初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数同步训练题

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知识精讲
知识点01 二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
【微点拨】二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
【微点拨】
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴；
│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴。
【即学即练1】抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的值增大而减小
知识点02 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
2.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
【微点拨】
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【即学即练2】已知，点，，都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
知识点03 函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
2.函数的图象与性质
【微点拨】
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
【即学即练3】抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
知识点04 二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【微点拨】
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【即学即练4】抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度
B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度
C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度
D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度
知识点05 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【微点拨】
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【即学即练5】已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
知识点06 二次函数的图像及性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
【即学即练6】已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
能力拓展
考法01 二次函数的最值
【典例1】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
考法02 二次函数的平移
【典例2】在平面直角坐标系中，若抛物线经一次变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位
考法03 二次函数的图像与各项系数符号的关系
【典例3】二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）； （2）； （3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．若点A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x=－3，(－3，1)B．向上，直线x=3，(3， 1)
C．向下，直线x=－3，(－3，－1)D．向上，直线x=3，(－3，1)
6．二次函数的顶点坐标为______．
7．抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．
8．已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）．
9．已知函数，当时，y随x的增大而______（填写“增大”或“减小”）．
10．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
题组B 能力提升练
1．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32D．当x＝1时，y有最小值2
2．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1B．－1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2
4．二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．现有下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．
7．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________．
8．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．
（1）当P点最高时，______．
（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则_____．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
6．设关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是_______．
7．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______．
8．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______．
9．如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）．
（1）用含a、m的代数式表示=____．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d=_____．
10．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：，）
11．如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A点B点的左边），与轴交于点．直线与抛物线交于A、D两点，与轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式与、两点坐标；
(2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
课程标准
课标解读
会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，
掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，
掌握二次函数图像平移的规律。
会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)、的图象．
掌握抛物线与图象之间的关系；
熟练掌握函数、的有关性质，并能用性质解决一些实际问题；
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点