苏科版八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析版）

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专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ）A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形中，若，则是（    ）A．60 B．20 C．80 D．1003．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则等于（    ）A．80° B．70° C．65° D．60°5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（     ）A．60° B．70° C．75° D．80°6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将绕着点C旋转180°得到，若AC=2，＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）A．3 B．4 C． D．7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线、交于点，，，将绕着点旋转得到，则点与点之间的距离为（    ）A． B． C． D．8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）A．12 B．24 C．10 D．20二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．10．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为____．12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接．若，则线段的长为____________．13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为___________；②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是________________．16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．18．(2023春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．19．(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．20．(2023春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：（1）APB≌APD；（2）PD2＝PE•PF．22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形中，与交于点，， ．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，交于点，连接，若，求长．23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．【结论运用】(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　；(2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：；(3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度．24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形中，，，线段，分别与，两边相交，且．(1)如图1，设线段，分别交，两边于点，，连接，当时，请直接写出的长；(2)将绕着顶点旋转，射线，交于点．①如图2，连接，，若，求出，，之间的数量关系；②旋转过程中，四边形的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ）A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直【答案】D【分析】直接根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）、菱形的性质、矩形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、菱形和矩形都是中心对称图形，则此项不符合题意；B、菱形和矩形都具有对角相等的性质，则此项不符合题意；C、菱形和矩形都具有对边平行的性质，则此项不符合题意；D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、中心对称图形，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形中，若，则是（    ）A．60 B．20 C．80 D．100【答案】C【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º【答案】C【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵ADBC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则等于（    ）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】D【分析】连接，先根据菱形的性质可得，垂直平分，根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，连接，四边形是菱形，且，，垂直平分，，垂直平分，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（     ）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】D【分析】根据等边的边长与菱形的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．【详解】解：∵等边的边长与菱形ABCD的边长相等，∴AB=AE，AD=AF，∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，整理得，3∠B=240°，解得∠B=80°．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将绕着点C旋转180°得到，若AC=2，＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】连接，根据菱形的性质、旋转的性质，得到，，根据=5，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可．【详解】解：连接，如图：∵四边形ABCD是菱形，且BOC绕着点C旋转180°得到，且AC=2，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线、交于点，，，将绕着点旋转得到，则点与点之间的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形的对角线、交于点，，，可得，所以，根据绕着点旋转得到，所以，，，再根据勾股定理即可求出点与点之间的距离．【详解】解：菱形的对角线、交于点，，，，，绕着点旋转得到，，，，，在中，根据勾股定理，得：．则点与点之间的距离为．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）A．12 B．24 C．10 D．20【答案】D【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB==5∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．【答案】24【分析】由菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形的面积，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．10．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【答案】##140度【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．【详解】解：∵菱形中，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为____．【答案】【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中，由此即可求解．【详解】解：∵菱形的对角线，交于点，∴，，在中，，∴菱形的周长为，故答案是：．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接．若，则线段的长为____________．【答案】【分析】根据菱形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理，即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵点F为的中点，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________【答案】【分析】连接，根据题意得出就是所求的的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合，得出为等边三角形，根据E为的中点，得出，根据勾股定理，计算出即可．【详解】∵在菱形中，与互相垂直平分，∴点B、D关于对称，连接，则，则就是所求的的最小值的线段，∵E为的中点，，∴，，∴，∴，∴的最小值为3．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的的最小值的线段，是解题的关键．14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为___________；②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．【答案】          【分析】由菱形的性质可得出，即可求出，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当时，菱形是正方形，从而得出当时，菱形是正方形．【详解】菱形相邻两个内角的度数和为，，即，解得：该菱形的“接近度”为；∵四个角都为直角的菱形是正方形，当时，菱形是正方形，时，菱形是正方形．故答案为：20，0．【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定，对新定义的理解．读懂题意，理解“接近度”是解题关键．15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是________________．【答案】4【分析】过C作延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可．【详解】过C作延长线于M，∵∴设∵点E是边的中点∴∵菱形∴，∵⊥，CM⊥AB∴四边形是矩形∴，∴在中，∴，解得或（舍去）∴故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______．【答案】【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可．【详解】过点作交的延长线于点，如图所示：∵四边形是菱形，，∴，∴，∴，∵点是边的中点，∴，∴，根据勾股定理，得：，∵，∴，根据勾股定理，得：，∵，当点运动到线段上的点时，取得最小值，，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)6(2)【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．（1）解：菱形ABCD的周长为24，，又∠BAD＝60°，是等边三角形，，故对角线BD的长为6；（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，，，又 ，，，菱形ABCD的面积，故菱形ABCD的面积是．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．(2023春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．【答案】【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，，菱形的面积为，∴，．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．19．(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析，．【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=，即可；（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．(1)解：如图所示：(2)解：如图所示：．【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．20．(2023春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．【答案】证明见解析．【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF在△DAF和△DCE中，，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠EAG＝∠FCG，在△AEG和△CFG中，，∴△AEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，在△DGE和△DGF中，，∴△DGE≌△DGF（SSS），∴∠DGE＝∠DGF．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：（1）APB≌APD；（2）PD2＝PE•PF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得，可得结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵ADBC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形中，与交于点，， ．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，交于点，连接，若，求长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，再根据等量代换，得出，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质，得到，进而得出，再根据勾股定理，计算即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， ，∴，∵， ，∴，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形是矩形；（2）解：由（1）得：四边形是矩形，∴，，∵是中点，∴为中点，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．【结论运用】(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　；(2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：；(3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度．【答案】(1)24(2)见解析(3)30【分析】（1）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可以求解；（2）先证四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质可得结论；（3）先证，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形，，，，，，，，，菱形的面积，故答案为：24；（2）证明：如图，连接，交于，四边形是平行四边形，，，四边形是菱形，，，，，，，垂直平分，四边形是平行四边形，，，；（3）解：四边形是菱形，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，故答案为：30．【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形中，，，线段，分别与，两边相交，且．(1)如图1，设线段，分别交，两边于点，，连接，当时，请直接写出的长；(2)将绕着顶点旋转，射线，交于点．①如图2，连接，，若，求出，，之间的数量关系；②旋转过程中，四边形的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)①，理由见详解；②四边形的面积有最大值，最大值为【分析】（1）四边形是菱形，，，易证，可知是等边三角形，，，由此即可求解；（2）①将绕着顶点旋转，根据旋转的性质可证，，，从而得出，由此即可求解；②旋转过程中，判断四边形的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接，过点作于点，则可求出，四边形的面积，当的面积最大时，四边形的面积最大，由此找出的面积最大即可，当时，由，为边组成正方形时，的面积最大，且的最大面积，由此即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∴．（2）解：①，理由如下，如图所示，连接，，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，在和中，，∴，∴，∵，∴，同理，∴，∵，∴，∴，，设，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；②如图所示，连接，过点作于点，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵四边形的面积，∴当的面积最大时，四边形的面积最大，∵，∴当时，即由，为边组成正方形时，的面积最大，∵是由，为边组成正方形的对角线，∴正方形面积为，∴的最大面积，∴四边形的面积．∴四边形的面积有最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．