【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题02　数列测试卷(一)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题02　数列测试卷(一)（教师版），共6页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．已知数列：eq \f(2,3)，－eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，－eq \f(5,6)，eq \f(6,7)，…，按此规律第7项为( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(8,9) C．－eq \f(7,8) D．－eq \f(8,9)
1．B 【解析】 数列eq \f(2,3)，－eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，－eq \f(5,6)，eq \f(6,7)，…按此规律接下来的两项为－eq \f(7,8)，eq \f(8,9)，则第7项为eq \f(8,9)，故答案为B.
2．设a，b，c∈R，则“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
B 【解析】 b2＝ac⇒a，b，c成等比数列，因为b可以为0，但a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，不能推出a，b，c是等比数列，但是a，b，c是等比数列可以推出b2＝ac.
3．下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是( )
A．0，0，0，0，… B．3，－3，3，－3，…
C.eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，… D．4，4，4，4，…
D 【解析】 由等比等差数列的性质知，一个数列同时为等差和等比数列，则这个数列必为非0常数项数列．故答案为D.
4．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a8＝8a1，d＝－2，则S8＝( )
A．－72 B．18 C．－18 D．72
A 【解析】 a8＝a1＋7d＝a1＋(－14)＝8a1⇔a1＝－2，∴S8＝8a1＋eq \f(8×7,2)×d＝8×(－2)＋(－56)＝－72.
5．已知等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，S5＝15，则a3＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B 【解析】 S5＝eq \f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝15，a3＝3.
6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，则a7＝( )
A．7 B．13 C．14 D．15
B 【解析】 ∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列，公差d＝2，首项a1＝1，∴a7＝a1＋6×2＝13，故选B.
7．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C 【解析】 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15（1）,a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30（2）))，
(2)－(1)得5d＝15⇔d＝3.
8．在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，已知a3＝3，an＋an＋1＝0，则a8＝( )
A．0 B．－3 C．3 D.eq \f(1,27)
B 【解析】 ∵a3＝3，an＋an＋1＝0，∴n为奇数时，an＝3，n为偶数时，an＝－3，∴a8＝－3，故选B.
9．在等差数列{an}中，若S9＝45，则a5＝( )
A．4 B．5 C．8 D．10
B 【解析】 因为S9＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋an))n,2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a9))×9,2)＝45，所以a1＋a9＝10＝2a5，即得a5＝5.故选B.
10．在等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，an＞0，a5a9＝9，则a7＝( )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．均不对
A 【解析】 ∵aeq \\al(2,7)＝a5a9，an＞0，∴a7＝3.
11．在等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，a1＝1，公比q＝eq \r(2)，若an＝8eq \r(2)，则n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C 【解析】 由an＝a1qn－1，a1＝1，公比q＝eq \r(2)，an＝8eq \r(2)⇒n＝8，故选C.
12．在20，50，100分别加上同一个常数后成等比数列，则等比数列的公比一定是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
D 【解析】 将常数设为x，则有(20＋x)(100＋x)＝(50＋x)2，解得x＝25，公比q＝eq \f(50＋25,20＋25)＝eq \f(5,3)，故选D.
13．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，a1＝1，an＋1－an＝n，则a4＝( )
A．2 B．4 C．7 D．8
C 【解析】 a2－a1＝1，∴a2＝2.a3－a2＝2，∴a3＝4，a4－a3＝3，∴a4＝7.
14．已知在等比数列{an}中，a1＝eq \f(9,8)，an＝eq \f(1,3)，q＝eq \f(2,3)，则项数n＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B 【解析】 an＝a1qn－1＝eq \f(9,8)·(eq \f(2,3))n－1＝eq \f(1,3)，eq \f(2n－4,3n－3)＝eq \f(1,3)，n＝4，故选B.
15．设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))前n项和Sn＝n2＋2n＋3，则a3＋a4＋a5＝( )
A．11 B．38 C．27 D．49
C 【解析】 a3＋a4＋a5＝S5－S2＝(52＋2×5＋3)－(22＋2×2＋3)＝27.
16．若等差数列{an}中，S50＝25，S100＝100，则S150＝( )
A．125 B．150 C．175 D．225
D 【解析】 易知S50，S100－S50，S150－S100也成等差数列，2(S100－S50)＝S50＋S150－S100，S150＝3(S100－S50)＝3×75＝225，故选D.
17．在等比数列{an}中，若a4＋a5＋a6＝eq \f(1,2)，a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8)，则a1＋a2＋a3＝( )
A.eq \f(1,4) B．1 C．2 D．4
C 【解析】 eq \f(a7＋a8＋a9,a4＋a5＋a6)＝q3＝eq \f(1,4)，又eq \f(a4＋a5＋a6,a1＋a2＋a3)＝q3，故a1＋a2＋a3＝eq \f(\f(1,2),\f(1,4))＝2.
18．已知a，b，c，d成等比数列，且函数y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
B 【解析】 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，，∴顶点为(1，2)∵a，b，c，d成等比数列，∴bc＝ad＝1×2＝2.
19．观察下列各数组成的“三角阵”，那么它的第18行左起的第16个数是( )
1
2 3 4
5 6 7 8 9
… … … …
A．288 B．301 C．305 D．366
19．C 【解析】 观察题中的“三角阵”可以看到从第二行起，每一行比上一行多2个数字，记第n行的数字个数为an，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是一个公差d＝2，a1＝1的等差数列，∴an＝2n－1.第n行的最后一个数即为Sn，有等差数列前n项和公式可求出Sn＝n2，则第17行最后一个数为172＝289，第18行左起的第16个数为289＋16＝305，故选C.
20．在各项均为正数的数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，对任意k，l都有ak＋l＝akal，若a6＝64，则a9＝( )
A．256 B．510 C．512 D．1024
C 【解析】 ∵64＝a6＝a3＋3＝a3a3，a3＝8，∴a9＝a6＋3＝a6a3＝64×8＝512.
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．若等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))满足an＋1＝2an＋3，其中a4＝29，则这个数列的首项是__________．
1 【解析】 an＋1＝2an＋3⇒an＋1＋3＝2an＋6⇒an＋1＋3＝2(an＋3)⇒eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋3))是等比数列．故a4＋3＝(a1＋3)·23，得a1＝1.
22．已知数列eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，…，则0.95是该数列的第__________项．
19 【解析】 0.95＝eq \f(19,20)，是该数列的第19项．
23．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝____________．
50 【解析】 设等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，由条件a2＋a5＝2a1＋5d＝4，a1＝eq \f(1,3)，可得公差d＝eq \f(2,3)，则等差数列的通项公式为an＝eq \f(1,3)＋(n－1)·eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)n－eq \f(1,3)，令an＝eq \f(2,3)n－eq \f(1,3)＝33，解得n＝50.
24．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则公比q＝________．
eq \f(3,2) 【解析】 ∵eq \f(2x＋2,x)＝eq \f(3x＋3,2x＋2)⇔(2x＋2)2＝x(3x＋3)⇔x2＋5x＋4＝0⇔x1＝－1(舍去)，x2＝－4.∴q＝eq \f(3,2).
25．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则eq \f(2a＋b,2c＋d)＝________．
.eq \f(1,4) 【解析】 ∵b＝2a，c＝4a，d＝8a，∴eq \f(2a＋b,2c＋d)＝eq \f(2a＋2a,8a＋8a)＝eq \f(1,4).
26．等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的各项均为正数，且a1a5＝4，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋lg2a4＋lg2a5＝__________．
5 【解析】 ∵a1a5＝aeq \\al(2,3)＝4，∴a3＝2，原式＝lg2a1a2a3a4a5＝lg2aeq \\al(5,3)＝5.
27．在等差数列中，a1＝25，d＝－4，前n项的和为Sn，则Sn最大值为__________．
91 【解析】 由题已知可得an＝25＋(n－1)×(－4)＝29－4n，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an>0,an＋1<0))，得eq \f(25,4)三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(7分)在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中，a2，a6是方程x2－3x＋2＝0的根，求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的通项公式．
【解】 方程x2－3x＋2＝0的根是1、2，因此当a2＝1，a6＝2时，d＝eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式是an＝a2＋(n－2)d＝1＋eq \f(1,4)(n－2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)n；
当a2＝2，a6＝1时，d＝－eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式是an＝a2＋(n－2)d＝2－eq \f(1,4)(n－2)＝eq \f(5,2)－eq \f(1,4)n.
29．(7分)已知等差数列前三项为1，4，7.
(1)判断2018是不是这个数列的项？
(2)求S20.
【解】 (1)a1＝1，d＝a2－a1＝4－1＝3，
∴an＝a1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))d＝1＋(n－1)×3
＝3n－2，2018＝3n－2，n＝673eq \f(1,3)∉N
∴2018不是这个数列的项．
(2)a20＝3×20－2＝58，S20＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋58))×20,2)＝590.
30．(8分)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(5，0≤x≤1,2f（x－1），x>1)))).
(1)求f(2)，f(5)的值；
(2)当x∈N*时，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…构成一数列，求其通项公式．
【解】 (1)f(2)＝2f(1)＝10，
f(3)＝2f(2)＝20，
f(4)＝2f(3)＝40，
f(5)＝2f(4)＝80；
(2)当x∈N*时，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…构成一数列，设an＝f(n)，则有a1＝f(1)＝5，
∵eq \f(f（x）,f（x－1）)＝2，即eq \f(an,an－1)＝2，
∴{an}是等比数列，公比q＝2，∴通项公式为an＝5×2n－1.
31．(8分)设{an}是等差数列，其中S5＝S8，a1－a2＝3，求{an}的通项公式．
【解】 设{an}的公差为d，由a1－a2＝3，得d＝－3，又S5＝S8，故a6＋a7＋a8＝0，因a6＋a8＝2a7，故a7＝0，a1＝a7－6d＝18.故an＝a1＋(n－1)d＝18－3(n－1)＝21－3n.
32．(9分)已知公差不为0的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的首项为5，且eq \f(1,a1)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a4)成等比数列．
(1)求等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的通项公式；
(2)求a2＋a6＋a10＋a14＋a18＋a22＋a26＋a30.
【解】 (1)∵a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，由(eq \f(1,a2))2＝eq \f(1,a1)·eq \f(1,a4)得(eq \f(1,5＋d))2＝eq \f(1,5)×eq \f(1,5＋3d)，∴(5＋d)2＝5×(5＋3d)，∴d2－5d＝0，∴d＝5(∵d≠0)，∴an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×5＝5n；
(2)∵a2，a6，a10，a14，a18，a22，a26，a30也是一个等差数列，∴原式＝eq \f(8（a2＋a30）,2)＝4×(10＋150)＝640.
33.(8分)已知三个数成等差数列，和为12，若将这三个数分别加上2，4，10后得到的三个数成等比数列，求此三数．
【解】 设这三个数分别是a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝12，∴a＝4，∴(4－d)＋2，4＋4，(4＋d＋10)成等比数列，∴64＝(6－d)(14＋d)，∴d2＋8d－20＝0，∴d＝2或－10.当d＝2时，三数为2，4，6.当d＝－10，三数为14，4，－6.
34．(8分)在整数集合Z中，
(1)取一列数，构成一公差d＝3的等差数列(至少取8项)；
(2)求其数列中的第38项；
(3)求前21项的和．
【解】 答案不唯一．①1，4，7，10，13，16，19，22.
②∵a1＝1，d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴a38＝3×38－2＝112.
③∵a21＝3×21－2＝61，∴S21＝eq \f(（a1＋a21）×21,2)＝651
35．(9分)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn＝2n2＋n，
(1)求通项公式an；
(2)若an＝4lg2bn－1，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的通项公式．
【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－
[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
当n＝1时也符合，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an＝4n－1.
(2)将an＝4n－1代入an＝4lg2bn－1得：
4n－1＝4lg2bn－1
n＝lg2bn
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的通项公式为bn＝2n.
36．(10分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如下图．
(1)求an；
(2)引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
(3)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
第36题图
【解】 (1)由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
an＝a1＋2(n－1)＝2n；
(2)设纯收入与年数n的关系为f(n)，则：
f(n)＝21n－[2n＋eq \f(n（n－1）,2)·2]－25＝20n－n2－25
由f(n)＞0得n2－20n＋25<0，解得10－5eq \r(3)＜n＜10＋5eq \r(3)
又因为n∈N，所以n＝2，3，4，…18.即从第2年该公司开始获利．
(3)年平均收入为eq \f(f（n）,n)＝20－(n＋eq \f(25,n))≤20－2×5＝10，
当且仅当n＝5时，年平均收益最大．
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．