人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( B )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
[解析] ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
故选B.
2.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 连接BC1，A1C1(图略)，
因为BC1∥AD1，
所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
所以∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.
3．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( D )
A.eq \f(π,2) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
[解析] 如图，∠PBC1为直线PB与AD1所成的角(或其补角)
易知△A1BC1为正三角形．
又P为A1C1中点，所以∠PBC1＝eq \f(π,6).
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq \r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件知：BD＝DE＝EB＝eq \r(2)，则∠BDE＝60°，
故选C.
5．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( A )
A．5 B．6
C．8 D．10
[解析] 如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq \f(1,2)AC＝4，PM＝eq \f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是_90°__；
(2)AC和D1C1所成的角是_45°__；
(3)AC和B1D1所成的角是_90°__；
(4)AC和A1B所成的角是_60°__.
[解析] (1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
7.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_AB，A1B1__.
[解析] 由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是_0°<θ≤60°__.
[解析] 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角．
[解析] 连接BC1，A1C1，A1B，如图所示．
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．
∵BC1＝A1C1＝A1B，
∴△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.
10.如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．
[解析] 取BC的中点M，连接ME，MF，如图．则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
当∠EMF＝60°时，
EF＝ME＝MF＝eq \f(1,2)BD＝1；
当∠EMF＝120°时，
取EF的中点N，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin ∠EMN＝2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
故EF的长度为1或eq \r(3).
B组·素养提升
一、选择题
1．(2022·哈尔滨高一检测)如图，点M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是( A )
A.eq \f(\r(10),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(\r(10),10)
[解析] 如图，连接AD1，D1M.因为AB＝C1D1，AB∥D1C1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角(或其补角)，设正方体的棱长为2，
则AD1＝2eq \r(2)，AM＝D1M＝eq \r(5).
所以cs∠D1AM＝eq \f(2\r(2)2＋\r(5)2－\r(5)2,2×2\r(2)×\r(5))＝eq \f(\r(10),5).
即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是eq \f(\r(10),5).
2．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是( C )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] 如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，
因为AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，
因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq \r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( C )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
[解析] 解法一：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq \r(3)，B1C2＝eq \r(3)，AC2＝eq \r(6)，所以ACeq \\al(2,2)＝ABeq \\al(2,1)＋B1Ceq \\al(2,2)，则∠AB1C2＝90°.
解法二：补成四棱柱亦得．
二、填空题
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq \r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_60°__.
[解析] 依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq \r(2)，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
5．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，则：
(1)BE与CG所成的角的大小为_45°__；
(2)FO与BD所成的角的大小为_30°__.
[解析] (1)如题图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点．
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
三、解答题
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
[解析] (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
C组·探索创新
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，点N是BB1的中点．
(1)异面直线DB1和CM所成的角的余弦值为 eq \f(\r(15),15) ；
(2)异面直线DN和CM所成的角的余弦值为 eq \f(2\r(5),15) .
[解析] (1)将正方体ABCD－A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，连接CE1，ME1.因为DB1∥CE1，
所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)．
设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中，
CM＝eq \f(\r(5),2)a，CE1＝eq \r(3)a，ME1＝eq \f(\r(13),2)a，
那么cs∠MCE1＝eq \f(\f(5,4)a2＋3a2－\f(13,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\r(3)a)
＝eq \f(\r(15),15).
(2)将正方体ABCD－A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，P为所在棱中点，连接CP，MP，DN∥CP，
所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角(或其补角)，
设正方体棱长为a.在三角形MCP中，
CM＝eq \f(\r(5),2)a，CP＝eq \f(3,2)a，MP＝eq \f(\r(10),2)a，
那么cs∠MCP＝eq \f(\f(5,4)a2＋\f(9,4)a2－\f(10,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(3,2)a)＝eq \f(2\r(5),15).