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【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题02 数列测试卷(二)(教师版)
展开一、单项选择题(本大题共20小题,1~12每小题2分,13~20每小题3分,共48分)
1.若三个连续整数的和是48,则在它们后面的三个连续整数的和是( )
A.48 B.51 C.54 D.57
D 【解析】 后三个连续整数之和为48+3×3=57.
2.在数列①1,1,1,…;②1,eq \f(1,2),eq \f(1,3),…;③-1,1,-1,…;④4,5,6,…中,是等差数列的是( )
A.①与② B.②与③ C.③与④ D.①与④
D 【解析】 根据等差数列的定义知只有①④为等差数列.
3.已知数列eq \f(1,2),eq \f(2,3),eq \f(3,4),eq \f(4,5),…下列各式不是它的通项的是( )
A.an=eq \f(n,n+1)(n∈N*) B.an=eq \f(n+1,n+3)(n∈N*)
C.an=1-eq \f(1,n+1)(n∈N*) D.a1=eq \f(1,2),an=eq \f(n,n+1)(n≥2,n∈N*)
B 【解析】 将n=1、2…代入选项A、B、C、D,只有B符合题意,故选B.
4.等差数列-3,1,5,…的第15项的值是( )
A.40 B.53 C.63 D.76
B 【解析】 由题意可知此等差数列的首项a1=-3,公差d=4,则an=4n-7,a15=53,故答案选B.
5.若数列{an}满足a1=1,Sn=n,则a2012=( )
A.1 B.2011 C.2012 D.2013
A 【解析】 ∵Sn=n,∴a2012=S2012-S2011=2012-2011=1.
6.已知等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=( )
A.100 B.210 C.380 D.400
B 【解析】 ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2=a1+d=7,a4=a1+3d=15)),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1=3,d=4)),∴S10=10a1+eq \f(10×9,2)d=210.
7.设数列{an}的前n项和Sn=5n-a(a为常数),若{an}为等比数列,则a=( )
A.1 B.-1 C.3 D.2
A 【解析】 ∵Sn=5n-a,∴an=Sn-Sn-1=5n-a-(5n-1-a)=4×5n-1,∴a1=4,q=5,∴Sn=eq \f(4×(1-5n),1-5)=5n-1,∴a=1.
8.设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的前n项和Sn=2n,则a4=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
C 【解析】 ∵Sn=2n,∴S4=a1+a2+a3+a4=24=16,S3=a1+a2+a3=23=8,又∵S4-S3=a4,∴a4=8,故选C.
9.若数列的前n项和Sn=2n2+3n,则a4+a5+a6=( )
A.54 B.15 C.63 D.32
C 【解析】 a4+a5+a6=S6-S3=2×62+3×6-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×32+3×3))=63.
10.在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=( )
A.40 B.42 C.43 D.45
B 【解析】 ∵a2+a3=2a1+3d=4+3d=13,∴d=3,∴a4+a5+a6=3a1+12d=6+36=42.
11.200是等差数列2,5,8,…的第多少项?( )
A.66 B.67 C.68 D.69
B 【解析】 由an=2+(n-1)×3=200,得n=67,故选B.
12.在等比数列中,若a4·a7+a5·a6=20,则此数列前10项的积为( )
A.50 B.2010 C.105 D.1010
C 【解析】 ∵a4·a7=a5·a6且a4·a7+a5·a6=20 ∴a4·a7=a5·a6=10,又由等比数列性质得a1·a2·…·a10=105.
13.在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中,Sn为前n项和,且已知S2=3,S3=6,则公差为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
C 【解析】 因为Sn=na1+eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n-1)),2)d,∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3=2a1+d,6=3a1+3d)),∴d=1.
14.已知数列{an}的前n项和Sn=2-n2,则a5的值为( )
A.-9 B.-6 C.-3 D.0
A 【解析】 a5=S5-S4=2-52-(2-42)=-9.
15.数列2,a,8成等比数列,b,3,6成等差数列,则a·b=( )
A.0 B.4 C.8 D.16
A 【解析】 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2=2×8,b+6=3×2)),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=±4,b=0)),故a·b=0.
16.在等比数列{an}中,公比为2,则eq \f(2a3+a4,2a1+a2)=( )
A.8 B.4 C.2 D.1
B 【解析】 a3=a1q2=4a1,a4=a1q3=8a1,2a3+a4=16a1,a2=a1q=2a1,2a1+a2=4a1,eq \f(2a3+a4,2a1+a2)=eq \f(16a1,4a1)=4,故选B.
17.设等比数列{an}的前n项和Sn,S10=10,S30=70,则S40=( )
A.70eq \r(7) B.150 C.200 D.均不对
B 【解析】 显然公比q≠1,∴S10=eq \f(a1(1-q10),1-q),S30=eq \f(a1(1-q30),1-q)=eq \f(a1(1-q10),1-q)(1+q10+q20)
S30=S10(1+q10+q20),∴10×(1+q10+q20)=70,∴q10=2,q10=-3(舍去),S40=eq \f(a1(1-q40),1-q)=eq \f(a1(1-q10)(1+q10)(1+q20),1-q)=eq \f(a1(1-q10),1-q)×(1+q10)(1+q20)=S10×(1+q10)(1+q20)=150.
18.首项为-24的等差数列,从第10项开始的各项为正数,则公差的取值范围是( )
A.d>eq \f(8,3) B.d<3 C.eq \f(8,3)≤d<3 D.eq \f(8,3)
19.一场通过网络发起的旨在倡导节约粮食的“光盘行动”引发热烈响应,1月23日,光盘行动微博转发超3000万次,若每天以30%的增速转发,则1月25日将突破( )
A.3900万次 B.4800万次 C.5070万次 D.6591万次
C 【解析】 y=3000(1+0.3)2=5070.
20.观察下列各式:72=49,73=343,74=2041,…,则72011的末两位数字为( )
A.01 B.43 C.07 D.49
B 【解析】 观察各项最后一位得到一数列7,9,3,1,7,9,3,1,7… ∵2011=4×502+3,∴72011最后一位是3,排除A、C、D.
二、 填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
21.eq \r(2)-1与eq \r(2)+1的等比中项是__________.
±1 【解析】 由等比数列公式c=±eq \r(ab)=±eq \r((\r(2)-1)×(\r(2)+1))=±1.
22.如果a≠b,且a、x1、x2、b和a、y1、y2、y3、b都是等差数列,则eq \f(x1-x2,y1-y2)=________.
eq \f(4,3) 【解析】 由a≠b,且a、x1、x2、b和a、y1、y2、y3、b都是等差数列,故设其公差分别为d1,d2,则a+3d1=b,a+4d2=b,得d1=eq \f(b-a,3),d2=eq \f(b-a,4).∴eq \f(x1-x2,y1-y2)=eq \f(d1,d2)=eq \f(\f(b-a,3),\f(b-a,4))=eq \f(4,3).
23.在等比数列{an}中,已知q>0,a4=4,a6=16,则a7=________.
32 【解析】 eq \f(a6,a4)=q2=4,又q>0得q=2,a7=a6·q=32.
24.某产品,计划每年成本降低q%,那么三年后的成本是a元,则现在的成本是________.
eq \f(a,(1-q%)3) 【解析】 设现成本为x元,则x·(1-q%)3=a,∴x=eq \f(a,(1-q%)3).
设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1·a5=eq \f(1,2),则a2·aeq \\al(2,3)·a4=________.
eq \f(1,4) 【解析】 a1·a5=a2·a4=aeq \\al(2,3)=eq \f(1,2)⇒a2·aeq \\al(2,3)·a4=eq \f(1,4).
26.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中an+1=an+eq \f(1,3),且a1=2,则a100=____________.
35 【解析】 由an+1=an+eq \f(1,3),得an+1-an=eq \f(1,3),即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是以首项为2,公差为eq \f(1,3)的等差数列,所以由an=a1+(n-1)d,∴a100=2+(100-1)×eq \f(1,3),得a100=35.
27.已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an=2n-31,则数列前20项和S20=____________.
-200 【解析】 (1)∵an-an-1=(2n-31)-[2(n-1)-31]=2,(n≥2),∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是公差为2的等差数列.∴S20=eq \f(20(a1+a20),2)=10×(-29+9)=-200.
三、解答题(本大题共9小题,共74分)
28.(7分)在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中,a1=-56,an+1=an+12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(n≥1))).
(1)求通项公式an;
(2)当n是多少时,前n项和Sn最小,最小值是多少?
【解】 (1)由题知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是以-56为首项,12为公差的等差数列.
所以an=-56+(n-1)×12=12n-68;
(2)an=12n-68≤0,n≤eq \f(68,12)≈5.6,所以n=5,即前5项和最小.(Sn)min=S5=5a1+eq \f(5×4,2)d=-160.
29.(7分)已知三个数a1,a2,a3顺次成等差数列,其和为72,且a3=2a1,求这三个数.
【解】 由题意:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a2=a1+a3 (1),a1+a2+a3=72(2),a3=2a1 (3))),(1)代入(2)得:a2=24a1+a3=48 (4),把(3)代入(4)得:a1=16,a3=32这三个数为16,24,32.
30.(8分)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和Sn=3n2+2n-5,求数列的通项公式,并判断该数列是否是等差数列?
【解】 当n=1时,a1=S1=0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,an=3n2+2n-5-[3(n-1)2+2(n-1)-5]=6n-1,
所以通项公式为an=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0,n=1,6n-1,n≥2)).
所以该数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))不是等差数列.
31.(8分)求和:(a-1)+(a2-2)+…+(an-n)(a≠0).
【解】 当a≠1时,原式=(a+a2+a3+…+an)-(1+2+3+…+n)=eq \f(a(1-an),1-a)-eq \f(n(1+n),2);
当a=1时,原式=n-eq \f(n(1+n),2)=eq \f(n-n2,2).
32.(9分)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列S1,S2,S4的公比;
(2)若S2=4,求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)设首项为a1,公差为d,∴S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,∵S1,S2,S4成等比数列,∴Seq \\al(2,2)=S1·S4,即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),得d=2a1,∴数列S1,S2,S4的公比为eq \f(S2,S1)=eq \f(4a1,a1)=4;
(2)∵S2=2a1+d=4,又d=2a1,∴a1=1,d=2.数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
33.(8分)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))中,Sn是前n项和,若a1=1,an+1=eq \f(1,3)Sn(n≥1),求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an)))的通项公式.
【解】 ∵an+1=eq \f(1,3)Sn①,∴an=eq \f(1,3)Sn-1②,①-②得:an+1-an=eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Sn-Sn-1))=eq \f(1,3)an,又an≠0,∴eq \f(an+1,an)=eq \f(4,3)(n≥2),∵a2=eq \f(1,3)S1=eq \f(1,3)×1=eq \f(1,3),当n≥2时,an=eq \f(1,3)×(eq \f(4,3))n-2,∴an=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1,n=1,\f(1,3)×(\f(4,3))n-2,n≥2)).
34.(8分)已知数列{an}中,a1=1且an+1=eq \f(an,an+1).
(1)求a2,a3,a4,a5的值;
(2)猜想{an}的通项公式.
【解】 (1)a2=eq \f(1,1+1)=eq \f(1,2),a3=eq \f(\f(1,2),\f(1,2)+1)=eq \f(1,3),a4=eq \f(\f(1,3),\f(1,3)+1)=eq \f(1,4),a5=eq \f(\f(1,4),\f(1,4)+1)=eq \f(1,5);
(2)由(1)猜想an=eq \f(1,n),代入an+1=eq \f(an,an+1),得到eq \f(1,n+1)=eq \f(\f(1,n),\f(1,n)+1),等式成立,故an=eq \f(1,n).
35.(9分)下列图形是边长为1的正方形展开的渐开线所形成的螺线(圆弧部分),求:
第一次 第二次 第三次 第四次
第35题图
(1)此螺线前3次展开后的长度;
(2)第n次展开后的长度.
【解】 (1)由题意得:
a1=eq \f(1,4)×2π×1=eq \f(π,2)
a2=eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π×1+2π×2))=eq \f(3π,2)
a3=eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π×1+2π×2+2π×3))=3π;
(2)an=eq \f(1,4)×(2π×1+2π×2+2π×3+…+2π×n)
=eq \f(2π,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+2+3+…+n))
=eq \f(π,2)×eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n+1)),2)=eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n+1)),4)π.
36.(10分)已知等差数列{an}的公差d≠0,且满足a1=2,a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,若存在正整数n,使得Sn>60n+800,求n的最小值.
【解】 (1)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,∵d≠0,∴d=4,
an=2+(n-1)·4=4n-2.
(2)当an=4n-2时,Sn=eq \f(n[2+(4n-2)],2)=2n2.
令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),∴n的最小值为41.
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