人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课后复习题，共5页。试卷主要包含了下列计算正确的有，计算等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2B．4
C．3D．－4
【答案】B
【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i．故选B．
2．(多选)下列计算正确的有( )
A．(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i
B．(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝－3＋7i
C．4－(5＋12i)－i＝－1－13i
D．－2＋6i＋(－3＋5i)＝－5＋11i
【答案】ACD
【解析】(3＋i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(1－3)i＝4－2i，A正确；(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i，B错误；4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i，C正确；－2＋6i＋(－3＋5i)＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i，D正确．
3．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1
【答案】C
【解析】∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，即x2＋(y－1)2＝1．故选C．
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3B．2
C．1D．－1
【答案】D
【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，解得a＝－1．
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A． eq \r(10)B．5 eq \r(5)
C． eq \r(2)D．5 eq \r(2)
【答案】D
【解析】因为z1－z2＝5＋5i，所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5 eq \r(2)．
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4
【答案】A
【解析】因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4．因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4．故a＝－3，b＝－4．
7．平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i，3＋4i，3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3iB．4＋8i
C．4－8iD．1＋4i
【答案】C
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i．设点D对应的复数为z，则 eq \(DC,\s\up6(→))对应的复数为(3－5i)－z．由四边形ABCD为平行四边形知 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，∴－1＋3i＝(3－5i)－z．∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故选C．
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝__________，b＝__________，c＝__________．
【答案】5 －1 2
【解析】z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－1，,3＋a＝8，,a－3＝c，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－1，,a＝5，,c＝2.))
9．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是__________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a＜0，,a－1＞0，))解得a＞2．
10．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 020＋2 021i)＋(2 021－2 022i)．
解：(1)(方法一)原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1．
(方法二)原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1．
(2)原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 019－2 020)＋2 021]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 020＋2 021)－2 022]i＝(－1 010＋2 021)＋(1 010－2 022)i＝1 011－1 012i．
B级——能力提升练
11．已知复数z1＝cs θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A． eq \r(3)B． eq \r(5)
C．6D． eq \r(6)
【答案】D
【解析】由题意，得|z1－z2|＝|(cs θ－sin θ)＋2i|＝ eq \r((cs θ－sin θ)2＋4)＝ eq \r(5－2sin θcs θ)＝ eq \r(5－sin 2θ)≤ eq \r(6)，故|z1－z2|的最大值为 eq \r(6)．
12．(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的有( )
A．若复数z满足|z－i|＝ eq \r(5)，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心， eq \r(5)为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为 eq \(OZ1,\s\up6(→))，复数z2对应的向量为 eq \(OZ2,\s\up6(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则 eq \(OZ1,\s\up6(→))⊥ eq \(OZ2,\s\up6(→))
【答案】CD
【解析】满足|z－i|＝ eq \r(5)的复数z对应的点在以(0，1)为圆心， eq \r(5)为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ eq \r(a2＋b2)．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋ eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以 eq \(OZ1,\s\up6(→))， eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
13．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ eq \f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b为__________．
【答案】－4
【解析】因为 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))，所以2＋ eq \f(a,2)i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－b＝－2a，,\f(a,2)＋a＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6，))故a－b＝－4．
14．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，则D点对应的复数z4＝__________；AD的长＝__________．
【答案】7＋3i 2 eq \r(10)
【解析】如图， eq \(AC,\s\up6(→))对应复数z3－z1， eq \(AB,\s\up6(→))对应复数z2－z1， eq \(AD,\s\up6(→))对应复数z4－z1．∵四边形ABDC为平行四边形，∴ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i．∴AD的长为| eq \(AD,\s\up6(→))|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 eq \r(10)．
15．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝ eq \r(2)．
(1)求复数z在复平面内对应的点所在的图形；
(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝ eq \r(2)，
得|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝ eq \r(2)，
解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为 eq \r(2)的圆．
(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OZ0|＝2 eq \r(2)，半径r＝ eq \r(2)，
所以当z＝1＋i时，|z|min＝ eq \r(2)．