【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题03　排列、组合、二项式定理与概率测试卷(一)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题03　排列、组合、二项式定理与概率测试卷(一)（教师版），共6页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．一部爱国主义电影在4所学校轮映，每校放映一场，次序有( )
A．4种 B．16种 C．24种 D．256种
C 【解析】 利用分步计数原理，电影选学校：第1步从四所学校中选1所有4种方法；第2步从余下三所学校中选1所有3种方法；第3步从余下二所学校中选1所有2种方法；第4步从最后一所学校中选1所只有1种方法，故共有4×3×2×1＝24种方法．
2．积18×17×16×…×7可用排列数公式表示为( )
A．Aeq \\al(12,18) B．Aeq \\al(6,18) C．Aeq \\al(7,18) D．Aeq \\al(11,18)
A 【解析】 根据排列数公式，Peq \\al(12,18)＝18×17×16×…×7.
3．用1，2，3，4，5五个数字组成的五位数中共有不同的奇数( )
A．36个 B．48个 C．72个 D．120个
C 【解析】 先排末位共有Ceq \\al(1,3)；然后排其它位置共有Aeq \\al(4,4)；由分步计数原理得Ceq \\al(1,3)Peq \\al(4,4)＝72.
4．某班有42个学生，其中正、副班长各一位，现派3位学生完成一项工作，但正、副班长必须且只能有一人参加的选法有( )
A．3种 B．120种 C．1560种 D．1600种
C 【解析】 N＝Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(2,40)＝2×eq \f(40×39,1×2)＝1560.
5．三名男同学与两名女同学站成一排，不同排法的种数是( )
A．20 B．60 C．80 D．120
D 【解析】 Aeq \\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120.
6．书架上有3本语文书、5本数学书和3本英语书，从中任选2本，正好都是数学书的概率是( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(5,11) C.eq \f(2,11) D.eq \f(1,2)
C 【解析】 P＝eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,11))＝eq \f(10,55)＝eq \f(2,11).
7．五位同学站在一列，同学A和B必须站在一起的站法有( )
A.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5) B．Aeq \\al(5,5) C.eq \f(1,2)Aeq \\al(4,4) D．2Aeq \\al(4,4)
D 【解析】 考虑A与B必须在一起，共有Aeq \\al(2,2)种站法，把A、B当作一个整体，可得Aeq \\al(4,4)，故共有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(4,4)＝2Aeq \\al(4,4)种．
8．(a＋b)9的展开式中第6项的二项式系数为( )
A．Ceq \\al(6,9) B．－Ceq \\al(6,9) C．Ceq \\al(5,9) D．－Ceq \\al(5,9)
C 【解析】 二项式系数为组合数Ceq \\al(5,9).
9．方程5－Ceq \\al(x,4)＝Ceq \\al(x＋1,4)的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3，0))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2，1))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2，0)))
B 【解析】 原方程，∴Ceq \\al(x＋1,4)＋Ceq \\al(x,4)＝5，∴Ceq \\al(x＋1,5)＝5，∴x＝0或3.
10．把6本不同的漫画书选3本分给3名小朋友，每人一本，共有分法( )
A．Aeq \\al(3,6)种 B．Ceq \\al(3,6)种 C．Aeq \\al(3,3)种 D．Aeq \\al(3,6)Aeq \\al(3,3)种
A 【解析】 从“6本不同的漫画书中选3本分给3名小朋友”是有顺序的，应用排列，Ceq \\al(3,6)·Aeq \\al(3,3)＝Aeq \\al(3,6).
11．五个同学、一个老师站一排照相，老师不排在两端的排法有( )
A．480种 B．240种 C．120种 D．720种
A 【解析】 Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(5,5)＝4×120＝480.
12．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有( )
A．1320种 B．288种 C．1530种 D．670种
A 【解析】 分两类：(1)甲、乙都不去，有Peq \\al(4,6)＝360种(2)甲、乙只去一人，有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(3,6)·Aeq \\al(4,4)＝960种，∴N＝360＋960＝1320种．
13．华明计划在一周五天内安排三天进行技能操作训练，其中周一、周四两天中至少要安排一天，则不同的安排方法共有( )
A．9种 B．12种 C．16种 D．20种
A 【解析】 Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,3)＝9.
14．停车场可将12辆车停放在一排，当有8辆车已停放后，恰有4个空位连在一起，这种情况发生的概率为( )
A.eq \f(7,Ceq \\al(8,12)) B.eq \f(8,Ceq \\al(8,12)) C.eq \f(9,Ceq \\al(8,12)) D.eq \f(10,Ceq \\al(8,12))
C 【解析】 12个车位停8辆车有Ceq \\al(8,12)种方法，4个空位连在一起的方法数有9种，故所求概率为eq \f(9,Ceq \\al(8,12)).
15．在一个含有8个节目的节目单中，临时插入2个歌唱节目，且保持原节目顺序，则有插入方式( )
A．90种 B．80种 C．72种 D．56种
A 【解析】 Ceq \\al(2,9)×Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,9)×Aeq \\al(2,2)＝eq \f(9×8,2)×2＋9×2＝90.
16．现有甲、乙、丙、丁四名运动员争夺铅球、长跑、跳远三项冠军，则甲包揽三项冠军的概率等于 ( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,12) C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,64)
D 【解析】 根据分步计数原理，冠军选，四位同学争夺三项冠军有43＝64种方法，而甲包揽三项冠军只有1种情形，故所求概率为eq \f(1,64).
17．若(a＋b)n展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有( )
A．8项 B．9项 C．10项 D．11项
C 【解析】 (a＋b)n展开式的第4项为T4＝Ceq \\al(3,n)an－3b3，第7项为T7＝Ceq \\al(6,n)an－6b6，由题意知Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(6,n)，即得n＝3＋6＝9.∴展开式的项数为n＋1＝10，故选C.
18．如果100件产品中有2件是次品，抽出3件中至少有一件是次品的抽法是( )
A．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98) B．Ceq \\al(3,100)－Ceq \\al(3,98) C．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,98)＋Ceq \\al(1,98) D．Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)－Ceq \\al(1,98)
B 【解析】 因为至少有一件可从两方面考虑：一件次品，两件正品和两件次品一件正品，或从另一角度考虑，所有的减去一件次品都没有的，剩下的就是至少有一件次品的．所以全部选择共有Ceq \\al(3,100)，一件次品都没有的Ceq \\al(3,98).故选B.
19．任选一个两位数，得到是5的倍数的概率是( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(2,9) D.eq \f(2,5)
B 【解析】 两位数从10到99共有90个，其中是5的倍数的有18个，故所求概率为eq \f(18,90)＝eq \f(1,5).
20．(eq \r(x)＋eq \f(1,x))10的展开式中含x的正整数指数幂的项数为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
B 【解析】 Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(eq \r(x))10－r(eq \f(1,x))r＝Ceq \\al(r,10)xeq \s\up6(\f(10－3r,2))(r＝0，1，2，…10)，显然当r＝0，2时，Tr＋1为含x正整数指数幂的项，故选B.
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．Aeq \\al(2,n)＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(n∈N*，n≥2)))，则n＝______．
5 【解析】 neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))＝20，解得n＝5.
22．四名男生和三名女生排成一排照相，学生甲必须排在最左边或最右边，有______种不同的排法．
1440 【解析】 学生甲排在两头，先排甲，再排其余6人，有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(6,6)＝1440种．
23．从0，1，2，3，4中选出3个数，组成一个三位数，则这样的三位数一共有______个．
48 【解析】 百位不能为0，先排百位有Aeq \\al(1,4)种方法，再排十位和个位有Aeq \\al(2,4)方法，故共有Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(2,4)＝48个．
24．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(1＋x)))eq \s\up12(7)的展开式中所有项的系数和是______．
128 【解析】 令x＝1，即得二项式所有项系数和＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1))eq \s\up12(7)＝27＝128.
25．已知Ceq \\al(x,6)＋Ceq \\al(x－1,6)＝Ceq \\al(x－3,7)，则x＝________．
5 【解析】 Ceq \\al(x,6)＋Ceq \\al(x－1,6)＝Ceq \\al(x,7)，则Ceq \\al(x,7)＝Ceq \\al(x－3,7)，故x＝x－3(舍去)，或x＋x－3＝7，解得x＝5.
26．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＋b)))eq \s\up12(n)(n∈N＋)展开式中有9项，则系数最大的项是________．
70a4b4 【解析】 ∵n＋1＝9，∴n＝8，系数最大项为T5＝Ceq \\al(4,8)a4b4＝70a4b4.
27．现有3辆编号分别为1，2，3的小车，甲乙两人可任意选取，则两人同选2号车的概率为____________．
eq \f(1,9) 【解析】 P＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,9).
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(7分)求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(8)展开式中不含x的项．
【解】 设第m＋1项中不含x的项
Tm＋1＝Ceq \\al(m,8)x8－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))mCeq \\al(m,8)x8－m·x－m
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))mCeq \\al(m,8)x8－2m
∴8－2m＝0，m＝4，T5＝Ceq \\al(4,8)＝70.
29.(9分)7个人排成一排照相，其中有4个男生，3个女生．
(1)甲不在排头也不在排尾的排法有多少种？
(2)甲乙丙三人必须在一起的排法有多少种？
(3)三个女生都不相邻的排法有多少种？
【解】 (1)Ceq \\al(1,5)Aeq \\al(6,6)＝3600；(2)相邻问题捆绑法：Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)＝720；(3)不相邻问题插空法：Aeq \\al(3,5)Aeq \\al(4,4)＝1440.
30．(8分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(1－x)))eq \s\up12(n)的展开式中，前三项的二项式系数之和为22，求展开式的中间项．
【解】 由Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＝22得，1＋n＋eq \f(n（n－1）,2)＝22，∴n2＋n－42＝0，∴n＝－7(舍去)或n＝6，∴展开式中间项为T4＝Ceq \\al(3,6)(－x)3＝－20x3.
31．(9分)从5名男生、3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数：
(1)女生甲担任语文课代表；
(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；
(3)3名男课代表，2名女课代表，男生乙不任英语课代表．
【解】 (1)女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有Ceq \\al(4,7)Aeq \\al(4,4)＝840种．
(2)先选出4人，有Ceq \\al(4,7)种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)种方法，所以方法数为Ceq \\al(4,7)·Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝3360.
(3)分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表．
第一类：乙担任课代表，先选出2名男生2名女生，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)种方法，方法数为Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)种；
第二类：乙不担任课代表，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(5,5)种方法．
根据分类计数原理，共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(5,5)＝3168种不同方法．
32．(8分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式中二项式系数和是512，求其常数项．
【解】 由题意得：2n＝512，所以n＝9，Tm＋1＝Ceq \\al(m,9)x9－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))m
＝Ceq \\al(m,9)x9－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))mx－eq \f(1,2)m＝Ceq \\al(m,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))mx9－eq \f(3,2)m
令9－eq \f(3,2)m＝0，可得m＝6，所以T6＋1＝Ceq \\al(6,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))3＝－Ceq \\al(6,9)＝－84.
33.(8分)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有多少个？
【解】 ∵所求的是用1、2、3、4、5组成比20000大的五位数．∴万位数字只能是2、3、4、5中选一个，则有Ceq \\al(1,4).而千位数字、百位数字、十位数字、个位数字可以是剩下的四个，则有Peq \\al(4,4)，故有Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)种．但上述方法中包含有百位数字是3的情形，而百位数字是3的情形有Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3).所以共有Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)－Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝96－18＝78.
34．(9分)从5名男医生和4名女医生中选5人，
(1)若男女医生都要有，则有多少种不同的选法？
(2)求最多只能有2名女医生的概率；
(3)求男医生甲必须入选的概率．
【解】 (1)Ceq \\al(5,9)－Ceq \\al(5,5)＝125；(2)设“最多只能有2名女医生”的事件为A，则P(A)＝eq \f(Ceq \\al(0,4)Ceq \\al(5,5)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(5,9))＝eq \f(9,14)；
(3)设“男医生甲必须入选”的事件为B，P(B)＝eq \f(Ceq \\al(4,8),Ceq \\al(5,9))＝eq \f(5,9).
35．(7分)写出(x－2)6的展开式．
【解】 (x－2)6＝Ceq \\al(0,6)x6＋Ceq \\al(1,6)x5(－2)1＋Ceq \\al(2,6)x4(－2)2＋Ceq \\al(3,6)x3(－2)3＋Ceq \\al(4,6)x2(－2)4＋Ceq \\al(5,6)x1(－2)5＋Ceq \\al(6,6)x0(－2)6，
＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64.
36．(9分)在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题，不定项选择题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？你知道答对问题的概率有多大呢？
【解】 基本事件总数有下列15种：
(A)(B)(C)(D)
(A，B)(A，C)(A，D)(B，C)(B，D)(C，D)
(A，B，C)(A，B，D)(A，C，D)(B，C，D)
(A，B，C，D)
故所求概率为＝eq \f(1,15)，单选题答对的概率为eq \f(1,4)，eq \f(1,15)＜eq \f(1,4)，所以多选题更难猜对．