人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时作业，共8页。

1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( )
A．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B．a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C．a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D．a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．－2B．2
C．6D．10
3．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( )
A．4B．－4
C．5D．－5
4．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1，0，－2) B．(1，0，2)
C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)
5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝(2，1，－eq \f(1,2))，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________．
8．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝eq \f(2\r(3),3)AB，E是PC的中点．求证：PD⊥平面ABE.
[提能力]
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点A且与直线BD1垂直的所有面对角线的条数为( )
A．0B．1
C．2D．3
10．(多选)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足eq \(AP,\s\up6(→))＝x＋yeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(AB,\s\up6(→))，x∈[0，1]，y∈[0，1]，下列选项正确的是( )
A．当x＝y时，∠DEP为锐角
B．当x＋2y＝1时，AP⊥BE
C.当y＝eq \f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当x－y＝eq \f(1,2)时，A1P∥平面ADE
11．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝eq \r(21)，则n的坐标为______________．
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[培优生]
13．(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是直线AD与A1C1的交点．若点Q在直线B1P上，则下列结论不正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．在直线B1P上不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD
课时作业(八) 空间中直线、平面的垂直
1．解析：因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b.
答案：B
2．解析：因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
答案：D
3．解析：由平面α的法向量为a，平面β的法向量为b，
∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
答案：D
4．解析：由题意知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).
答案：C
5．解析：a·b＝1×2－1×1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题；
a·n＝0，则a⊥n，
所以l∥α或l⊂α，故B是假命题；
n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题；
易得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
因为向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0,n·\(BC,\s\up6(→))＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋u＋t＝0,－1＋u＝0))，
得u＋t＝1，故D是真命题．
答案：AD
6．解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
答案：－9
7．解析：∵A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－4，x＋1，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，x＋2，－1)
分三种情况：
①A为直角，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；
②B为直角，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9；
③C为直角，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解．综上，x的值为0或9.
答案：0或9
8.
证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)，0))
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0,n·\(AE,\s\up6(→))＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0))，
令y＝2，则z＝－eq \r(3)，∴n＝(0，2，－eq \r(3)).
∵eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，显然eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),3)n，
∴eq \(PD,\s\up6(→))∥n，
∴eq \(PD,\s\up6(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
9.
解析：过点A的面对角线一共有三条，AC，AD1，AB1，连接AC，AD1，AB1，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D1(0，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，其中＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，·＝(－1，－1，1)·(－1，0，1)＝2，·eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)·(－1，1，0)＝0，·＝(－1，－1，1)·(0，1，1)＝0，故BD1与AC，AB1垂直，与AD1不垂直，故答案为2条．
答案：C
10.
解析：建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，则A(eq \r(3)，0，0)，B1(0，1，2)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，E(0，－1，1)，
所以＝(－eq \r(3)，1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1－2y，2x)，
A．当x＝y时，eq \(ED,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq \(EP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，2－2y，2x－1)，则eq \(ED,\s\up6(→))·eq \(EP,\s\up6(→))＝3－2(x＋y)，正负不定，故错误；B.当x＋2y＝1时，eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，－2，1)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝4y－2＋2x＝0，所以AP⊥BE，故正确；
C．当y＝eq \f(1,2)时，A1P＝eq \(AP,\s\up6(→))－AA1＝(－eq \r(3)，1－2y，2x－2).eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－2y，2x)，·eq \(BP,\s\up6(→))＝(1－2y)×(－2y)＋(2x－2)×2x＝0，即2x2＋2y2－2x－y＝0，
解得x＝0或x＝1，故有两个点P，使得A1P⊥BP，故错误；
D.当x－y＝eq \f(1,2)时，设平面ADE的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(DA,\s\up6(→))·n＝0,\(ED,\s\up6(→))·n＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)a＝0,b－c＝0))，令b＝1，则n＝(0，1，1)，
所以·n＝2(x－y)－1＝0，又A1P⊄平面ADE，所以A1P∥平面ADE，故正确．
答案：BD
11．解析：据题意，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，0，2).
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－y＋2z＝0，,x＋2z＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(y,2)，,z＝\f(y,4)．))
∵|n|＝eq \r(21)，∴eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(21)，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1).
答案：(－2，4，1)或(2，－4，－1)
12．解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(1)证明：A1E＝(－a，a，e－a)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－a，－a，0)，
∵·eq \(BD,\s\up6(→))＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即A1E⊥BD；
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
∵eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，DA1＝(a，0，a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，a，e)
∴n1·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，n1·DA1＝0，n2·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，n2·eq \(DE,\s\up6(→))＝0.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax1＋ay1＝0，,ax1＋az1＝0，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋ay2＝0，,ay2＋ez2＝0.))
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，eq \f(a,e)).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－eq \f(a,e)＝0，即e＝eq \f(a,2).
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
13.
解析：如图，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A1xyz，
则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，P(0，2，0)，
则＝(1，0，1)，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，＝(－1，2，0)，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，－\f(1,2)))，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，
则eq \(DQ,\s\up6(→))＝＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－λ，－1＋2λ，－\f(1,2)))，因为eq \(DQ,\s\up6(→))也是平面A1BD的法向量，
所以n与eq \(DQ,\s\up6(→))共线，于是有eq \f(1－λ,2)＝eq \f(－1＋2λ,1)＝eq \f(－\f(1,2),－2)＝eq \f(1,4)成立，此时λ无解．
故在直线B1P上不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD，A，B，C不正确，D正确．
答案：ABC