高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式综合训练题

这是一份高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式综合训练题，共5页。试卷主要包含了某保险公司把被保险人分为3类等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )
A． eq \f(3,5)B． eq \f(19,49)
C． eq \f(20,49)D． eq \f(2,5)
【答案】D 【解析】设A＝“一个人取到黄球”B＝“二个人取到黄球”，则P(B)＝P(A)(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))，由题意知P(A)＝ eq \f(20,50)，P( eq \x\t(A))＝ eq \f(30,50)，P(B|A)＝ eq \f(19,49)，P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(20,49)，所以P(B)＝ eq \f(20,50)× eq \f(19,49)＋ eq \f(30,50)× eq \f(20,49)＝ eq \f(2,5).
2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3B．0.023 4
C．0.034 5D．0.045 6
【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
3．5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )
A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(2,5)D． eq \f(3,5)
【答案】B 【解析】设A表示“第二次取出的卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”，Bi表示“第一次取出的数字为i”，i＝1，2，3，4，5，则P(Bi)＝ eq \f(1,5)，P(A|Bi)＝ eq \f(5－i,4).由全概率公式，得P(A)＝ eq \i\su(i＝1,5,P)(Bi)P(A|Bi)＝ eq \f(1,5)· eq \f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝ eq \f(1,2).
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )
A． eq \f(5,12)B． eq \f(3,7)
C． eq \f(20,41)D． eq \f(21,41)
【答案】D 【解析】设A＝“取得红球”，B1＝“来自甲袋”，B2＝“来自乙袋”，则P(B1)＝P(B2)＝ eq \f(1,2)，P(A|B1)＝ eq \f(6,10)，P(A|B2)＝ eq \f(8,14).由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝ eq \f(P(B1)P(A|B1),P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2))＝ eq \f(\f(1,2)×\f(6,10),\f(1,2)×\f(6,10)＋\f(1,2)×\f(8,14))＝ eq \f(21,41).
5．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
现从该药店任意买一瓶消毒液，则买到优质品的概率为( )
A．0.925B．0.935
C．0.945D．0.955
【答案】A 【解析】设事件A1，A2，A3分别表示“买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌”；事件B表示“买到优质品”．由题意，得P(A1)＝ eq \f(240,240＋120＋40)＝0.6，P(A2)＝ eq \f(120,240＋120＋40)＝0.3，P(A3)＝ eq \f(40,240＋120＋40)＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.85.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925.
6．(多选)若0A．P(A|B)＝ eq \f(P(AB),P(A))
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(A,\s\up6(－))))P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(A,\s\up6(－))))))
D．P(A|B)＝ eq \f(P(B)P(A|B),P(A)P(B|A)＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(A,\s\up6(－))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(A,\s\up6(－)))))))
【答案】BCD 【解析】由条件概率公式知A错误；由概率的乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))))，所以P(A|B)＝ eq \f(P(B)P(A|B),P(B))＝ eq \f(P(B)P(A|B),P(A)P(B|A)＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(A))))))，故D正确．故选BCD．
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占 eq \f(3,5)，乙班中女生占 eq \f(1,3)，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4)D． eq \f(1,5)
【答案】A 【解析】用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω.由题意知P(A1)＝ eq \f(5,8)，P(A2)＝ eq \f(3,8)，P(B|A1)＝ eq \f(3,5)，P(B|A2)＝ eq \f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝ eq \f(5,8)× eq \f(3,5)＋ eq \f(3,8)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,2).
8．两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起．设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．
【答案】 eq \f(73,75) 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，那么第一台机床生产的零件占总零件的 eq \f(2,3)，第二台机床生产的零件占总零件的 eq \f(1,3)，由全概率公式，得所求概率为(1－0.03)× eq \f(2,3)＋(1－0.02)× eq \f(1,3)＝ eq \f(73,75).
9．(2023年德州期末)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.若“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是________．
【答案】0.175 【解析】设B1＝“被保险人是谨慎的”，B2＝“被保险人是一般的”，B3＝“被保险人是冒失的”，则B1，B2，B3构成了Ω的一个样本空间，设事件A＝“出事故”，由全概率公式，得P(A)＝ eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
10．有三个箱子，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球，4个白球；2号箱装有2个红球，3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．
解：记Ai＝“球取自i号箱”，i＝1，2，3，B＝“取得红球”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥．
由题意，得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝ eq \f(1,3)，P(B|A1)＝ eq \f(1,5)，P(B|A2)＝ eq \f(2,5)，P(B|A3)＝1，
所以P(B)＝ eq \i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,5)＋ eq \f(1,3)× eq \f(2,5)＋ eq \f(1,3)×1＝ eq \f(8,15).
B级——能力提升练
11．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． eq \f(2,9)B． eq \f(3,8)
C． eq \f(1,12)D． eq \f(5,8)
【答案】B 【解析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式，得P(A)＝ eq \i\su(k＝1,3,P)(Bk)P(A|Bk)＝ eq \f(1,2)· eq \f(C eq \\al(2,4),C eq \\al(2,9))＋ eq \f(1,5)· eq \f(C eq \\al(2,5),C eq \\al(2,9))＋ eq \f(3,10)· eq \f(C eq \\al(2,5),C eq \\al(2,9))＝ eq \f(8,36).P(B1|A)＝ eq \f(P(B1)P(A|B1),P(A))＝ eq \f(\f(1,2)·\f(C eq \\al(2,4),C eq \\al(2,9)),P(A))＝ eq \f(3,36)÷ eq \f(8,36)＝ eq \f(3,8).
12．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，其中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，其中60%表现出症状S.下列结论正确的有( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】ABC 【解析】由题意，得P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6.由全概率公式，得P(S)＝ eq \i\su(i＝1,3,P)(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02，A正确；由贝叶斯公式，得P(D1|S)＝ eq \f(P(D1)P(S|D1),P(S))＝ eq \f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，B正确；P(D2|S)＝ eq \f(P(D2)P(S|D2),P(S))＝ eq \f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，C正确；P(D3|S)＝ eq \f(P(D3)P(S|D3),P(S))＝ eq \f(0.005×0.6,0.02)＝0.15，D错误．
13．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．
(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________；
(2)从乙箱中取出白球的概率是________．
【答案】 eq \f(2,5) eq \f(8,25) 【解析】设A＝“从甲箱中取出白球”，B＝“从乙箱中取出白球”，则P(A)＝ eq \f(3,5)，P( eq \x\t(A))＝ eq \f(2,5)，P(B|A)＝ eq \f(2,5)，P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(1,5)，利用全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,5)＋ eq \f(2,5)× eq \f(1,5)＝ eq \f(8,25).
14．设袋中装有10个大小、形状相同的阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，则没人抓得有物之阄的概率为________．
【答案】 eq \f(3,5) 【解析】设A，B分别为“甲、乙抓得有物之阄”的事件．
∴P(A)＝P(B)P(A|B)＋P( eq \x\t(B))P(A| eq \x\t(B))＝ eq \f(2,10)× eq \f(1,9)＋ eq \f(8,10)× eq \f(2,9)＝ eq \f(1,5)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(2,10)× eq \f(1,9)＋ eq \f(8,10)× eq \f(2,9)＝ eq \f(1,5).∴1－P(A)－P(B)＝1－ eq \f(1,5)－ eq \f(1,5)＝ eq \f(3,5).
15．盒中有a个红球，b个黑球，球除颜色外均相同．今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．
解：设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”．
由题意，得P(A)＝ eq \f(b,a＋b)，P(B|A)＝ eq \f(b＋c,a＋b＋c)，
P( eq \x\t(A))＝ eq \f(a,a＋b)，P(B| eq \x\t(A))＝ eq \f(b,a＋b＋c).
由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))
＝ eq \f(b(b＋c),(a＋b)(a＋b＋c))＋ eq \f(ab,(a＋b)(a＋b＋c))＝ eq \f(b,a＋b).品牌
甲
乙
丙
数量/瓶
240
120
40
优质率
95%
90%
85%