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人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系练习
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这是一份人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系练习，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若空间中三条直线，，，满足，，则直线与（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
2．若直线上有两个点在平面外，则
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行B．异面C．相交D．平行或异面
4．在三棱柱中，M，N分别为棱AB，AC的中点，则直线与的位置关系为( )
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
5．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．∥，∥且∥，则∥
B．⊥，⊥且⊥，则⊥
C．⊥，且⊥，则⊥
D．，，∥，∥，则∥
8．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B．直线l在平面外是指直线和平面平行
C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交
D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交
10．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则上述命题中（ ）是真命题．
A．B．C．D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
12．下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若点，点且，，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D．若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．
14．正方体的棱长为1，分别为的中点，下列四个选项
①直线与直线垂直
②直线与平面平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点和点到平面的距离相等;
其中正确的是____________
15．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．
16．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：
①若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，则αβ；
②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则nα；
③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且mβ，nα，则αβ．
其中正确命题的序号为_____（填所有正确命题的序号）
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每个有理数都是实数；
(2)过直线外任意一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(3)设，是的边，上的点，若，是，的中点，则．
18．（12分）直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
19．（12分）已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
20．（12分）如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
21．（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
22．（12分）如图，平面，线段分别交于线段分别交于线段分别交于.若.求的面积.
8.4.2空间中点线面位置关系-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若空间中三条直线，，，满足，，则直线与（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
【答案】D
【分析】根据空间中两直线的位置关系即可得出选项.
【详解】空间中三条直线，，，若，，
则直线与直线平行、相交、异面.
所以两直线的位置关系不确定.
故选：D
2．若直线上有两个点在平面外，则
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内，故选D.
考点：线面的位置关系
点评：考查了线面的位置关系的运用，属于基础题．
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行B．异面C．相交D．平行或异面
【答案】D
【分析】根据两直线分别在两平行平面内，可得两直线无交点，进而可得出结果.
【详解】因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，
因此两直线平行或异面.
故选D
【点睛】
本题主要考查空间中线线位置关系的判定，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.
4．在三棱柱中，M，N分别为棱AB，AC的中点，则直线与的位置关系为( )
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
【答案】B
【分析】作出图像，连接MN，由四边形是梯形是梯形即可判断.
【详解】
如图所示，连接MN，则MN∥BC且MN＝BC，
又∵BC∥且BC＝，∴MN∥且MN≠，
∴四边形是梯形，故与是梯形的两条腰，∴直线与相交.
故选：B.
5．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据空间位置关系，依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；
对于②，当这一点在这一条直线上时，不确定，是假命题；
对于③，两两相交，且交于一点的三条直线可不一定确定一个平面，是假命题；
对于④，如果平面外有两点A，B位于平面两侧时，不满足，是假命题．
故正确的命题个数为1个.
故选：B
6．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【分析】根据面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据面面平行的性质，可得：
对于①中，一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个平面相交，所以是正确的；
对于②中，如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面，所以是正确的；
对于③，若两平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段是相等的，所以是正确的.
故选：C.
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．∥，∥且∥，则∥
B．⊥，⊥且⊥，则⊥
C．⊥，且⊥，则⊥
D．，，∥，∥，则∥
【答案】B
【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.
【详解】A. 因为∥，∥且∥，则∥，相交或异面，故错误；
B. 因为⊥，⊥，所以或，又⊥，所以⊥，故正确；
C. 因为⊥，且⊥，所以，相交或平行；故错误；
D. 因为，，∥，∥，则∥或相交，故错误；
故选：B
8．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB＝AC．
现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB＝AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可
【详解】我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置．
容易看出此时BC＜AB＝AC．
现在，将A和B往上移，
并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），
而当A、B 移得很高很高时，
不难想象△ABC 将会变得很扁，
也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．
于是，在移动过程中，
总有一刻，使△ABC成为等边三角形，
亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．
这样，就得到①和②都是正确的．
至于③，如图所示．
为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为⊤．
假设A是⊤，
那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，
知 L3⊥△ABC，
从而△ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6，
这就与AB⊥AC 矛盾．
同理可知D是⊤时也矛盾；
假设C是⊤，
那么由BC⊥CA，BC⊥CD，
知BC⊥△CAD，
而 l1∥△CAD，故 BC⊥l1，
从而BC为l1与l2的距离，
于是 EF∥BC，EF＝BC，这样就得到EF⊥FG，矛盾．
同理可知B是⊤时也矛盾．
综上，不存在四点Ai（i＝1，2，3，4），
使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
故选C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B．直线l在平面外是指直线和平面平行
C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交
D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交
【答案】CD
【分析】由线面直线的位置关系逐一判断即可求解.
【详解】若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确．
若l⊄α，则或l与α相交，所以B不正确．
由线面直线的位置关系可知，C、D正确.
故选：CD
10．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则上述命题中（ ）是真命题．
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据点、线、面的位置关系对四个命题逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】：两两相交且不过同一点的三条直线围成一个三角形，是平面图形，为真命题.
：如果三个点在一条直线上，则不止一个平面，为假命题.
：两条直线不相交，可能异面，为假命题.
，根据线面垂直的定义可知为真命题.
故选：AD
11．下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
【答案】BC
【分析】由公理1判断A，由公理3判断B，由空间中点、线、面的位置关系判断C和D.
【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错误；
由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B正确；
因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；
一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D错误.
故选：BC.
12．下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若点，点且，，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D．若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交
【答案】BC
根据线线关系、线面关系的性质定理及判定定理判断可得；
【详解】解：由公理一，可知A正确；
若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；
若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；
若直线和不平行，且，，，
所以直线和异面
与共面，与共面，
可以与平行或相交，可以与平行或相交，
但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，
则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，
至少与和中的一条相交，故D正确；
故选：BC．
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．
【答案】相交
【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.
【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，
所以面与面的位置关系是相交.
故答案为：相交
14．正方体的棱长为1，分别为的中点，下列四个选项
①直线与直线垂直
②直线与平面平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点和点到平面的距离相等;
其中正确的是____________
【答案】②③
【分析】画出图形，观察可知①错误；②画出截面，由线面平行的判定定理可证；③截面为等腰梯形，计算上底、下底以及梯形的高可求出面积；④若点和点到平面的距离相等，可得到的距离相等，可证明错误.
【详解】解：①显然直线与直线不垂直，又，所以直线与直线不垂直，①错误；
②如图：
所在平面为，分别为的中点，所以，平面 ，平面，所以平面，②正确；
③截面为等腰梯形，，，且梯形的高为，所以梯形的面积为，③正确；
④若点和点到平面的距离相等，则棱锥和棱锥的体积相等，即，即三角形与三角形的面积相等，即到的距离相等，在正方形中，到的距离不相等，故④不正确；
故答案为：②③.
15．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．
【答案】21
【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.
【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，
故三棱柱各面所在的平面将空间分成部分
故答案为：21
【点睛】
思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.
16．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：
①若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，则αβ；
②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则nα；
③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且mβ，nα，则αβ．
其中正确命题的序号为_____（填所有正确命题的序号）
【答案】②④
【分析】利用空间中直线与平面，平面与平面之间的位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，
对于①中，若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，只有直线m，n相交时，才能得到αβ，所以①不正确；
对于②中，若m⊥β，n⊥β，m⊂α，可得mn且α⊥β，又n⊄α，则nα，所以②正确；
对于③中，若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α，β不一定垂直，所以③不正确；
对于④中，因为mβ，可得在平面β内存在直线，又由m⊂α，所以，
又因为m，n异面直线，所以与n是两条相交直线，又由nα，则αβ，所以④正确.
故答案为：②④
【点睛】
本题主要考查了以线面位置关系为载体的命题的真假判定，其中解答中熟记空间中点、线与面的位置关系的判定与性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每个有理数都是实数；
(2)过直线外任意一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(3)设，是的边，上的点，若，是，的中点，则．
【答案】(1)存在有理数不是实数.假命题
(2)过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.假命题
(3)，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．假命题
【分析】（1）否定结论即可，显然为假命题；
（2）该命题为形式，否定为；
（3）否定结论即可，由中位线定理可知判断真假.
(1)
否定：存在有理数不是实数.
因为任何有理数都是实数，故否定为假命题.
(2)
否定：过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.
易知否定为假命题
(3)
否定：，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．
由三角形中位线知，否定为假命题
18．（12分）直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
【答案】图形见解析.
【分析】直接根据题意，即可画出图形.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示：
19．（12分）已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
【答案】见详解.
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先假设直线AC、BD是共面直线，再推出错误结论，即可得证.
【详解】假设直线AC、BD是共面直线；
则A，B，C，D四点共面，
所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线.
20．如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证.
【详解】证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，
因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
在△PMN中，因为，
所以DE∥MN且DE＝MN.
所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC.
则D， E， A， C四点共面．
21．（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；
（2）利用反证法，先假设D1B与CC1不是异面直线，证明D1，B，C，C1共面矛盾即可.
【详解】（1）如图，连结MN，A1C1，AC.
∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
∵四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∴MN∥AC，
∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．
（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
22．（12分）如图，平面，线段分别交于线段分别交于线段分别交于.若.求的面积.
【答案】100
【分析】根据平行对应的线段成比例关系求解出和的值，然后根据三角形的面积公式表示出，结合可求得的面积.
【详解】因为平面，又平面平面，平面平面，
所以，同理.
又，所以.
又，
所以，
因为，所以的面积.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若空间中三条直线，，，满足，，则直线与（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
2．若直线上有两个点在平面外，则
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行B．异面C．相交D．平行或异面
4．在三棱柱中，M，N分别为棱AB，AC的中点，则直线与的位置关系为( )
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
5．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．∥，∥且∥，则∥
B．⊥，⊥且⊥，则⊥
C．⊥，且⊥，则⊥
D．，，∥，∥，则∥
8．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B．直线l在平面外是指直线和平面平行
C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交
D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交
10．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则上述命题中（ ）是真命题．
A．B．C．D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
12．下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若点，点且，，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D．若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．
14．正方体的棱长为1，分别为的中点，下列四个选项
①直线与直线垂直
②直线与平面平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点和点到平面的距离相等;
其中正确的是____________
15．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．
16．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：
①若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，则αβ；
②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则nα；
③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且mβ，nα，则αβ．
其中正确命题的序号为_____（填所有正确命题的序号）
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每个有理数都是实数；
(2)过直线外任意一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(3)设，是的边，上的点，若，是，的中点，则．
18．（12分）直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
19．（12分）已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
20．（12分）如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
21．（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
22．（12分）如图，平面，线段分别交于线段分别交于线段分别交于.若.求的面积.
8.4.2空间中点线面位置关系-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若空间中三条直线，，，满足，，则直线与（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
【答案】D
【分析】根据空间中两直线的位置关系即可得出选项.
【详解】空间中三条直线，，，若，，
则直线与直线平行、相交、异面.
所以两直线的位置关系不确定.
故选：D
2．若直线上有两个点在平面外，则
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内，故选D.
考点：线面的位置关系
点评：考查了线面的位置关系的运用，属于基础题．
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行B．异面C．相交D．平行或异面
【答案】D
【分析】根据两直线分别在两平行平面内，可得两直线无交点，进而可得出结果.
【详解】因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，
因此两直线平行或异面.
故选D
【点睛】
本题主要考查空间中线线位置关系的判定，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.
4．在三棱柱中，M，N分别为棱AB，AC的中点，则直线与的位置关系为( )
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
【答案】B
【分析】作出图像，连接MN，由四边形是梯形是梯形即可判断.
【详解】
如图所示，连接MN，则MN∥BC且MN＝BC，
又∵BC∥且BC＝，∴MN∥且MN≠，
∴四边形是梯形，故与是梯形的两条腰，∴直线与相交.
故选：B.
5．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据空间位置关系，依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；
对于②，当这一点在这一条直线上时，不确定，是假命题；
对于③，两两相交，且交于一点的三条直线可不一定确定一个平面，是假命题；
对于④，如果平面外有两点A，B位于平面两侧时，不满足，是假命题．
故正确的命题个数为1个.
故选：B
6．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【分析】根据面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据面面平行的性质，可得：
对于①中，一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个平面相交，所以是正确的；
对于②中，如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面，所以是正确的；
对于③，若两平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段是相等的，所以是正确的.
故选：C.
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．∥，∥且∥，则∥
B．⊥，⊥且⊥，则⊥
C．⊥，且⊥，则⊥
D．，，∥，∥，则∥
【答案】B
【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.
【详解】A. 因为∥，∥且∥，则∥，相交或异面，故错误；
B. 因为⊥，⊥，所以或，又⊥，所以⊥，故正确；
C. 因为⊥，且⊥，所以，相交或平行；故错误；
D. 因为，，∥，∥，则∥或相交，故错误；
故选：B
8．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB＝AC．
现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB＝AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可
【详解】我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置．
容易看出此时BC＜AB＝AC．
现在，将A和B往上移，
并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），
而当A、B 移得很高很高时，
不难想象△ABC 将会变得很扁，
也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．
于是，在移动过程中，
总有一刻，使△ABC成为等边三角形，
亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．
这样，就得到①和②都是正确的．
至于③，如图所示．
为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为⊤．
假设A是⊤，
那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，
知 L3⊥△ABC，
从而△ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6，
这就与AB⊥AC 矛盾．
同理可知D是⊤时也矛盾；
假设C是⊤，
那么由BC⊥CA，BC⊥CD，
知BC⊥△CAD，
而 l1∥△CAD，故 BC⊥l1，
从而BC为l1与l2的距离，
于是 EF∥BC，EF＝BC，这样就得到EF⊥FG，矛盾．
同理可知B是⊤时也矛盾．
综上，不存在四点Ai（i＝1，2，3，4），
使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
故选C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B．直线l在平面外是指直线和平面平行
C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交
D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交
【答案】CD
【分析】由线面直线的位置关系逐一判断即可求解.
【详解】若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确．
若l⊄α，则或l与α相交，所以B不正确．
由线面直线的位置关系可知，C、D正确.
故选：CD
10．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则上述命题中（ ）是真命题．
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据点、线、面的位置关系对四个命题逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】：两两相交且不过同一点的三条直线围成一个三角形，是平面图形，为真命题.
：如果三个点在一条直线上，则不止一个平面，为假命题.
：两条直线不相交，可能异面，为假命题.
，根据线面垂直的定义可知为真命题.
故选：AD
11．下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
【答案】BC
【分析】由公理1判断A，由公理3判断B，由空间中点、线、面的位置关系判断C和D.
【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错误；
由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B正确；
因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；
一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D错误.
故选：BC.
12．下列叙述错误的是（ ）
A．已知直线和平面，若点，点且，，则
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D．若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交
【答案】BC
根据线线关系、线面关系的性质定理及判定定理判断可得；
【详解】解：由公理一，可知A正确；
若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；
若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；
若直线和不平行，且，，，
所以直线和异面
与共面，与共面，
可以与平行或相交，可以与平行或相交，
但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，
则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，
至少与和中的一条相交，故D正确；
故选：BC．
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．
【答案】相交
【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.
【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，
所以面与面的位置关系是相交.
故答案为：相交
14．正方体的棱长为1，分别为的中点，下列四个选项
①直线与直线垂直
②直线与平面平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点和点到平面的距离相等;
其中正确的是____________
【答案】②③
【分析】画出图形，观察可知①错误；②画出截面，由线面平行的判定定理可证；③截面为等腰梯形，计算上底、下底以及梯形的高可求出面积；④若点和点到平面的距离相等，可得到的距离相等，可证明错误.
【详解】解：①显然直线与直线不垂直，又，所以直线与直线不垂直，①错误；
②如图：
所在平面为，分别为的中点，所以，平面 ，平面，所以平面，②正确；
③截面为等腰梯形，，，且梯形的高为，所以梯形的面积为，③正确；
④若点和点到平面的距离相等，则棱锥和棱锥的体积相等，即，即三角形与三角形的面积相等，即到的距离相等，在正方形中，到的距离不相等，故④不正确；
故答案为：②③.
15．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．
【答案】21
【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.
【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，
故三棱柱各面所在的平面将空间分成部分
故答案为：21
【点睛】
思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.
16．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：
①若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，则αβ；
②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则nα；
③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且mβ，nα，则αβ．
其中正确命题的序号为_____（填所有正确命题的序号）
【答案】②④
【分析】利用空间中直线与平面，平面与平面之间的位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，
对于①中，若mβ，nβ，m⊂α，n⊂α，只有直线m，n相交时，才能得到αβ，所以①不正确；
对于②中，若m⊥β，n⊥β，m⊂α，可得mn且α⊥β，又n⊄α，则nα，所以②正确；
对于③中，若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α，β不一定垂直，所以③不正确；
对于④中，因为mβ，可得在平面β内存在直线，又由m⊂α，所以，
又因为m，n异面直线，所以与n是两条相交直线，又由nα，则αβ，所以④正确.
故答案为：②④
【点睛】
本题主要考查了以线面位置关系为载体的命题的真假判定，其中解答中熟记空间中点、线与面的位置关系的判定与性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每个有理数都是实数；
(2)过直线外任意一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(3)设，是的边，上的点，若，是，的中点，则．
【答案】(1)存在有理数不是实数.假命题
(2)过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.假命题
(3)，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．假命题
【分析】（1）否定结论即可，显然为假命题；
（2）该命题为形式，否定为；
（3）否定结论即可，由中位线定理可知判断真假.
(1)
否定：存在有理数不是实数.
因为任何有理数都是实数，故否定为假命题.
(2)
否定：过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.
易知否定为假命题
(3)
否定：，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．
由三角形中位线知，否定为假命题
18．（12分）直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
【答案】图形见解析.
【分析】直接根据题意，即可画出图形.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示：
19．（12分）已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
【答案】见详解.
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先假设直线AC、BD是共面直线，再推出错误结论，即可得证.
【详解】假设直线AC、BD是共面直线；
则A，B，C，D四点共面，
所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线.
20．如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证.
【详解】证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，
因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
在△PMN中，因为，
所以DE∥MN且DE＝MN.
所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC.
则D， E， A， C四点共面．
21．（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；
（2）利用反证法，先假设D1B与CC1不是异面直线，证明D1，B，C，C1共面矛盾即可.
【详解】（1）如图，连结MN，A1C1，AC.
∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
∵四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∴MN∥AC，
∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．
（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
22．（12分）如图，平面，线段分别交于线段分别交于线段分别交于.若.求的面积.
【答案】100
【分析】根据平行对应的线段成比例关系求解出和的值，然后根据三角形的面积公式表示出，结合可求得的面积.
【详解】因为平面，又平面平面，平面平面，
所以，同理.
又，所以.
又，
所以，
因为，所以的面积.
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