人教版八年级数学上册 专题14.2 乘法公式讲练（原卷版+解析版）

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专题14.2 乘方公式典例体系（本专题73题33页）一、知识点平方差公式： 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；完全平方公式：即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；添括号： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；二、考点点拨与训练考点1：平方差公式的适用条件典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（　）A．(a+b)(a-2b) B．(x+2y)(x-2y) C．（-a+2b)(a-2b) D．（-2m-n）（2m+n）方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.巩固练习1．（2022·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）A． B．C． D．2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）A． B．C． D．3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A．B．C．D．4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ）A． B．C． D．5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）A． B． C． D．6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）考点2：应用平方差公式进行计算典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）______．方法或规律点拨本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．巩固练习1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若，则代数式的值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．62．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（ ）A． B． C． D．3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____4．（2020·河南洛宁·月考）计算：__________．5．（2020·山东中区·初一期末）若，，则_____．6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________．7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：=____________．8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）考点3：乘法公式与图形面积典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝　 　，S₂＝　 　；（不必化简）（2）以上结果可以验证的乘法公式是　 　．（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．方法或规律点拨本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．巩固练习1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）A． B．C． D．2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）A． B．C． D．3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a >b〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A． B．C． D．4．（2021·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. B. C. D. 5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（ ）A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b6．（2020·福建宁德·初一期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为___．7．（2020·福建省惠安科山中学月考）用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．8．（2020·江苏新沂·初一期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．9．（2020·四川成华·初一期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：(1)如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④=　 　．所以图1可以用来解释等式：　 　；同理图2可以用来解释等式：　 　．(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．10．（2020·山东中区·初一期末）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或　a2+2ab+b2∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝　 　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式．如果不能，请说明理由．12．（2020·河北邢台·初一月考）若x满足(x－4) (x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2 + (x－5)2的值(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．13．（2020·浙江衢州·初一期中）（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知，，求的值；②已知，求的值．　　　　考点4：求完全平方公式的字母系数典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）A．±8 B．4 C．±4 D．8方法或规律点拨本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．巩固练习1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（ ）A． B． C．或 D．或2．（2020·绍兴市长城中学期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，则k的值为（ ）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣33．（2020·达州市通川区第八中学期中）若(x-2y)2 =(x+2y)2+M,则M= ( )A．4xy B．- 4xy C．8xy D．-8xy4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，则的值应为（ ）A．3 B．6 C． D．5．（2022·南阳市第三中学月考）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）A．±3 B．±4.5 C．±6 D．96．（2020·广东高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为_____________7．（2020·山东长清·期中）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是__．8．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知是完全平方式，则△＝_______．9．（2020·达州市通川区第八中学期中）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝_____．10．（2020·广西百色·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．11．（2020·江苏盱眙·期末）若是关于的完全平方式，则的值是______．考点5：应用完全平方公式求值典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．（1）求的值；（2）求的值．方法或规律点拨本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．巩固练习1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知a+b＝3，ab＝，则（a+b）2的值等于（　　）A．6 B．7 C．8 D．92．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（　　）A．1 B．13 C．17 D．253．（2022·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（ ）A．33 B．－33 C．11 D．－114．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．5．（2022·江西南康·其他）已知实数a，b满足，则=______．6．（2020·甘肃镇原·初二期末）已知，则的值为__________．7．（2020·山东济阳·初一期末）已知，ab=6 ，则a2+b2的值是__________ ．8．（2022·河北石家庄·初一期末）若，，则的值为_________．9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，，求下列各式的值：（1） （2）考点6：配方法及其应用典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．(2)已知等腰ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周长．方法或规律点拨本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，（1）正确将已知条件变形是解题关键，（2）利用配方法配方得出a和b的值是关键．巩固练习1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知-2x-6y+10＝0，则的值为（　　）A． B．9 C．1 D．992．（2020·全国初二课时练习）代数式的值（ ）A．大于或等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零3．（2020·湖州市第四中学教育集团期中）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，则＝_____．4．（2020·兴县教育科技局教学研究室期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；（2）试着把写成一个完全平方式：；（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．5．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.(2)若a+＝5，则a2+＝_____；(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.6．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）已知，则=______．7．（2020·贵州石阡·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：∵，当时，的值最小，最小值是0，∴当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题（1）当x=______时，代数式的最小值是______；（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；（3）若，求的最小值.8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，求9．（2022·河北安平·初二期末）阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：∵，由，得；∴代数式的最小值是4.（1）仿照上述方法求代数式的最小值.（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.10．（2020·广西兴宾·初一期中）阅读下列材料，解答问题：例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13方法2：∵a－b=3∴(a－b)2=32即a2－2ab＋b2=9a2＋b2=9＋2ab=9+4=13请选择任意一种解题方法解决下列问题．（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值；（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值．11．（2020·全国初二课时练习）观察例题，然后回答：例：，则________．解：由，得，即所以：通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：（1）；（2）．考点7：乘法公式的混合运算典例：（2020·重庆南开中学开学考试）化简求值：，其中满足方法或规律点拨本题主要考查了整式的化简及求值，利用绝对值的非负性求字母的值，并具体考查整式的加减乘除远算法则，完全平方公式和平方差公式的应用．巩固练习1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）先化简，再求值．，其中，．2．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）先化简，再求值：，其中，．2．（2020·辽宁北镇·期末）先化简，再求值：，其中，．3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）先化简，再求值：2（a+b）（a-b）-+．其中a=2，b=．4．（2020·苏州市吴江区同里中学期末），其中x＝－1，y＝2．5．（2020·辽宁昌图·期末）先化简，再求值：，其中6．（2020·江苏江阴·初一期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝2．7．（2020·四川郫都·初一期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．8．（2020·株洲景炎学校初一期中）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中，9．（2020·江苏南京·初一期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x＋2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝．10．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）化简求值：，其中，.