人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程优秀练习题

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知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.
【答案】
【详解】把坐标代入直线和直线，
得,，
∴，
过点和点的直线的方程是：，
∴，则，
∵，
∴，
∴所求直线方程为．
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
【即学即练2】（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】C
【详解】∵且，则
∴，，
∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，
故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
【即学即练3】（2023秋·高二课时练习）经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
【即学即练4】（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点且与直线垂直的直线方程是________．（用一般式表示）
【答案】
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
于是，解得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：
题型01直线的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线在轴的截距大于在轴的截距，则、、应满足条件（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论取任何值，直线都存在斜率
B．当，且时，直线只与轴相交
C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交
D．当，且，且时，直线是轴所在直线
【典例3】（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数，，满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与轴相交；
(4)是轴所在直线；
(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．
【变式1】（2023春·江苏南通·高一期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点D．存在，，使之无交点
【变式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________
题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若，，则直线不经过第象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线：的斜率和在轴上的截距分别为（ ）
A．，3B．，C．，3D．，
题型03根据直线平行求参数
【典例1】（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（ ）
A．B．1C．D．或1
【典例3】（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）若直线和直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．2B．C．2或D．或
【变式2】（2023春·高二单元测试）“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【变式3】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型04根据直线垂直求参数
【典例1】（2023·北京·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式31】（2023·上海·高二专题练习）直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．1C．D．9
题型05由两条直线平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
【变式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）过点且与直线平行的直线方程为_________.
题型06由两条直线垂直求方程
【典例1】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知直线与垂直，求.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型07直线过定点问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【典例3】（2023春·江苏南通·高一期末）已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023秋·高二课时练习）不论取何值，直线都过定点（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·高二课时练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限．
题型08直线综合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点的坐标；
(2)直线与 轴正半轴和 轴正半轴分别交于点， ，当面积最小时，求直线的方程；
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，
（1）直线过定点，求点P坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线方程．
【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为___________；若直线不经过第三象限，则的取值范围是___________.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点.
(1)求的最小值，及此时直线的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线的截距式方程.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值；
（3）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的方程.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·高二课时练习）若直线与垂直，则m的值为（ ）
A．B．C．5D．
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三对口高考）如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若为实数，则“”是“直线与平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
7．（2023秋·高二课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
二、多选题
9．（2023秋·福建莆田·高二校考期末）已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
10．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．直线必过定点
B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________.
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.
四、解答题
13．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
B能力提升
1．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高二专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023·全国·高二专题练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
4．（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；
(2)求△AOB面积的最小值；
(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
C综合素养
1．（2023秋·全国·高二期末）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
2．（2022·高二课时练习）如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
3．（2022秋·河南·高二校联考期中）已知直线．
(1)证明: 无论取何值，直线与直线总相交．
(2)若，直线与轴分别交于两点，，求面积的最小值．
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线的一般式方程的形式
及条件.会求直线的一般式方程。
②能准确的将直线的五种形式的方程进
行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。
③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。
通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.