个需要援助的地区，每个医疗小组只去一个地区，设事件A为“4个医疗小组去的地区各不相同”，事件B为“小组甲独自去一个地区”，则P(A|B)＝(　　)A． eq \f(5,9) B． eq \f(4,9)C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,9)【答案】D　【解析】由题意，P(AB)＝ eq \f(A eq \o\al(4,4),44)＝ eq \f(3,32)，P(B)＝ eq \f(C eq \o\al(1,4)·33,44)＝ eq \f(27,64)，P(A|B)＝ eq \f(P(AB),P(B))＝ eq \f(2,9).8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0，1).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)A． eq \f(1,48) B． eq \f(1,24)C． eq \f(1,12) D． eq \f(1,6)【答案】D　【解析】根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,3a＋2b＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2c，,b＝1－3c，))∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，这是一个开口向下的抛物线，其顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,6)))，∴当且仅当c＝ eq \f(1,6)时，ab取得最大值 eq \f(1,6).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是(　　)A．P(B|A)≥P(AB) B．P(B|A)＝ eq \f(P(B),P(A))是可能的C．05，x1∈N，))“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为y2＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x2，x2≤20，x2∈N，,4x2－20，2040，x2∈N.))(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：所以X1的分布列为E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：所以X2的分布列为E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).因为E(X2)>E(X1)，所以做“送外卖员”挣的更多，故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．22．(12分)(2023年唐山模拟)某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示：赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者．(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果)(2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X).(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？参考知识：正整数n>1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))) eq \s\up12(n)< eq \f(1,e)，e为自然对数的底数，e≈2.718 28.解：(1)本赛事共计30场比赛，一位选手最多能进行7轮比赛．(2)X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7.P(X＝2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)，P(X＝3)＝C eq \o\al(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(1,4)，P(X＝4)＝C eq \o\al(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(3,16)，P(X＝5)＝C eq \o\al(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(5)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(3,16)，P(X＝6)＝P(X＝7)＝C eq \o\al(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(6)＝ eq \f(1,16)，X的分布列为E(X)＝2× eq \f(1,4)＋3× eq \f(1,4)＋4× eq \f(3,16)＋5× eq \f(3,16)＋6× eq \f(1,16)＋7× eq \f(1,16)＝ eq \f(15,4).(3)乙经败者组进入决赛的概率为f(t)＝C eq \o\al(1,4)(1－t)t5，00，f(t)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)))上单调递增；当 eq \f(5,6)