【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题02　数列测试卷(二)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题02　数列测试卷(二)（教师版），共5页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．若三个连续整数的和是48，则在它们后面的三个连续整数的和是( )
A．48 B．51 C．54 D．57
D 【解析】 后三个连续整数之和为48＋3×3＝57.
2．在数列①1，1，1，…；②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，…；③－1，1，－1，…；④4，5，6，…中，是等差数列的是( )
A．①与② B．②与③ C．③与④ D．①与④
D 【解析】 根据等差数列的定义知只有①④为等差数列．
3．已知数列eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，…下列各式不是它的通项的是( )
A．an＝eq \f(n,n＋1)(n∈N*) B．an＝eq \f(n＋1,n＋3)(n∈N*)
C．an＝1－eq \f(1,n＋1)(n∈N*) D．a1＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(n,n＋1)(n≥2，n∈N*)
B 【解析】 将n＝1、2…代入选项A、B、C、D，只有B符合题意，故选B.
4．等差数列－3，1，5，…的第15项的值是( )
A．40 B．53 C．63 D．76
B 【解析】 由题意可知此等差数列的首项a1＝－3，公差d＝4，则an＝4n－7，a15＝53，故答案选B.
5．若数列{an}满足a1＝1，Sn＝n，则a2012＝( )
A．1 B．2011 C．2012 D．2013
A 【解析】 ∵Sn＝n，∴a2012＝S2012－S2011＝2012－2011＝1.
6．已知等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝( )
A．100 B．210 C．380 D．400
B 【解析】 ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝a1＋d＝7,a4＝a1＋3d＝15))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝3,d＝4))，∴S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝210.
7．设数列{an}的前n项和Sn＝5n－a(a为常数)，若{an}为等比数列，则a＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．2
A 【解析】 ∵Sn＝5n－a，∴an＝Sn－Sn－1＝5n－a－(5n－1－a)＝4×5n－1，∴a1＝4，q＝5，∴Sn＝eq \f(4×（1－5n）,1－5)＝5n－1，∴a＝1.
8．设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的前n项和Sn＝2n，则a4＝( )
A．2 B．4 C．8 D．16
C 【解析】 ∵Sn＝2n，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝24＝16，S3＝a1＋a2＋a3＝23＝8，又∵S4－S3＝a4，∴a4＝8，故选C.
9．若数列的前n项和Sn＝2n2＋3n，则a4＋a5＋a6＝( )
A．54 B．15 C．63 D．32
C 【解析】 a4＋a5＋a6＝S6－S3＝2×62＋3×6－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×32＋3×3))＝63.
10．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝( )
A．40 B．42 C．43 D．45
B 【解析】 ∵a2＋a3＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝6＋36＝42.
11．200是等差数列2，5，8，…的第多少项？( )
A．66 B．67 C．68 D．69
B 【解析】 由an＝2＋(n－1)×3＝200，得n＝67，故选B.
12．在等比数列中，若a4·a7＋a5·a6＝20，则此数列前10项的积为( )
A．50 B．2010 C．105 D．1010
C 【解析】 ∵a4·a7＝a5·a6且a4·a7＋a5·a6＝20 ∴a4·a7＝a5·a6＝10，又由等比数列性质得a1·a2·…·a10＝105.
13．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，Sn为前n项和，且已知S2＝3，S3＝6，则公差为( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
C 【解析】 因为Sn＝na1＋eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1)),2)d，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝2a1＋d,6＝3a1＋3d))，∴d＝1.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－n2，则a5的值为( )
A．－9 B．－6 C．－3 D．0
A 【解析】 a5＝S5－S4＝2－52－(2－42)＝－9.
15．数列2，a，8成等比数列，b，3，6成等差数列，则a·b＝( )
A．0 B．4 C．8 D．16
A 【解析】 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2×8,b＋6＝3×2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝±4,b＝0))，故a·b＝0.
16．在等比数列{an}中，公比为2，则eq \f(2a3＋a4,2a1＋a2)＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
B 【解析】 a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，2a3＋a4＝16a1，a2＝a1q＝2a1，2a1＋a2＝4a1，eq \f(2a3＋a4,2a1＋a2)＝eq \f(16a1,4a1)＝4，故选B.
17．设等比数列{an}的前n项和Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝( )
A．70eq \r(7) B．150 C．200 D．均不对
B 【解析】 显然公比q≠1，∴S10＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)，S30＝eq \f(a1（1－q30）,1－q)＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)(1＋q10＋q20)
S30＝S10(1＋q10＋q20)，∴10×(1＋q10＋q20)＝70，∴q10＝2，q10＝－3(舍去)，S40＝eq \f(a1（1－q40）,1－q)＝eq \f(a1（1－q10）（1＋q10）（1＋q20）,1－q)＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)×(1＋q10)(1＋q20)＝S10×(1＋q10)(1＋q20)＝150.
18．首项为－24的等差数列，从第10项开始的各项为正数，则公差的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,3) B．d<3 C.eq \f(8,3)≤d<3 D.eq \f(8,3)D 【解析】 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a10＞0,a9≤0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋9d＝－24＋9d＞0,a1＋8d＝－24＋8d≤0))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＞\f(8,3),d≤3))，∴eq \f(8,3)＜d≤3.
19．一场通过网络发起的旨在倡导节约粮食的“光盘行动”引发热烈响应，1月23日，光盘行动微博转发超3000万次，若每天以30%的增速转发，则1月25日将突破( )
A．3900万次 B．4800万次 C．5070万次 D．6591万次
C 【解析】 y＝3000(1＋0.3)2＝5070.
20．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2041，…，则72011的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
B 【解析】 观察各项最后一位得到一数列7，9，3，1，7，9，3，1，7… ∵2011＝4×502＋3，∴72011最后一位是3，排除A、C、D.
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21.eq \r(2)－1与eq \r(2)＋1的等比中项是__________．
±1 【解析】 由等比数列公式c＝±eq \r(ab)＝±eq \r(（\r(2)－1）×（\r(2)＋1）)＝±1.
22．如果a≠b，且a、x1、x2、b和a、y1、y2、y3、b都是等差数列，则eq \f(x1－x2,y1－y2)＝________．
eq \f(4,3) 【解析】 由a≠b，且a、x1、x2、b和a、y1、y2、y3、b都是等差数列，故设其公差分别为d1，d2，则a＋3d1＝b，a＋4d2＝b，得d1＝eq \f(b－a,3)，d2＝eq \f(b－a,4).∴eq \f(x1－x2,y1－y2)＝eq \f(d1,d2)＝eq \f(\f(b－a,3),\f(b－a,4))＝eq \f(4,3).
23．在等比数列{an}中，已知q＞0，a4＝4，a6＝16，则a7＝________．
32 【解析】 eq \f(a6,a4)＝q2＝4，又q＞0得q＝2，a7＝a6·q＝32.
24．某产品，计划每年成本降低q%，那么三年后的成本是a元，则现在的成本是________．
eq \f(a,（1－q%）3) 【解析】 设现成本为x元，则x·(1－q%)3＝a，∴x＝eq \f(a,（1－q%）3).
设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1·a5＝eq \f(1,2)，则a2·aeq \\al(2,3)·a4＝________．
eq \f(1,4) 【解析】 a1·a5＝a2·a4＝aeq \\al(2,3)＝eq \f(1,2)⇒a2·aeq \\al(2,3)·a4＝eq \f(1,4).
26．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中an＋1＝an＋eq \f(1,3)，且a1＝2，则a100＝____________．
35 【解析】 由an＋1＝an＋eq \f(1,3)，得an＋1－an＝eq \f(1,3)，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是以首项为2，公差为eq \f(1,3)的等差数列，所以由an＝a1＋(n－1)d，∴a100＝2＋(100－1)×eq \f(1,3)，得a100＝35.
27．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an＝2n－31，则数列前20项和S20＝____________．
－200 【解析】 (1)∵an－an－1＝(2n－31)－[2(n－1)－31]＝2，(n≥2)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是公差为2的等差数列．∴S20＝eq \f(20（a1＋a20）,2)＝10×(－29＋9)＝－200.
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(7分)在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a1＝－56，an＋1＝an＋12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(n≥1))).
(1)求通项公式an；
(2)当n是多少时，前n项和Sn最小，最小值是多少？
【解】 (1)由题知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是以－56为首项，12为公差的等差数列．
所以an＝－56＋(n－1)×12＝12n－68；
(2)an＝12n－68≤0，n≤eq \f(68,12)≈5.6，所以n＝5，即前5项和最小．(Sn)min＝S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝－160.
29.(7分)已知三个数a1，a2，a3顺次成等差数列，其和为72，且a3＝2a1，求这三个数．
【解】 由题意：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a2＝a1＋a3 （1）,a1＋a2＋a3＝72（2）,a3＝2a1 （3）))，(1)代入(2)得：a2＝24a1＋a3＝48 (4)，把(3)代入(4)得：a1＝16，a3＝32这三个数为16，24，32.
30．(8分)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和Sn＝3n2＋2n－5，求数列的通项公式，并判断该数列是否是等差数列？
【解】 当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，an＝3n2＋2n－5－[3(n－1)2＋2(n－1)－5]＝6n－1，
所以通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，n＝1,6n－1，n≥2)).
所以该数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))不是等差数列．
31．(8分)求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)．
【解】 当a≠1时，原式＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－(1＋2＋3＋…＋n)＝eq \f(a（1－an）,1－a)－eq \f(n（1＋n）,2)；
当a＝1时，原式＝n－eq \f(n（1＋n）,2)＝eq \f(n－n2,2).
32．(9分)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列S1，S2，S4的公比；
(2)若S2＝4，求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)设首项为a1，公差为d，∴S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴Seq \\al(2,2)＝S1·S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，得d＝2a1，∴数列S1，S2，S4的公比为eq \f(S2,S1)＝eq \f(4a1,a1)＝4；
(2)∵S2＝2a1＋d＝4，又d＝2a1，∴a1＝1，d＝2.数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
33．(8分)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，Sn是前n项和，若a1＝1，an＋1＝eq \f(1,3)Sn(n≥1)，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的通项公式．
【解】 ∵an＋1＝eq \f(1,3)Sn①，∴an＝eq \f(1,3)Sn－1②，①－②得：an＋1－an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Sn－Sn－1))＝eq \f(1,3)an，又an≠0，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(4,3)(n≥2)，∵a2＝eq \f(1,3)S1＝eq \f(1,3)×1＝eq \f(1,3)，当n≥2时，an＝eq \f(1,3)×(eq \f(4,3))n－2，∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1,\f(1,3)×（\f(4,3)）n－2，n≥2)).
34.(8分)已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝eq \f(an,an＋1).
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想{an}的通项公式．
【解】 (1)a2＝eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(\f(1,2),\f(1,2)＋1)＝eq \f(1,3)，a4＝eq \f(\f(1,3),\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,4)，a5＝eq \f(\f(1,4),\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5)；
(2)由(1)猜想an＝eq \f(1,n)，代入an＋1＝eq \f(an,an＋1)，得到eq \f(1,n＋1)＝eq \f(\f(1,n),\f(1,n)＋1)，等式成立，故an＝eq \f(1,n).
35．(9分)下列图形是边长为1的正方形展开的渐开线所形成的螺线(圆弧部分)，求：
第一次 第二次 第三次 第四次
第35题图
(1)此螺线前3次展开后的长度；
(2)第n次展开后的长度．
【解】 (1)由题意得：
a1＝eq \f(1,4)×2π×1＝eq \f(π,2)
a2＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π×1＋2π×2))＝eq \f(3π,2)
a3＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π×1＋2π×2＋2π×3))＝3π；
(2)an＝eq \f(1,4)×(2π×1＋2π×2＋2π×3＋…＋2π×n)
＝eq \f(2π,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋3＋…＋n))
＝eq \f(π,2)×eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2)＝eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),4)π.
36．(10分)已知等差数列{an}的公差d≠0，且满足a1＝2，a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若存在正整数n，使得Sn>60n＋800，求n的最小值．
【解】 (1)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，∵d≠0，∴d＝4，
an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
(2)当an＝4n－2时，Sn＝eq \f(n[2＋（4n－2）],2)＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，∴n的最小值为41.