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【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 专题5.1 一次函数应用题 专项讲练（解析版）
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这是一份【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 专题5.1 一次函数应用题 专项讲练（解析版），共41页。
专题5.1 一次函数应用题 专项讲练一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。题型1. 行程类问题1）纵坐标表示行驶路程1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离.2）纵坐标表示两者之间的距离1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和；3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离.例1．（2022·安徽八年级期中）如图，A，B两地相距240km，甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地，乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y（km）与乙所用时间x（h）的关系如图，结合图象回答，当两人之间相距120km时，x＝____________．【答案】0.5或2或3.5．【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列方程求解．【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40÷1＝40（km/h），甲到达B地用的时间为：240÷40＝6（h），乙从B地到A地用的时间为：（6﹣1﹣1）÷2＝2h，当0≤x≤2时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax，240＝2a，得a＝120，即当0≤x≤2时，乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝120x，当2＜x≤3时，y′＝240，当3＜x≤5时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax+b，，解得， 即当3＜x≤5时，乙的行驶路程y与时间x的函数关系式是y′＝﹣120x+600；设甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝mx+n，，解得， 即甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝40x+40，当0≤x≤2时，甲乙相遇前，令（40x+40）+120x＝240﹣120，得x＝0.5，甲乙相遇后，令120x+（40x+40）＝240+120，解得，x＝2，当3＜x≤5时，令40+3×40+40（x﹣3）＝120（x﹣3）+120，解得，x＝3.5，由上可得，x为0.5或2或3.5时，两人之间相距120km．故答案为：0.5或2或3.5．【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用，正确理解题意是解题的关键．变式1．（2022·广西横县·八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程（千米）随时间（分）变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇．【答案】【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第二次在BC段，根据条件首先求出AB解析式，即得出相遇时间．【详解】解：（1）当15≤x≤33时，设yAB＝kx＋b， ∵点（15，5）（33，7）在此直线上，∴，解得，∴y＝x＋，当y＝6时，x＋＝6 x＝24，即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24．【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式．变式2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；②根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．【详解】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得：，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7），当y＝260时，260＝40x﹣20，解得：x＝7，∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论错误；当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x＋b'，由题意得：，解得，∴y＝80x﹣160．当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝，当40x﹣20＋50＝80x﹣160时，解得：x＝，∴﹣2＝，﹣2＝，所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．∴正确结论的个数是2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键．变式3．（2022•包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离文具店的路程y1、y2（单位：米）与出发时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示．（1）学校和文具店之间的路程是 米，小亮的速度是小明速度的 倍；（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？解：（1）由图象可得，学校和文具店之间的路程是360米，∵小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校，∴小亮的速度是小明速度的2倍，故答案为：360，2；（2）设小明的速度为m米/分钟，则小亮的速度为2m米/分钟，2m+2×2m＝360，解得m＝60，∴a＝2×60＝120，∴图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两人出发2min后在距离文具店120m处相遇；（3）设小明与小亮迎面相遇以后，再经过n分钟两人相距20米，小亮未到达文具店时，（60+2×60）n＝20，解得n＝；小亮从文具店返回学校时，60（2+n）﹣[（60×2）×（2+n）﹣360]＝20，解得n＝；由上可得，小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距20米．例2．（2022·安徽淮北·八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】首先求出甲乙两人的速度，a是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以得出；c是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以得出；b是甲到达终点的时间，因为此图中的t是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论．【详解】解：甲的速度为；乙的速度为；；，解得，．∴正确的有①②③．故正确结论的个数有3个，故选：D．【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题．变式1．（2022•南关区一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．解：（1）由图象可得，甲车的速度为：30÷0.5＝60（千米/时），乙车的速度为：60×2÷（2﹣0.5）＝80（千米/时），m＝2+（2﹣0.5）＝2+1.5＝3.5，故答案为：60，80，3.5；（2）当x＝3.5时，y＝1.5×（60+80）＝210，设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，∵点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上，∴，解得，即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280（2≤x≤3.5）；（3）当y＝160时，160＝140x﹣280，解得x＝，答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是小时．变式2.（2022•安徽二模）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：（1）求两名同学的速度分别是多少？（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）解：（1）两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m，A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地，一共1200m，小华用了20min，∴小华速度：1200÷20＝60 （m/min），在A点．两人相遇共走1200m，用时12min，∴两人速度和：1200÷12＝100（m/min），∴小明速度：100﹣60＝40（m/min），∴小华的速度为60m/min，小明的速度为40m/min；（2）小华到乙地时，时间是20，此时小明走20×40＝800，∴B（20，800），A（12，0），设AB解析式：y＝kx+b，把A、B坐标代入解析式，得：，解得：，∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝100x﹣1200；（3）C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，C点横坐标为1200÷40＝30，此时小华走了30×60＝1800米，相当于往回返走600米，∴C（30，600），D点：两人再次相遇，当x＝3600÷100＝36时，此时y值为0，如图所示：题型2. 图象类方案选择问题例1．（2022•深圳期中）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：① ；② ．（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．解：（1）有月租费的收费方式是①，月租费是20元；故答案为：①；20；（2）设y1＝k1x+20，y2＝k2x，由题意得：将（500，80）代入y1＝k1x+20，得，500k1+20＝80，∴k1＝0.12，∴y1＝0.12x+20，将（500，100）代入y2＝k2x，得，500k2＝100，∴k2＝0.2．∴y2＝0.2x，故所求的解析式为y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；故答案为：y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；（3）当通讯时间相同时y1＝y2，得0.2x＝0.12x+20，解得x＝250；故当通讯时间是250分钟时，两种收费方式的费用一样；（3）y2＝0.2x＝0.2×350＝70（元）；y1＝0.12x+20＝0.12×350+20＝62（元），70＞62，故使用有月租费方式更经济实惠．变式1．（2022•驻马店二模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备．（1）求两种设备的价格．（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．①y1的解析式为 ；y2的解析式为 ．②当销售量（x）满足条件 时，该公司盈利（即收入大于成本）．（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？解：（1）设A型设备每台的价格a万元，B型设备每台b万元，，解得，答：A型设备每台的价格20万元，B型设备每台10万元；（2）①设y1与x的函数关系式为y1＝kx，∵点（10，20）在该函数图象上，∴10k＝20，得k＝2，即y1与x的函数关系式为y1＝2x；设y2与x的函数关系式为y2＝cx+d，，解得，即y2与x的函数关系式为y2＝x+10；故答案为：y1＝2x，y2＝x+10；②由图象可得，当x＞10时，该公司盈利，故答案为：x＞10；（3）设购进A型设备m台，则购进B型设备（10﹣m）台，由题意可得，1.2m+0.4（10﹣m）＞10，解得m＞7.5，∵m为正整数，∴m至少是8，答：A型设备至少需要购进8台．变式2．（2022•梁园区二模）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝ ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？解：（1）∵y1图象过点（10，800），即10人的费用为800元，∴a＝×10＝4，∵y2图象过点（10，2000）和（20，3000），即20人中后10人费用为1000元，∴b＝×10＝5，故答案为：4，5；（2）设y1＝k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k1＝800，∴k1＝80，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝80x；设y2＝k2x+b，①当0≤x≤10时，∵函数图象经过点（0，0）和（10，2000），∴10k2＝2000，∴k2＝200，∴y2＝200x，②当x＞10时，∵函数图象经过点（10，2000）和（20，3000），∴，解得：，∴y2＝100x+1000；综上所述，y2与x之间的函数关系式为y2＝；（3）设共n名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为（50﹣n）人，当0＜n≤10时，200n+80 （50﹣n）≤5440，解得n＜12，∴0＜n≤10，则50＞50﹣n≥40；当n＞10时，100n+1000+80×（50﹣n）≤5440，解得n≤22，∴10＜n≤22，∴40＞50﹣n≥28综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．例2．（2022·山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？【答案】（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．分析: （1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用； （2）根据分段函数的表示法，甲林场分或两种情况 .乙林场分或两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出甲、乙与之间的函数关系式； （3）分类讨论，当，时，时，表示出甲、乙的关系式，就可以求出结论．【解析】（1）由题意，得．甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，乙=4×1500=6000元；故答案为5900，6000；（2）当时，甲 时．甲 ∴甲(取整数).当时，乙当时，乙 ∴乙(取整数).（3）由题意，得 当时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．当时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当时，到甲林场优惠；当时，甲乙 当甲=乙时 解得： ∴当时，到两家林场购买的费用一样；当甲<乙时， 时，到甲林场购买合算；当甲>乙时， 解得： ∴当时，到乙林场购买合算．综上所述，当或时，两家林场购买一样，当时，到甲林场购买合算；当时，到乙林场购买合算．变式1．（2022·湖北江汉·八年级期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下：（1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是 ， ．若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ．（2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围．【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；（2）300≤a≤332．【分析】（1）根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人工费用每平方米0.3元，则y2＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推．（2）已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解．【详解】解：（1）由题意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40，若选择公司A最省钱，则有 ，解得x≤200，∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200；若选择公司B最省钱，则有，解得200≤x≤860；∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860；若选择公司C最省钱，则有 ，解得x≥860，∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000．故答案为：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000．（2）根据题意可得，推出优惠活动后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a，则有， 解得300≤a≤332．∴此时a的取值范围为：300≤a≤332．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键．变式2．（2022·河南·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．题型3 最优方案问题解题步骤：1.将需求最值对象表示成一次函数；2.利用题中条件求出自变量的取值范围；3.利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。例1．（2022•新城区校级期末）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．解：（1）设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元，由题意得：，解得：，答：A，B两种书的进价分别为56元，30元；（2）设购进A种书a本，购进B种书（100﹣a）本，获利为w元，由题意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，∵a≥3（100﹣a），∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w随a增大而减小，∴当a＝75时，w最大，最大值为2500元，此时100﹣a＝100﹣75＝25（本）．答：购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元．变式1．（2022·成都西川中学九年级月考）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值．（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【详解】（1）依题意得：解得：，经检验是原分式方程的解．（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得，，解得：，∵x是正整数，，∴共有7种方案．（3）设总利润为W，则①当时，，W随x的增大而增大，所以，当时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋；②当时，，（2）中所有方案获利都一样；③当时，，W随x的增大而减小，所以，当时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．变式2．（2022•南阳模拟）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．解：（1）设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 （2m﹣400）只肥羊，根据题意得：m+2m﹣400＝2000，解得：m＝800．答：A养殖场出栏800只肥羊，B养殖场出栏1200只肥羊；（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地（800﹣x）只，从B养殖场运往甲地（1300﹣x）只，从B养殖场运往乙地 （x﹣100）只，根据题意得：y＝25x+20（800﹣x）+18（1300﹣x）+24（×﹣100）＝11x+37000，∵11＞0，∴y随x的增大而增大，∵100≤x≤700，∴x＝100时，y最小，答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1200只，此时费用最少；（3）总运费z＝100（25﹣x）+700（20﹣a）+1200（18﹣a）＝﹣2000a+38100，由题意得：，解得：4.05≤a≤18，且a为整数，∴a的最小值为5．例2．（2022•潼南区期末）洪水无情，人有情，依靠政府战灾情．202特大洪水虽然给我区人民造成极大损失，但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林坝某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的萝卜不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．解：（1）设大货车用x辆，则小货车用y辆，根据题意得：，解得，答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w＝720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]，＝70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）14a+8（10﹣a）≥96，解得a≥，又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8 且为整数．∵w＝70a+11400，k＝70＞0，w随a的增大而增大，∴当a＝3时，W最小，最小值为：W＝70×3+11400＝11610（元）．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．变式1．（2022•枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，由题意可得，，解得，答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨；（2）由题意可得，y＝25x+20（500﹣x）+15（420﹣x）+24[380﹣（500﹣x）]＝14x+13420（120≤x≤420），∵k＝14＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0，答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；（3）由题意可得，y＝14x+13420﹣mx＝（14﹣m）x+13420，当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大．∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×120+13420≥14020，解得m≤9，∴0＜m≤9；当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去；当14＜m≤15时，14﹣m＜0，y随x的增大而减少，∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×420+13420≥14020，解得m≤12（舍去），由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．变式2．（2022·成都市八年级课时练习）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求：①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师．根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______．（2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即．将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得_________．为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________．在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由．【答案】（1）6；6；6；（2）；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；（2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6−x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．【详解】解：（1）∵（234＋6）÷45＝5（辆）…15（人），∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；∵只有6名教师，∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；故填： 6，6，6．（2）设租用x辆甲种客车，租乙种客车辆，则租车费用y是x的函数，即，由题意得：，解得：4≤x≤，∵x为整数，∴x＝4，或x＝5，∵租车的总费用为，且120＞0，∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元，故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．课后专项训练1.（2022·湖北武汉·八年级期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的距离（单位：km）与所用时间（单位：min）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（ ）A．9min B．10min C．11min D．12min【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可．【详解】解：设甲乙两地的距离为S km，则甲车的速度为km/min，乙车的速度为km/min，甲、乙两车在途中第一次相遇的时间为：=9（min），设甲、乙两车在途中第二次相遇的时间为a min，则（a-12）=a，解得a=18，18-9=9（min），即甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为9min，故选：A．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（2022·湖北湖北·八年级期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当x=2时的纵坐标，然后再除以2即可．【详解】解：从图像可以知2至5时的函数图像经过(4，1600)，(5，2100)设该时段的一次函数解析式为y=kx+b(x≥2)，依题意，将点(4，1600)，(5，2100)分别代入，可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：y=500x-400∴当x=2时，解得y=600．∴前两小时每小时完成的绿化面积是600÷2=300(m2) ．故选D．【点睛】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图像的关系．运用待定系数法求得一次函数的解析式是解答本题的关键．3．（2022·四川·广汉市金轮第一中学九年级期末）和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度与刹车时间与之间满足关系式．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度与路程s、时间t的关系为：动车要准确停站，应在距离站台停止线______千米开始刹车．【答案】10【分析】根据题意求得刹车时的速度，以及刹车到停止的时间间隔，再求得平均速度，代入函数关系式即可求解．【详解】解：∵速度与刹车时间与之间满足关系式，均速度与路程s、时间t的关系为：∴，解得当时， 当时，，当时故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意求得平均速度是解题的关键．4．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．【答案】【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，，解得，，∴当，，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，解得，，∴当时，，把代入中，得，把代入中，得，则（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．5．（2022·河南许昌·八年级期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．【答案】3【分析】待定系数法求出x≥2时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．【详解】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b，将（2，7）、（7，15）代入，得：，解得：，∴y=x+，当x=22时，y=×22+=39，即新车的打车费用为39（元），老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），39-36=3（元）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．6．（2022·湖北鄂州·八年级期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是_____．【答案】##【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到的值．【详解】解：由图象可得，甲的速度为（米秒），乙的速度为：（米秒），则，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出甲、乙的速度．7．（2022·山东青岛·八年级期末）甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为______小时．【答案】4或【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．【详解】解：设线段CD解析式为y＝kx＋b，将C（1，0），D（7，450）代入得：，解得，∴线段CD的解析式为y＝75x−75（1≤x≤7），∵线段OA过点（5，150），∴线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），设线段AB的解析式为y＝mx＋n，将（5，150），（8，450）代入得：，解得，∴线段AB的解析式为y＝100x−350（5≤x≤8）；由（75x−75）−30x＝105，解得：x＝4，由（75x−75）−（100x−350）＝105，解得：x＝，综上所述，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为4或小时，故答案为：4或．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法并求出函数关系式．8．（2022·安徽·宣城市宣州区卫东学校七年级期中）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：(1)用含有t的式子填写下表：(2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等？(3)当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．【答案】(1)，，(2)270(3)选择方式二划算【分析】（1）由月使用费＋主叫超时费即可表式；（2）由（1）得到的代数式，当时，，得到一个取值范围，再列方程即可求解；（3）由方式一收费－方式二收费得到，再由即可做出判断；（1）①当时，方式一收费：；②当时，方式一收费：；③方式二当时收费：．（2）∵当时，，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在取得．∴列方程，解得．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．①当时，方式一收费－方式二收费，当时，，即可得方式二更划算．②当时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当时，方式一收费，此时收费>103，故此时选择方式二划算．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式综合，正确理解数量关系列出代数式是解题的关键．9．（2022·陕西汉中·八年级期末）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：甲商场：所有商品均打九折（按标价的）销售；乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：(1)分别写出，与之间的关系式．(2)若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．(3)若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？【答案】(1)，(2)(3)元【分析】（1）根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．（2）根据（1）的结论列不等式即可解决．（3）采用混合购买的方法解决问题．（1）由题意得：．．（2）当时，，得．当时，在甲超市划算．（3）设在乙超市买副拍，送只羽毛球，则在甲超市买副拍，买个羽毛球，设总费用元，则： ，，随的增大而减小，当时，最小，（元）．购买费用最少为元．【点睛】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考常考题型．10．（2022·湖北襄阳·八年级期末）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、小货车共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．【答案】(1)大货车有14辆，小货车有6辆(2)且x为整数）(3)使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．（1）设大货车有辆，则小货车有辆，根据题意得，解得：，答：大货车有14辆，小货车有6辆；（2）由题意得：且x为整数）．（3）由，解得．则且为整数．，，y随的增大而减小，当时，最小值．答：使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，理解题意，能列出总费用y与x的函数关系式是解题的关键．11．（2022·福建厦门·八年级期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村生产的龙眼重量为300吨．现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为元和元(1)当x为何值时，A村和B村的运输费用相等；(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．【答案】(1)当x＝40时，两村费用相等；(2)从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【分析】（1）由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，故运往D仓库为（200﹣x）吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，由从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式分别求得、与x之间的函数关系式；令=时，x＝40，即可解答；（2）由B村的龙眼运费不得超过4830元得出不等式，求出自变量的取值范围，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，利用一次函数的性质求得最值．（1）解：由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）＝（60+x）吨，∴＝20x+25（200﹣x）＝5000﹣5x，＝15（240﹣x）+18（60+x）＝3x+4680，令＝时，5000﹣5x＝3x+4680，解得：x＝40，∴当x＝40时，两村费用相等；（2）由≤4830，得3x+4680≤4830，解得x≤50，设A、B两村运费之和为y，则y＝+＝5000﹣5x+3x+4680＝﹣2x+9680，∵﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，又0≤x≤50，∴当x＝50时，y有最小值，最小值是y＝﹣2×50+9680＝9580（元），200﹣50＝150，240﹣50＝190，60+50＝110．答：从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．12．（2022·江西抚州·八年级期中）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A、B两种型号足球共100个．(1)若该校购买A、B两种型号足球共用了22000元，求购买两种型号足球各多少个？(2)若该校计划购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，请问最多能买多少个A型足球？(3)在（2）的条件下请求出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)A型60个，B型40个(2)90个(3)购买A型号足球90个，B型号足球10个，理由见解析【分析】（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个，根据总价=单价×数量，结合22000元购买A，B两种型号足球共100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，可得出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围即可得出答案；（3）设购买A型号足球m个，总费用为w元，则购买B型号足球（100-m）个，根据总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个.依题意，得，解得.答：购买A型号足球60个，B型号足球40个 ；（2）设购买A型号足球m个，则购买B型号足球个，∵购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，；（3）设总费用为w元，依题意，得，∵k=-50<0， 随m的增大而减小，当时，取得最小值，最省钱的购买方案为购买A型号足球90个，B型号足球10个．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．13．（2022·河北石家庄·八年级期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【答案】(1)，(2)学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；（为整数）时，乙旅行社更优惠；（为整数）时，甲旅行社更优惠【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费与学生人数的关系式即可；（2）分别利用y甲＝y乙、y甲＞y乙、y甲＜y乙得出x的取值范围，得出答案即可．（1）由题意，得，．（2）①当时，，解得，当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．②当时，，解得；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；③当时，，解得．当（为整数）时，甲旅行社更优惠．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．14．（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．由题意得，，解得，答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元，由题意得，，由题意得，解得，因为随的增大而增大，所以当时取得最小值．答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．15．（2022·河南周口·八年级期末）2022年在北京举行的第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”和第13届冬残奥会吉祥物“雪容融”备受广大人民的喜爱，一时撤起了追捧吉祥物的热潮．某商店为了满足广大人民的需要预计购进两种吉祥物100个．经预算，全部出售后，可获得利润不低于680元，不高于685元．设全部售出后的总利润为y元，购进“冰墩墩”x个．两种吉祥物的成本和售价如表：(1)求y与x的函数关系式：(2)求该商店本次购买两种吉祥物共有几种方案？哪种方案的总利润最大？【答案】(1)y=2x+600(2)共有三种方案：①购进“冰墩墩”吉祥物40个，“雪容融”吉祥物60个；②购进“冰墩墩”吉祥物41个，“雪容融”吉祥物59个；③购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个；当购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个，才能使总利润最大，最大利润是684元．【分析】（1）根据“总利润=销售总额-总成本”列出函数关系式即可；（2）设生产“冰墩墩”吉祥物x个，则“雪容融”吉祥物（100-x）个，由题意列出不等式组求解，分别求出（2）中购买方案的总利润，再进行比较即可得到答案．（1）解：全部售出的总利润为y元，购进“冰墩墩”吉祥物x个，则购进“雪容融”吉祥物（100-x）个， ∴；（2）解：∵利润不低于680元，不高于685元，∴，∴（x是整数），∴x=40，41，42，则100-x=60，59，58共有三种方案：购进“冰墩墩”吉祥物40个，“雪容融”吉祥物60个；购进“冰墩墩”吉祥物41个，“雪容融”吉祥物59个；购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个；若进“冰墩墩”吉祥物40个，则y=600+2×40=680（元）；若进“冰墩墩”吉祥物41个，则y=600+2×41=682（元）；若进“冰墩墩”吉祥物42个，则y=600+2×42=684（元）．∵684＞682＞680，∴购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个，才能使总利润最大，最大利润是684元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．16．（2022·新疆克拉玛依·八年级期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台．已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．(1)设市运往市机器台，求总运费元关于的函数关系式．(2)若要求总运费不超过元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【答案】(1)(2)有三种调运方案(3)最低费用是元，此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台【分析】（1）从市运往市台，则运费为，还需从市往市运送台，运费为，那么从市运往市台，运费为，从市运往市台，运费为，从而得到总运费关于的函数关系式；（2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求的范围．（3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数，越小，越小，为使总运费最低，应取最小值．（1）由题意可知： 由此．（2）由题意得，．又市可支援外地台，．综上，可取，，，有三种调运方案；（3），且随的值增大而增大，当时，的值最小，最小值是元．此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，解题的关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．17．（2022·吉林白城·八年级期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援：当我省疫情严重时，急需大量医疗防护物资，现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t，现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t，现C市需要物资240t，D市需要物资260t．请回答下列问题：(1)若设从A城往C市运xt完成下表（写化简后的式子）．(2)求调运物资总运费y与x之间的函数关系式，写出自变量取值范围．（运费＝调运物资的重量×每吨运费）(3)求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？【答案】(1)200－x；240－x；60+x(2)y＝4x+10040（0≤x≤200）(3)当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．【分析】（1）根据出发地和目的地放入数值，分别表示出A、B到C、D的运送量；（2）根据总费用等于各部分费用之和列出函数解析式；（3）根据函数的增减性确定函数的最小值得出结果．（1）解：（1）A城有医疗防护物资200t，运往C市x吨，则剩下的运往D市（200-x）吨，D市一共需要260吨，则还需要B城运送260-（200-x）=( x+60)吨，B城需要运送到C市（240-x）吨，故答案为：（2）根据题意，y＝20x+25（200－x）+15（240－x）+24（60+x）＝4x+10040（0≤x≤200）（3）∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值：4×0+10040=10040；当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，解决问题的关键是列出函数解析式，利用函数的增减性得出极值．18．（2022·云南保山·八年级期末）保山市特产较多，其中龙陵紫皮石斛俗称“黄草”，别名“吊兰花”、“紫草”，和保山潞江小粒咖啡比较有特色，某特产专卖店经营这两种特产，其中紫皮石斛每千克成本价为1500元，销售价为1700元；小粒咖啡每千克成本价为50元，销售价为66元．由于受疫情影响，该特产专卖店每月这两种特产的销售量之和都是100千克，且紫皮石斛的销售量不超过50千克．(1)若该特产专卖店某月销售这两种特产的总成本为34000元，问这个月该特产专卖店分别销售这两种特产各多少吨？(2)求该特产专卖店一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【答案】(1)这个月该特产专卖店销售石斛特产0.02吨，小粒咖啡特产0.08吨．(2)所以当时，该特产专卖店一个月获得的总利润最大，最大值为10800元．【分析】（1）设这个月该特产专卖店销售石斛特产x千克，则销售小粒咖啡特产千克，再根据两种特产的总成本为34000元建立方程，解方程即可得到答案；（2）设一个月销售石斛特产m千克，则销售小粒咖啡特产千克，所获利润为元，根据题意得，根据一次函数的性质即可得到答案．（1）设这个月该特产专卖店销售石斛特产x千克，则销售小粒咖啡特产千克，依题意，得，解得，则， ∴这个月该特产专卖店销售石斛特产0.02吨，小粒咖啡特产0.08吨．（2）设一个月销售石斛特产m千克，则销售小粒咖啡特产千克，所获利润为元，且，则该公司一个月获得的总利润，因为，所以随着的增大而增大．又因为，所以当时，该特产专卖店一个月获得的总利润最大，最大值为10800元．【点睛】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是根据题意建立一元一次方程和一次函数．19．（2022·重庆永川·八年级期末）某商场为了抓住热销衬衫的契机，决定用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫件，B种品牌的衬衫件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示．(1)用含、的代数式表示购进C种品牌的衬衫的件数；(2)求与之间的函数关系式；(3)设所购进的这三种品牌的衬衫能全部卖出，且在购销该品牌衬衫的过程中需要另外支出各种费用共2000元．① 求利润P（元）与（件）之间的函数关系式；② 求最大利润，并写出此时购进三种品牌的衬衫各多少件．【答案】(1)购进C种品牌的衬衫件数为：500--(2)(3)①P=150+43000；②最大利润为77950元，此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件【分析】（1）根据购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫x件，B种品牌的衬衫y件，即可得；（2）根据进价表格，利用用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，即可得；（3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可得；②首先求出x的取值范围，利用一次函数的性质即可得．（1）解：购进C种品牌的衬衫件数为：．（2）解：由题意得：，化简整理得：．（3）解：①，又∵，整理得：； ②购进C种品牌的衬衫件数为：，根据题意列不等式组：解得，，且为整数，∴的最大值是233， ∵在中，＞0，∴P随的增大而增大，∴当取最大值233时，P有最大值为77950元．， 此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件．【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是掌握这些知识点．20．（2022·四川广元·八年级期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，甲种空气净化器每台利润为300元，乙种空气净化器每台利润为500元．设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元．(1)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围）(2)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大？最大总利润是多少？【答案】(1)(2)当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元【分析】（1）根据两种型号的利润和等于总利润，即可得出w关于x的函数解析式；（2）根据一次函数的性质，即可求解．（1）解：根据题意，可得：购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元，∴可得．（2）解：∵购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，又∵乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，∴，∴，∵，∵，∴w随x的增大而减小，∴当时，w的值最大，最大值为（元）．答：当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键在列出表示利润和台数的之间的解析式． 甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分3.8元/棵超过2000棵的部分3.6元/棵公司器材租赁费（单位：元）人工费用（单位：元/平方米）A00.5B400.3C2980甲乙进价（元/袋）m售价（元/袋）2013养殖场目的地AB甲2518乙2024车型运费运往甲地/（元/辆）运往乙地/（元/辆）大货车720800小货车500650目的地生产厂AB甲2520乙1524甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费方式一计费/元58______108______方拾二计费/元888888______目的地车型A地（元／辆）B地（元／辆）大货车8001000小货车500600类别冰墩墩雪容融成本（元/个）4840售价（元/个）5646调入地调出地 CD总计Ax200B300总计240260500调入地调出地 CD总计Ax200－x200B240－x60+x300总计240260500型 号ABC进价（元／件）400550500售价（元／件）500800650
专题5.1 一次函数应用题 专项讲练一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。题型1. 行程类问题1）纵坐标表示行驶路程1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离.2）纵坐标表示两者之间的距离1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和；3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离.例1．（2022·安徽八年级期中）如图，A，B两地相距240km，甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地，乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y（km）与乙所用时间x（h）的关系如图，结合图象回答，当两人之间相距120km时，x＝____________．【答案】0.5或2或3.5．【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列方程求解．【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40÷1＝40（km/h），甲到达B地用的时间为：240÷40＝6（h），乙从B地到A地用的时间为：（6﹣1﹣1）÷2＝2h，当0≤x≤2时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax，240＝2a，得a＝120，即当0≤x≤2时，乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝120x，当2＜x≤3时，y′＝240，当3＜x≤5时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax+b，，解得， 即当3＜x≤5时，乙的行驶路程y与时间x的函数关系式是y′＝﹣120x+600；设甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝mx+n，，解得， 即甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝40x+40，当0≤x≤2时，甲乙相遇前，令（40x+40）+120x＝240﹣120，得x＝0.5，甲乙相遇后，令120x+（40x+40）＝240+120，解得，x＝2，当3＜x≤5时，令40+3×40+40（x﹣3）＝120（x﹣3）+120，解得，x＝3.5，由上可得，x为0.5或2或3.5时，两人之间相距120km．故答案为：0.5或2或3.5．【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用，正确理解题意是解题的关键．变式1．（2022·广西横县·八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程（千米）随时间（分）变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇．【答案】【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第二次在BC段，根据条件首先求出AB解析式，即得出相遇时间．【详解】解：（1）当15≤x≤33时，设yAB＝kx＋b， ∵点（15，5）（33，7）在此直线上，∴，解得，∴y＝x＋，当y＝6时，x＋＝6 x＝24，即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24．【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式．变式2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；②根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．【详解】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得：，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7），当y＝260时，260＝40x﹣20，解得：x＝7，∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论错误；当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x＋b'，由题意得：，解得，∴y＝80x﹣160．当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝，当40x﹣20＋50＝80x﹣160时，解得：x＝，∴﹣2＝，﹣2＝，所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．∴正确结论的个数是2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键．变式3．（2022•包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离文具店的路程y1、y2（单位：米）与出发时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示．（1）学校和文具店之间的路程是 米，小亮的速度是小明速度的 倍；（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？解：（1）由图象可得，学校和文具店之间的路程是360米，∵小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校，∴小亮的速度是小明速度的2倍，故答案为：360，2；（2）设小明的速度为m米/分钟，则小亮的速度为2m米/分钟，2m+2×2m＝360，解得m＝60，∴a＝2×60＝120，∴图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两人出发2min后在距离文具店120m处相遇；（3）设小明与小亮迎面相遇以后，再经过n分钟两人相距20米，小亮未到达文具店时，（60+2×60）n＝20，解得n＝；小亮从文具店返回学校时，60（2+n）﹣[（60×2）×（2+n）﹣360]＝20，解得n＝；由上可得，小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距20米．例2．（2022·安徽淮北·八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】首先求出甲乙两人的速度，a是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以得出；c是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以得出；b是甲到达终点的时间，因为此图中的t是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论．【详解】解：甲的速度为；乙的速度为；；，解得，．∴正确的有①②③．故正确结论的个数有3个，故选：D．【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题．变式1．（2022•南关区一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．解：（1）由图象可得，甲车的速度为：30÷0.5＝60（千米/时），乙车的速度为：60×2÷（2﹣0.5）＝80（千米/时），m＝2+（2﹣0.5）＝2+1.5＝3.5，故答案为：60，80，3.5；（2）当x＝3.5时，y＝1.5×（60+80）＝210，设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，∵点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上，∴，解得，即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280（2≤x≤3.5）；（3）当y＝160时，160＝140x﹣280，解得x＝，答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是小时．变式2.（2022•安徽二模）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：（1）求两名同学的速度分别是多少？（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）解：（1）两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m，A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地，一共1200m，小华用了20min，∴小华速度：1200÷20＝60 （m/min），在A点．两人相遇共走1200m，用时12min，∴两人速度和：1200÷12＝100（m/min），∴小明速度：100﹣60＝40（m/min），∴小华的速度为60m/min，小明的速度为40m/min；（2）小华到乙地时，时间是20，此时小明走20×40＝800，∴B（20，800），A（12，0），设AB解析式：y＝kx+b，把A、B坐标代入解析式，得：，解得：，∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝100x﹣1200；（3）C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，C点横坐标为1200÷40＝30，此时小华走了30×60＝1800米，相当于往回返走600米，∴C（30，600），D点：两人再次相遇，当x＝3600÷100＝36时，此时y值为0，如图所示：题型2. 图象类方案选择问题例1．（2022•深圳期中）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：① ；② ．（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．解：（1）有月租费的收费方式是①，月租费是20元；故答案为：①；20；（2）设y1＝k1x+20，y2＝k2x，由题意得：将（500，80）代入y1＝k1x+20，得，500k1+20＝80，∴k1＝0.12，∴y1＝0.12x+20，将（500，100）代入y2＝k2x，得，500k2＝100，∴k2＝0.2．∴y2＝0.2x，故所求的解析式为y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；故答案为：y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；（3）当通讯时间相同时y1＝y2，得0.2x＝0.12x+20，解得x＝250；故当通讯时间是250分钟时，两种收费方式的费用一样；（3）y2＝0.2x＝0.2×350＝70（元）；y1＝0.12x+20＝0.12×350+20＝62（元），70＞62，故使用有月租费方式更经济实惠．变式1．（2022•驻马店二模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备．（1）求两种设备的价格．（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．①y1的解析式为 ；y2的解析式为 ．②当销售量（x）满足条件 时，该公司盈利（即收入大于成本）．（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？解：（1）设A型设备每台的价格a万元，B型设备每台b万元，，解得，答：A型设备每台的价格20万元，B型设备每台10万元；（2）①设y1与x的函数关系式为y1＝kx，∵点（10，20）在该函数图象上，∴10k＝20，得k＝2，即y1与x的函数关系式为y1＝2x；设y2与x的函数关系式为y2＝cx+d，，解得，即y2与x的函数关系式为y2＝x+10；故答案为：y1＝2x，y2＝x+10；②由图象可得，当x＞10时，该公司盈利，故答案为：x＞10；（3）设购进A型设备m台，则购进B型设备（10﹣m）台，由题意可得，1.2m+0.4（10﹣m）＞10，解得m＞7.5，∵m为正整数，∴m至少是8，答：A型设备至少需要购进8台．变式2．（2022•梁园区二模）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝ ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？解：（1）∵y1图象过点（10，800），即10人的费用为800元，∴a＝×10＝4，∵y2图象过点（10，2000）和（20，3000），即20人中后10人费用为1000元，∴b＝×10＝5，故答案为：4，5；（2）设y1＝k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k1＝800，∴k1＝80，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝80x；设y2＝k2x+b，①当0≤x≤10时，∵函数图象经过点（0，0）和（10，2000），∴10k2＝2000，∴k2＝200，∴y2＝200x，②当x＞10时，∵函数图象经过点（10，2000）和（20，3000），∴，解得：，∴y2＝100x+1000；综上所述，y2与x之间的函数关系式为y2＝；（3）设共n名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为（50﹣n）人，当0＜n≤10时，200n+80 （50﹣n）≤5440，解得n＜12，∴0＜n≤10，则50＞50﹣n≥40；当n＞10时，100n+1000+80×（50﹣n）≤5440，解得n≤22，∴10＜n≤22，∴40＞50﹣n≥28综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．例2．（2022·山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？【答案】（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．分析: （1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用； （2）根据分段函数的表示法，甲林场分或两种情况 .乙林场分或两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出甲、乙与之间的函数关系式； （3）分类讨论，当，时，时，表示出甲、乙的关系式，就可以求出结论．【解析】（1）由题意，得．甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，乙=4×1500=6000元；故答案为5900，6000；（2）当时，甲 时．甲 ∴甲(取整数).当时，乙当时，乙 ∴乙(取整数).（3）由题意，得 当时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．当时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当时，到甲林场优惠；当时，甲乙 当甲=乙时 解得： ∴当时，到两家林场购买的费用一样；当甲<乙时， 时，到甲林场购买合算；当甲>乙时， 解得： ∴当时，到乙林场购买合算．综上所述，当或时，两家林场购买一样，当时，到甲林场购买合算；当时，到乙林场购买合算．变式1．（2022·湖北江汉·八年级期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下：（1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是 ， ．若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ．（2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围．【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；（2）300≤a≤332．【分析】（1）根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人工费用每平方米0.3元，则y2＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推．（2）已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解．【详解】解：（1）由题意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40，若选择公司A最省钱，则有 ，解得x≤200，∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200；若选择公司B最省钱，则有，解得200≤x≤860；∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860；若选择公司C最省钱，则有 ，解得x≥860，∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000．故答案为：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000．（2）根据题意可得，推出优惠活动后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a，则有， 解得300≤a≤332．∴此时a的取值范围为：300≤a≤332．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键．变式2．（2022·河南·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．题型3 最优方案问题解题步骤：1.将需求最值对象表示成一次函数；2.利用题中条件求出自变量的取值范围；3.利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。例1．（2022•新城区校级期末）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．解：（1）设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元，由题意得：，解得：，答：A，B两种书的进价分别为56元，30元；（2）设购进A种书a本，购进B种书（100﹣a）本，获利为w元，由题意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，∵a≥3（100﹣a），∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w随a增大而减小，∴当a＝75时，w最大，最大值为2500元，此时100﹣a＝100﹣75＝25（本）．答：购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元．变式1．（2022·成都西川中学九年级月考）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值．（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【详解】（1）依题意得：解得：，经检验是原分式方程的解．（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得，，解得：，∵x是正整数，，∴共有7种方案．（3）设总利润为W，则①当时，，W随x的增大而增大，所以，当时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋；②当时，，（2）中所有方案获利都一样；③当时，，W随x的增大而减小，所以，当时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．变式2．（2022•南阳模拟）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．解：（1）设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 （2m﹣400）只肥羊，根据题意得：m+2m﹣400＝2000，解得：m＝800．答：A养殖场出栏800只肥羊，B养殖场出栏1200只肥羊；（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地（800﹣x）只，从B养殖场运往甲地（1300﹣x）只，从B养殖场运往乙地 （x﹣100）只，根据题意得：y＝25x+20（800﹣x）+18（1300﹣x）+24（×﹣100）＝11x+37000，∵11＞0，∴y随x的增大而增大，∵100≤x≤700，∴x＝100时，y最小，答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1200只，此时费用最少；（3）总运费z＝100（25﹣x）+700（20﹣a）+1200（18﹣a）＝﹣2000a+38100，由题意得：，解得：4.05≤a≤18，且a为整数，∴a的最小值为5．例2．（2022•潼南区期末）洪水无情，人有情，依靠政府战灾情．202特大洪水虽然给我区人民造成极大损失，但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林坝某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的萝卜不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．解：（1）设大货车用x辆，则小货车用y辆，根据题意得：，解得，答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w＝720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]，＝70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）14a+8（10﹣a）≥96，解得a≥，又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8 且为整数．∵w＝70a+11400，k＝70＞0，w随a的增大而增大，∴当a＝3时，W最小，最小值为：W＝70×3+11400＝11610（元）．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．变式1．（2022•枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，由题意可得，，解得，答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨；（2）由题意可得，y＝25x+20（500﹣x）+15（420﹣x）+24[380﹣（500﹣x）]＝14x+13420（120≤x≤420），∵k＝14＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0，答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；（3）由题意可得，y＝14x+13420﹣mx＝（14﹣m）x+13420，当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大．∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×120+13420≥14020，解得m≤9，∴0＜m≤9；当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去；当14＜m≤15时，14﹣m＜0，y随x的增大而减少，∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×420+13420≥14020，解得m≤12（舍去），由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．变式2．（2022·成都市八年级课时练习）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求：①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师．根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______．（2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即．将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得_________．为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________．在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由．【答案】（1）6；6；6；（2）；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；（2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6−x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．【详解】解：（1）∵（234＋6）÷45＝5（辆）…15（人），∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；∵只有6名教师，∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；故填： 6，6，6．（2）设租用x辆甲种客车，租乙种客车辆，则租车费用y是x的函数，即，由题意得：，解得：4≤x≤，∵x为整数，∴x＝4，或x＝5，∵租车的总费用为，且120＞0，∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元，故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．课后专项训练1.（2022·湖北武汉·八年级期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的距离（单位：km）与所用时间（单位：min）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（ ）A．9min B．10min C．11min D．12min【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可．【详解】解：设甲乙两地的距离为S km，则甲车的速度为km/min，乙车的速度为km/min，甲、乙两车在途中第一次相遇的时间为：=9（min），设甲、乙两车在途中第二次相遇的时间为a min，则（a-12）=a，解得a=18，18-9=9（min），即甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为9min，故选：A．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（2022·湖北湖北·八年级期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当x=2时的纵坐标，然后再除以2即可．【详解】解：从图像可以知2至5时的函数图像经过(4，1600)，(5，2100)设该时段的一次函数解析式为y=kx+b(x≥2)，依题意，将点(4，1600)，(5，2100)分别代入，可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：y=500x-400∴当x=2时，解得y=600．∴前两小时每小时完成的绿化面积是600÷2=300(m2) ．故选D．【点睛】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图像的关系．运用待定系数法求得一次函数的解析式是解答本题的关键．3．（2022·四川·广汉市金轮第一中学九年级期末）和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度与刹车时间与之间满足关系式．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度与路程s、时间t的关系为：动车要准确停站，应在距离站台停止线______千米开始刹车．【答案】10【分析】根据题意求得刹车时的速度，以及刹车到停止的时间间隔，再求得平均速度，代入函数关系式即可求解．【详解】解：∵速度与刹车时间与之间满足关系式，均速度与路程s、时间t的关系为：∴，解得当时， 当时，，当时故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意求得平均速度是解题的关键．4．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．【答案】【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，，解得，，∴当，，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，解得，，∴当时，，把代入中，得，把代入中，得，则（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．5．（2022·河南许昌·八年级期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．【答案】3【分析】待定系数法求出x≥2时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．【详解】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b，将（2，7）、（7，15）代入，得：，解得：，∴y=x+，当x=22时，y=×22+=39，即新车的打车费用为39（元），老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），39-36=3（元）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．6．（2022·湖北鄂州·八年级期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是_____．【答案】##【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到的值．【详解】解：由图象可得，甲的速度为（米秒），乙的速度为：（米秒），则，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出甲、乙的速度．7．（2022·山东青岛·八年级期末）甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为______小时．【答案】4或【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．【详解】解：设线段CD解析式为y＝kx＋b，将C（1，0），D（7，450）代入得：，解得，∴线段CD的解析式为y＝75x−75（1≤x≤7），∵线段OA过点（5，150），∴线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），设线段AB的解析式为y＝mx＋n，将（5，150），（8，450）代入得：，解得，∴线段AB的解析式为y＝100x−350（5≤x≤8）；由（75x−75）−30x＝105，解得：x＝4，由（75x−75）−（100x−350）＝105，解得：x＝，综上所述，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为4或小时，故答案为：4或．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法并求出函数关系式．8．（2022·安徽·宣城市宣州区卫东学校七年级期中）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：(1)用含有t的式子填写下表：(2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等？(3)当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．【答案】(1)，，(2)270(3)选择方式二划算【分析】（1）由月使用费＋主叫超时费即可表式；（2）由（1）得到的代数式，当时，，得到一个取值范围，再列方程即可求解；（3）由方式一收费－方式二收费得到，再由即可做出判断；（1）①当时，方式一收费：；②当时，方式一收费：；③方式二当时收费：．（2）∵当时，，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在取得．∴列方程，解得．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．①当时，方式一收费－方式二收费，当时，，即可得方式二更划算．②当时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当时，方式一收费，此时收费>103，故此时选择方式二划算．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式综合，正确理解数量关系列出代数式是解题的关键．9．（2022·陕西汉中·八年级期末）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：甲商场：所有商品均打九折（按标价的）销售；乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：(1)分别写出，与之间的关系式．(2)若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．(3)若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？【答案】(1)，(2)(3)元【分析】（1）根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．（2）根据（1）的结论列不等式即可解决．（3）采用混合购买的方法解决问题．（1）由题意得：．．（2）当时，，得．当时，在甲超市划算．（3）设在乙超市买副拍，送只羽毛球，则在甲超市买副拍，买个羽毛球，设总费用元，则： ，，随的增大而减小，当时，最小，（元）．购买费用最少为元．【点睛】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考常考题型．10．（2022·湖北襄阳·八年级期末）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、小货车共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．【答案】(1)大货车有14辆，小货车有6辆(2)且x为整数）(3)使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．（1）设大货车有辆，则小货车有辆，根据题意得，解得：，答：大货车有14辆，小货车有6辆；（2）由题意得：且x为整数）．（3）由，解得．则且为整数．，，y随的增大而减小，当时，最小值．答：使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，理解题意，能列出总费用y与x的函数关系式是解题的关键．11．（2022·福建厦门·八年级期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村生产的龙眼重量为300吨．现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为元和元(1)当x为何值时，A村和B村的运输费用相等；(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．【答案】(1)当x＝40时，两村费用相等；(2)从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【分析】（1）由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，故运往D仓库为（200﹣x）吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，由从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式分别求得、与x之间的函数关系式；令=时，x＝40，即可解答；（2）由B村的龙眼运费不得超过4830元得出不等式，求出自变量的取值范围，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，利用一次函数的性质求得最值．（1）解：由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）＝（60+x）吨，∴＝20x+25（200﹣x）＝5000﹣5x，＝15（240﹣x）+18（60+x）＝3x+4680，令＝时，5000﹣5x＝3x+4680，解得：x＝40，∴当x＝40时，两村费用相等；（2）由≤4830，得3x+4680≤4830，解得x≤50，设A、B两村运费之和为y，则y＝+＝5000﹣5x+3x+4680＝﹣2x+9680，∵﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，又0≤x≤50，∴当x＝50时，y有最小值，最小值是y＝﹣2×50+9680＝9580（元），200﹣50＝150，240﹣50＝190，60+50＝110．答：从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．12．（2022·江西抚州·八年级期中）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A、B两种型号足球共100个．(1)若该校购买A、B两种型号足球共用了22000元，求购买两种型号足球各多少个？(2)若该校计划购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，请问最多能买多少个A型足球？(3)在（2）的条件下请求出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)A型60个，B型40个(2)90个(3)购买A型号足球90个，B型号足球10个，理由见解析【分析】（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个，根据总价=单价×数量，结合22000元购买A，B两种型号足球共100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，可得出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围即可得出答案；（3）设购买A型号足球m个，总费用为w元，则购买B型号足球（100-m）个，根据总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个.依题意，得，解得.答：购买A型号足球60个，B型号足球40个 ；（2）设购买A型号足球m个，则购买B型号足球个，∵购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，；（3）设总费用为w元，依题意，得，∵k=-50<0， 随m的增大而减小，当时，取得最小值，最省钱的购买方案为购买A型号足球90个，B型号足球10个．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．13．（2022·河北石家庄·八年级期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【答案】(1)，(2)学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；（为整数）时，乙旅行社更优惠；（为整数）时，甲旅行社更优惠【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费与学生人数的关系式即可；（2）分别利用y甲＝y乙、y甲＞y乙、y甲＜y乙得出x的取值范围，得出答案即可．（1）由题意，得，．（2）①当时，，解得，当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．②当时，，解得；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；③当时，，解得．当（为整数）时，甲旅行社更优惠．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．14．（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．由题意得，，解得，答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元，由题意得，，由题意得，解得，因为随的增大而增大，所以当时取得最小值．答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．15．（2022·河南周口·八年级期末）2022年在北京举行的第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”和第13届冬残奥会吉祥物“雪容融”备受广大人民的喜爱，一时撤起了追捧吉祥物的热潮．某商店为了满足广大人民的需要预计购进两种吉祥物100个．经预算，全部出售后，可获得利润不低于680元，不高于685元．设全部售出后的总利润为y元，购进“冰墩墩”x个．两种吉祥物的成本和售价如表：(1)求y与x的函数关系式：(2)求该商店本次购买两种吉祥物共有几种方案？哪种方案的总利润最大？【答案】(1)y=2x+600(2)共有三种方案：①购进“冰墩墩”吉祥物40个，“雪容融”吉祥物60个；②购进“冰墩墩”吉祥物41个，“雪容融”吉祥物59个；③购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个；当购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个，才能使总利润最大，最大利润是684元．【分析】（1）根据“总利润=销售总额-总成本”列出函数关系式即可；（2）设生产“冰墩墩”吉祥物x个，则“雪容融”吉祥物（100-x）个，由题意列出不等式组求解，分别求出（2）中购买方案的总利润，再进行比较即可得到答案．（1）解：全部售出的总利润为y元，购进“冰墩墩”吉祥物x个，则购进“雪容融”吉祥物（100-x）个， ∴；（2）解：∵利润不低于680元，不高于685元，∴，∴（x是整数），∴x=40，41，42，则100-x=60，59，58共有三种方案：购进“冰墩墩”吉祥物40个，“雪容融”吉祥物60个；购进“冰墩墩”吉祥物41个，“雪容融”吉祥物59个；购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个；若进“冰墩墩”吉祥物40个，则y=600+2×40=680（元）；若进“冰墩墩”吉祥物41个，则y=600+2×41=682（元）；若进“冰墩墩”吉祥物42个，则y=600+2×42=684（元）．∵684＞682＞680，∴购进“冰墩墩”吉祥物42个，“雪容融”吉祥物58个，才能使总利润最大，最大利润是684元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．16．（2022·新疆克拉玛依·八年级期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台．已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．(1)设市运往市机器台，求总运费元关于的函数关系式．(2)若要求总运费不超过元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【答案】(1)(2)有三种调运方案(3)最低费用是元，此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台【分析】（1）从市运往市台，则运费为，还需从市往市运送台，运费为，那么从市运往市台，运费为，从市运往市台，运费为，从而得到总运费关于的函数关系式；（2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求的范围．（3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数，越小，越小，为使总运费最低，应取最小值．（1）由题意可知： 由此．（2）由题意得，．又市可支援外地台，．综上，可取，，，有三种调运方案；（3），且随的值增大而增大，当时，的值最小，最小值是元．此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，解题的关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．17．（2022·吉林白城·八年级期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援：当我省疫情严重时，急需大量医疗防护物资，现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t，现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t，现C市需要物资240t，D市需要物资260t．请回答下列问题：(1)若设从A城往C市运xt完成下表（写化简后的式子）．(2)求调运物资总运费y与x之间的函数关系式，写出自变量取值范围．（运费＝调运物资的重量×每吨运费）(3)求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？【答案】(1)200－x；240－x；60+x(2)y＝4x+10040（0≤x≤200）(3)当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．【分析】（1）根据出发地和目的地放入数值，分别表示出A、B到C、D的运送量；（2）根据总费用等于各部分费用之和列出函数解析式；（3）根据函数的增减性确定函数的最小值得出结果．（1）解：（1）A城有医疗防护物资200t，运往C市x吨，则剩下的运往D市（200-x）吨，D市一共需要260吨，则还需要B城运送260-（200-x）=( x+60)吨，B城需要运送到C市（240-x）吨，故答案为：（2）根据题意，y＝20x+25（200－x）+15（240－x）+24（60+x）＝4x+10040（0≤x≤200）（3）∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值：4×0+10040=10040；当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，解决问题的关键是列出函数解析式，利用函数的增减性得出极值．18．（2022·云南保山·八年级期末）保山市特产较多，其中龙陵紫皮石斛俗称“黄草”，别名“吊兰花”、“紫草”，和保山潞江小粒咖啡比较有特色，某特产专卖店经营这两种特产，其中紫皮石斛每千克成本价为1500元，销售价为1700元；小粒咖啡每千克成本价为50元，销售价为66元．由于受疫情影响，该特产专卖店每月这两种特产的销售量之和都是100千克，且紫皮石斛的销售量不超过50千克．(1)若该特产专卖店某月销售这两种特产的总成本为34000元，问这个月该特产专卖店分别销售这两种特产各多少吨？(2)求该特产专卖店一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【答案】(1)这个月该特产专卖店销售石斛特产0.02吨，小粒咖啡特产0.08吨．(2)所以当时，该特产专卖店一个月获得的总利润最大，最大值为10800元．【分析】（1）设这个月该特产专卖店销售石斛特产x千克，则销售小粒咖啡特产千克，再根据两种特产的总成本为34000元建立方程，解方程即可得到答案；（2）设一个月销售石斛特产m千克，则销售小粒咖啡特产千克，所获利润为元，根据题意得，根据一次函数的性质即可得到答案．（1）设这个月该特产专卖店销售石斛特产x千克，则销售小粒咖啡特产千克，依题意，得，解得，则， ∴这个月该特产专卖店销售石斛特产0.02吨，小粒咖啡特产0.08吨．（2）设一个月销售石斛特产m千克，则销售小粒咖啡特产千克，所获利润为元，且，则该公司一个月获得的总利润，因为，所以随着的增大而增大．又因为，所以当时，该特产专卖店一个月获得的总利润最大，最大值为10800元．【点睛】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是根据题意建立一元一次方程和一次函数．19．（2022·重庆永川·八年级期末）某商场为了抓住热销衬衫的契机，决定用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫件，B种品牌的衬衫件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示．(1)用含、的代数式表示购进C种品牌的衬衫的件数；(2)求与之间的函数关系式；(3)设所购进的这三种品牌的衬衫能全部卖出，且在购销该品牌衬衫的过程中需要另外支出各种费用共2000元．① 求利润P（元）与（件）之间的函数关系式；② 求最大利润，并写出此时购进三种品牌的衬衫各多少件．【答案】(1)购进C种品牌的衬衫件数为：500--(2)(3)①P=150+43000；②最大利润为77950元，此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件【分析】（1）根据购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫x件，B种品牌的衬衫y件，即可得；（2）根据进价表格，利用用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，即可得；（3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可得；②首先求出x的取值范围，利用一次函数的性质即可得．（1）解：购进C种品牌的衬衫件数为：．（2）解：由题意得：，化简整理得：．（3）解：①，又∵，整理得：； ②购进C种品牌的衬衫件数为：，根据题意列不等式组：解得，，且为整数，∴的最大值是233， ∵在中，＞0，∴P随的增大而增大，∴当取最大值233时，P有最大值为77950元．， 此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件．【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是掌握这些知识点．20．（2022·四川广元·八年级期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，甲种空气净化器每台利润为300元，乙种空气净化器每台利润为500元．设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元．(1)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围）(2)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大？最大总利润是多少？【答案】(1)(2)当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元【分析】（1）根据两种型号的利润和等于总利润，即可得出w关于x的函数解析式；（2）根据一次函数的性质，即可求解．（1）解：根据题意，可得：购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元，∴可得．（2）解：∵购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，又∵乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，∴，∴，∵，∵，∴w随x的增大而减小，∴当时，w的值最大，最大值为（元）．答：当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键在列出表示利润和台数的之间的解析式． 甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分3.8元/棵超过2000棵的部分3.6元/棵公司器材租赁费（单位：元）人工费用（单位：元/平方米）A00.5B400.3C2980甲乙进价（元/袋）m售价（元/袋）2013养殖场目的地AB甲2518乙2024车型运费运往甲地/（元/辆）运往乙地/（元/辆）大货车720800小货车500650目的地生产厂AB甲2520乙1524甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费方式一计费/元58______108______方拾二计费/元888888______目的地车型A地（元／辆）B地（元／辆）大货车8001000小货车500600类别冰墩墩雪容融成本（元/个）4840售价（元/个）5646调入地调出地 CD总计Ax200B300总计240260500调入地调出地 CD总计Ax200－x200B240－x60+x300总计240260500型 号ABC进价（元／件）400550500售价（元／件）500800650
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