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13.3.2 第2课时 含30度角的直角三角形的性质 导学案 人教版八年级数学上册
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13.3.2 等边三角形第1课时一、学习目标:1.探索含30°角的直角三角形的性质.2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.学习重、难点重点:含30°角的直角三角形的性质.难点:运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.探究案三、合作探究探究点一问题1:将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?∠BAD=∠D=_______, ∠BAC=___________;AB=BD, △ABE是__________三角形; 2BC=BD=________.要点归纳: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言:在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°. 求证:BC=AB问题2:已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°. 求证:BC=AB.方法一:倍长法【提示:延长BC至D,使CD=BD,连接AD】证明:方法二:截半法【提示:在BA上截取BE=BC,连接EC】证明:探究点二问题1:下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?问题2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM长为15cm,求BC的长.探究点三问题1:已知等腰三角形的底角为15°,腰长为8cm,则腰上的高为多少?问题2:如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C=90°,∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。随堂检测1.如图13-3-44所示是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=8 m,∠A=3 0°,则立 柱BC的长度为( ) A.4 m B.8 m C.10 m D.16 m2.将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图所示,则三角板的直角边的长为( )A.3 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm3.将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB=14 cm,则阴影部分的面积是_____cm².4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.5.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处 测得∠ACB=15°,他沿CB方向 走了20 m,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC 于点D,若C D=3,则BD的长为_______.7.已知在△ABC中,∠BAC =120°,AB=AC,AD⊥AC交BC于D,AD=2,求BC的长度.8.如图,∠BAC=30°,点P是∠BAC平分线上 的一点,PD⊥AC于D,PE∥AC交AB于E,已知AE=10 cm,求 PD的长度.课堂小结30º直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获,并记录下来:我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案合作探究探究点一问题2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则∠B=60°. 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.∵ ∠ACB=90°∴ ∠ACD=90°∵ AC=AC∴ △ABC≌△ADC ( SAS )∴ AB=AD (全等三角形的对应边相等)∴ △ABD是等边三角形 (有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形)∴ BC= 12BD=12AB方法2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则∠B=60°.在BA上截取BE=BC,连接EC.∴∆BCE是等边三角形.∴BC=BE=CE∴∠BEC=60°又∵∠A=30°,∠BEC=∠A+∠ACE∴∠ACE=30°∴CE=AE∴BC=BE=AE=12AB探究点二问题1:解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°∴BC=12AB,DE=12AD∴BC=12×7.4=3.7(m)又∵AD=12AB∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m)答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m问题2解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm∵在Rt△ACM中,∠CAM=30°∴CM= AM=7.5cm∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)答:BC的长为22.5cm探究点三问题1如图,过C作CD⊥AB,角BA延长线于D,∵∠B=15°,AB=AC,∴∠DAC=30°,∵CD为AB上的高,AC=8cm,∴CD= 12AC= 12×8=4(cm)故则腰上的高为4cm.问题2:解:作∠A的平分线AD交BC于D,过D作DE⊥AB于E,得到3个全等三角形.随堂检测1.A 2.B 3. 492 4. ∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.5.∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°,∴∠ACB=∠CAD,∴AD=CD=20(m),又∵∠ABD=90°,∴AB= 12AD= 12×20=10(m),∴树的高度为10米.6.6 7. 在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,又∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∵∠C=30°∴CD=2AD=4,∠BAD=∠B=30°,∴AD=DB=2,∴BC=CD+BD=4+2=6. 8. 解:作PF⊥AB于F,∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP,∵PE∥AC,∴∠EPA=∠PDA,∴∠BAP=∠EPA,∴AE=PE=10,∵∠FEP=∠BAC=30°,∴PF=12PE=5,∵AP平分∠BAC,PF⊥AB,PD⊥AC,∴PD=PF,∴PD=5.PD的长度为5cm
13.3.2 等边三角形第1课时一、学习目标:1.探索含30°角的直角三角形的性质.2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.学习重、难点重点:含30°角的直角三角形的性质.难点:运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.探究案三、合作探究探究点一问题1:将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?∠BAD=∠D=_______, ∠BAC=___________;AB=BD, △ABE是__________三角形; 2BC=BD=________.要点归纳: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言:在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°. 求证:BC=AB问题2:已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°. 求证:BC=AB.方法一:倍长法【提示:延长BC至D,使CD=BD,连接AD】证明:方法二:截半法【提示:在BA上截取BE=BC,连接EC】证明:探究点二问题1:下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?问题2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM长为15cm,求BC的长.探究点三问题1:已知等腰三角形的底角为15°,腰长为8cm,则腰上的高为多少?问题2:如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C=90°,∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。随堂检测1.如图13-3-44所示是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=8 m,∠A=3 0°,则立 柱BC的长度为( ) A.4 m B.8 m C.10 m D.16 m2.将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图所示,则三角板的直角边的长为( )A.3 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm3.将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB=14 cm,则阴影部分的面积是_____cm².4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.5.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处 测得∠ACB=15°,他沿CB方向 走了20 m,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC 于点D,若C D=3,则BD的长为_______.7.已知在△ABC中,∠BAC =120°,AB=AC,AD⊥AC交BC于D,AD=2,求BC的长度.8.如图,∠BAC=30°,点P是∠BAC平分线上 的一点,PD⊥AC于D,PE∥AC交AB于E,已知AE=10 cm,求 PD的长度.课堂小结30º直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获,并记录下来:我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案合作探究探究点一问题2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则∠B=60°. 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.∵ ∠ACB=90°∴ ∠ACD=90°∵ AC=AC∴ △ABC≌△ADC ( SAS )∴ AB=AD (全等三角形的对应边相等)∴ △ABD是等边三角形 (有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形)∴ BC= 12BD=12AB方法2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则∠B=60°.在BA上截取BE=BC,连接EC.∴∆BCE是等边三角形.∴BC=BE=CE∴∠BEC=60°又∵∠A=30°,∠BEC=∠A+∠ACE∴∠ACE=30°∴CE=AE∴BC=BE=AE=12AB探究点二问题1:解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°∴BC=12AB,DE=12AD∴BC=12×7.4=3.7(m)又∵AD=12AB∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m)答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m问题2解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm∵在Rt△ACM中,∠CAM=30°∴CM= AM=7.5cm∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)答:BC的长为22.5cm探究点三问题1如图,过C作CD⊥AB,角BA延长线于D,∵∠B=15°,AB=AC,∴∠DAC=30°,∵CD为AB上的高,AC=8cm,∴CD= 12AC= 12×8=4(cm)故则腰上的高为4cm.问题2:解:作∠A的平分线AD交BC于D,过D作DE⊥AB于E,得到3个全等三角形.随堂检测1.A 2.B 3. 492 4. ∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.5.∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°,∴∠ACB=∠CAD,∴AD=CD=20(m),又∵∠ABD=90°,∴AB= 12AD= 12×20=10(m),∴树的高度为10米.6.6 7. 在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,又∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∵∠C=30°∴CD=2AD=4,∠BAD=∠B=30°,∴AD=DB=2,∴BC=CD+BD=4+2=6. 8. 解:作PF⊥AB于F,∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP,∵PE∥AC,∴∠EPA=∠PDA,∴∠BAP=∠EPA,∴AE=PE=10,∵∠FEP=∠BAC=30°,∴PF=12PE=5,∵AP平分∠BAC,PF⊥AB,PD⊥AC,∴PD=PF,∴PD=5.PD的长度为5cm
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