人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题，共7页。试卷主要包含了已知空间三条直线a，b，c等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
【答案】C
【解析】如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与AD相交，与BC异面．
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°B．60°
C．90°D．120°
【答案】B
【解析】连接A1B，BC1．∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH．∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成的角．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°．
3．(2023年闽侯期末)已知空间三条直线a，b，c．若a⊥b，a⊥c，则( )
A．b与c平行B．b与c异面
C．b与c相交D．b与c平行、异面、相交都有可能
【答案】D
【解析】若a⊥b，a⊥c，如图，则b与c相交(c取c1)、平行(c取c2)、异面(c取c3)都有可能．故选D．
4．在下列图形中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①② B．②④
C．③④ D．②③④
【答案】B
【解析】题图①中，直线GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．故选B．
5．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．∴∠MPN＝90°，PN＝ eq \f(1,2)AC＝4，PM＝ eq \f(1,2)BD＝3．∴MN＝5．
6．(多选)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法正确的有( )
A．E，F，G，H四点共面B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面D．直线BC与平面AFH平行
【答案】ABC
【解析】如图，对于A，FG∥A1B1，EH∥A1B1，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，故A正确；对于B，HG∥BC1，EH∥AB，HG∩EH＝H，BC1∩AB＝B，∴平面EGH∥平面ABC1，故B正确；对于C，∵FH∩平面ABB1A1＝H，AA1⊂平面ABB1A1，H∉AA1，∴直线A1A与FH异面，故C正确；对于D，取CC1中点M，连接HM，则HM∥BC，∵HM∩平面AFH＝H，∴直线BC与平面AFH相交，故D错误．故选ABC．
7．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则( )
A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】C
【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．
8．(2023年湘潭期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是__________．
【答案】 eq \f(4,5)
【解析】取A1B1的中点G，连接AG，FG，EG，如图所示，∵A1G∥D1E，且A1G＝D1E，∴四边形A1GED1为平行四边形．∴EG∥A1D，且EG＝A1D．∵A1D1∥AD，A1D1＝AD，∴EG∥AD，EG＝AD．∴四边形ADEG为平行四边行．∴AG∥DE，∴异面直线DE与AF所成角为∠FAG或其补角．设正方形的边长为2，则AF＝ eq \r(22＋12)＝ eq \r(5)，AG＝ eq \r(22＋12)＝ eq \r(5)，FG＝ eq \r(12＋12)＝ eq \r(2)．在△AGF中，由余弦定理可得cs ∠FAG＝ eq \f(AF2＋AG2－FG2,2AF·AG)＝ eq \f(4,5)．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有__________条．
【答案】8
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
B级——能力提升练
11．已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a，b都成60°角的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】把a平移至a′与b相交，其夹角为60°，60°角的补角的平分线c与a，b成60°角，过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．在60°角的“平分面”上还有两条直线与a，b均成60°．过空间一点作它们的平行线即满足条件．故选C．
12．(多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的有( )
A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线
【答案】CD
【解析】A中AM与CC1是异面直线；B中AM与BN是异面直线；易知C，D正确．
13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为__________．
【答案】 eq \f(\r(5),5)
【解析】如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角)．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ eq \r(3)，AD1＝ eq \r(AD2＋DD eq \\al(2,1) )＝2，DM＝ eq \r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5),2)，DB1＝ eq \r(AB2＋AD2＋DD eq \\al(2,1) )＝ eq \r(5)，所以OM＝ eq \f(1,2)AD1＝1，OD＝ eq \f(1,2)DB1＝ eq \f(\r(5),2)．于是在△DMO中，由余弦定理，得cs ∠MOD＝ eq \f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝ eq \f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 eq \f(\r(5),5)．
14．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′．
(1)BC′与CD′所成的角为__________；
(2)AD与BC′所成的角为__________．
【答案】(1)60° (2)45°
【解析】连接BA′(图略)，则BA′∥CD′．连接A′C′，则∠A′BC′(或其补角)为BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，可知∠A′BC′＝60°．由AD∥BC，可知∠C′BC(或其补角)为AD与BC′所成的角，易知∠C′BC＝45°．
15．如图，在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．
(1)求证：EF∥平面ACD；
(2)求异面直线AC与BD所成的角．
(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC．
∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD．
(2)解：E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF∥AC，FM∥BD．∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或所成角的补角)．
在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，
∴△EFM是等边三角形．∴∠EFM＝60°．
∴异面直线AC与BD所成的角为60°．