13.3.2 第2课时 含30度角的直角三角形的性质 导学案 人教版八年级数学上册

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13.3.2 等边三角形第1课时一、学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质.2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．学习重、难点重点：含30°角的直角三角形的性质．难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.探究案三、合作探究探究点一问题1：将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?∠BAD=∠D=_______， ∠BAC=___________;AB=BD, △ABE是__________三角形； 2BC=BD=________.要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC=AB问题2：已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC=AB.方法一：倍长法【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】证明：方法二：截半法【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】证明：探究点二问题1：下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.探究点三问题1：已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为多少？问题2：如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C=90°，∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。随堂检测1．如图13-3-44所示是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠A＝3 0°，则立 柱BC的长度为(　 　) A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m2．将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为(　 　)A．3 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm3．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是_____cm².4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD.5．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处 测得∠ACB＝15°，他沿CB方向 走了20 m，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC 于点D，若C D＝3，则BD的长为_______．7．已知在△ABC中，∠BAC ＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2，求BC的长度．8．如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC平分线上 的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10 cm，求 PD的长度．课堂小结30º直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案合作探究探究点一问题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°. 延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵ ∠ACB=90°∴ ∠ACD=90°∵ AC=AC∴ △ABC≌△ADC ( SAS )∴ AB=AD (全等三角形的对应边相等)∴ △ABD是等边三角形 (有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形)∴ BC= 12BD=12AB方法2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°.在BA上截取BE=BC，连接EC.∴∆BCE是等边三角形.∴BC=BE=CE∴∠BEC=60°又∵∠A=30°，∠BEC=∠A+∠ACE∴∠ACE=30°∴CE=AE∴BC=BE=AE=12AB探究点二问题1：解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°∴BC=12AB，DE=12AD∴BC=12×7.4=3.7(m)又∵AD=12AB∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m)答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m问题2解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm∵在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴CM= AM=7.5cm∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)答：BC的长为22.5cm探究点三问题1如图，过C作CD⊥AB，角BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD= 12AC= 12×8=4（cm）故则腰上的高为4cm．问题2：解：作∠A的平分线AD交BC于D，过D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形.随堂检测1．A　2.B　3. 492　4. ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．5．∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20（m），又∵∠ABD=90°，∴AB= 12AD= 12×20=10（m），∴树的高度为10米．6.6　7. 在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，又∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∵∠C=30°∴CD=2AD=4，∠BAD=∠B=30°，∴AD=DB=2，∴BC=CD+BD=4+2=6．　8. 解：作PF⊥AB于F，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵PE∥AC，∴∠EPA=∠PDA，∴∠BAP=∠EPA，∴AE=PE=10，∵∠FEP=∠BAC=30°，∴PF=12PE=5，∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，∴PD=PF，∴PD=5．PD的长度为5cm