苏科版八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析版）

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专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（    ）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）A．5 B．6 C．12 D．133．(2023秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ). A．22.5° B．45° C．30° D．135°4．(2023秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的长为（    ）A． B． C． D．6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，错误的有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边与正方形重叠，其中D，E两点分别在上，且．若，则的面积为（    ）A．7.5 B．8 C．6 D．10二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形中，，，则_________°．11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是_______．12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是对角线上的点，，，，分别为垂足，连结设，分别是，的中点，，则的长为______．15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，则的长为 _____．16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，且．求证：平分．18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)求证：；(2)若，是的角平分线，求的长．21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，点是边上的定点．(1)如图1中仅用圆规分别在、上作点、，使，且，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：，且．22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点，与对角线相交于点．(1)若，且，求的长；(2)若，求证：．23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝　 　度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．24．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）四边形为正方形，点为对角线上一点，连接．过点作，交射线于点．(1)如图1，若点在边上，求证：；(2)以，为邻边作矩形，连接．①如图2，若，，求的长度；②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（    ）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分【答案】B【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）A．5 B．6 C．12 D．13【答案】D【分析】利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵∠C=90∘，∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，∴正方形面积S=AB2=13，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.3．(2023秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ). A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四边形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．4．(2023秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IGBD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．【详解】解：如图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，∵四边形EFGI是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F是AD、CD中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GFAC，GF＝AC，同理有IGBD，IG＝BD，∴AC＝BD，即AC＝BD，∵GFAC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IGBD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．故选：D．【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设DE的长为x，过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EG=ED=x，再根据正方形的性质可得AEGC是等腰直角三角形，可得，根据DC=DE+EC，从而求出x的值，即DE的长．【详解】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，设DE的长为x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，∴EG=DE=x．在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，∴∠CEG=∠ECG=45°，∴CG=EG=x，∴，∴，解得：，即DE的长为．故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质等，利用角平分线的性质添加辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，错误的有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④=；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO≠OE．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD，∵CE=DF，∴DE=AF，∴△ADE≌△BAF，∴AE=BF（故①正确）；=，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA，∵=-，=-，∴=（故④正确）；∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，∴∠AFB+∠EAF=90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；假设AO=OE，∵AE⊥BF，∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决．【详解】解；如图，把F绕A逆时针旋转90°得到，∴，∴，∴，∴G、B、E三点共线，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，设，∵，∴，则，∴，∵，∴，解得，，∴BE的长为2．故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边与正方形重叠，其中D，E两点分别在上，且．若，则的面积为（    ）A．7.5 B．8 C．6 D．10【答案】C【分析】作,垂足分别为M，N，证明，得到，根据面积公式计算选择即可．【详解】如图，作,垂足分别为M，N，因为正方形，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为等边，，，所以等边，，所以，所以，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型的构造是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）【答案】必然【分析】根据正方形、矩形、菱形的性质、随机事件的定义解答．【详解】正方形四个都是直角，是矩形，正方形四条边都相等，是菱形，正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；故答案为：必然．【点睛】本题主要考查了随机事件、正方形的性质以及矩形、菱形的判定，正确掌握矩形、菱形的判定方法是解题关键．10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形中，，，则_________°．【答案】50【分析】利用，求得，再利用平行线的性质即可解答本题．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是_______．【答案】45°##度【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可求，即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴，∴．故答案为：45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．【答案】【分析】根据图①得出，将图②进行字母标注，然后利用全等三角形的判定和性质得出∆COE∆DOF，利用面积之间的关系即可得出结果．【详解】解：设正方形A的面积为，正方形B的面积为，在图1中，，，∴，在图2中，进行标注，如图所示：∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，∴∠COE=∠DOF，在∆COE与∆DOF中，，∴∆COE∆DOF，∴，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角形并证明是解题关键．13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．【答案】10【分析】连接EC，根据正方形的性质可得的长，即为AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．【详解】解：如图：连接EC，PC，点P是正方形对角线BD上的一动点，则EC就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，∴CD=AD=AE+DE=8cm，∴CE=（cm）．∴AP+PE的最小值是10cm．【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是对角线上的点，，，，分别为垂足，连结设，分别是，的中点，，则的长为______．【答案】2.5【分析】如图所示。连接AG，CG，先证明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再证四边形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后证明MN是△ABG的中位线，则．【详解】解：如图所示。连接AG，CG，∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四边形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，∵M、N分别是AB，BG的中点，∴MN是△ABG的中位线，∴，故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，则的长为 _____．【答案】##厘米【分析】延长交的延长线于N，由可证，可得，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．【详解】解：如图，延长交的延长线于N，∵正方形和正方形的边长分别为和，∴，，∴，∵点H是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，∴E点不在AD边上，∴k≠0，①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，当点E在AB边且OE＝3时，由勾股定理得， ∴AE＝，∴E（1，），当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，∵，∴OB=＜5，当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，∴k＞，符合题意；②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；当OE＝5时，由勾股定理得 ，∴DE＝4，∴E（﹣3，4），此时E与C重合，当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，∴k＜0且k，符合题意；综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，且．求证：平分．【答案】见解析【分析】求得，证明，推出，即可证明结论．【详解】证明：∵四边形是边长为1的正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴平分．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，即可求证；（2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解．（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，点是中点，∴，在中，，∵DE=AF，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝＝4，由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)求证：；(2)若，是的角平分线，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，，∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=，根据勾股定理，得BC=2，∴OE+=2，∴OE=2-．【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，点是边上的定点．(1)如图1中仅用圆规分别在、上作点、，使，且，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：，且．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用圆规在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；（2）利用正方形的性质得到∠A＝∠B＝90°，再证明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再证明∠EPF＝90°，从而得到PE⊥PF．【详解】（1）解：如图1，点E、F为所作；（2）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠B＝90°，在△APE和△BFP中，，∴△APE≌△BFP（SAS），∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，∵∠AEP+∠APE＝90°，∴∠APE+∠BPF＝90°，∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，∴PE⊥PF，即EP⊥PF，且EP＝PF【点睛】本题考查了作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点，与对角线相交于点．(1)若，且，求的长；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】 （1）在正方形 中，由 ，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且 ，利用 得到，利用全等三角形对应边相等得到 ，进而利用 计算 的长； （2）在 上取一点 ，使 ，连接 ，利用 得到，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到 ， ，进而确定出为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．【详解】（1） ∵四边形是正方形，∴，∵∴∴，在和中∴∴又∵∴则（2）在 上取一点 ，使 ，连接由（1）∴则是等腰直角三角形∴在和中∴则，∵，∴∴，则∴为等边三角形∴∵∴【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝　 　度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，证明见解析(3)2【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，则F、D、在一条直线上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案为：45；（2）解：DF＝BE+EF    理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，则△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．24．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）四边形为正方形，点为对角线上一点，连接．过点作，交射线于点．(1)如图1，若点在边上，求证：；(2)以，为邻边作矩形，连接．①如图2，若，，求的长度；②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②或【分析】（1）连接，由正方形的对称性证得△ECB≌△ECD(SAS)，推出，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得；（2）①证明得，求出的长度便可；②分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．（1）解：证明：如图，连接， 是正方形的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∵EC=EC，CB=CD，∴△ECB≌△ECD(SAS)，，四边形是正方形，，，，，，，，；（2）①四边形为矩形，，四边形为正方形，，四边形为正方形，，，，，，，，，；②当时，如图，，，，当时，如图，，，，综上，或．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是作辅助线和证明全等三角形．