初中北师大版1.1 生活中的立体图形学案

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知识点01 认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
知识点02 立体图形的分类
（1）按形状分类：球，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥），台体（圆台、棱台）.
（2）按构成分类：旋转体（由平面围成的立体图形），旋转体（绕某一轴旋转一周）.
知识点03 点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
知识点04 棱柱与棱锥的顶点、面、棱数
知识点05 几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式：
（3）常见的几种几何体的体积的计算公式：
考点一 立体图形的认识
例1
如图，请在每个几何体下面写出它们的名称：
【答案】（1）正方体
（2）长方体
（3）圆柱
（4）三棱柱
（5）圆锥
（6）球
（7）四棱锥
（8）五棱柱
【解析】
【分析】
根据图形特点写出名称即可.
【详解】

正方体 长方体 圆柱 三棱柱

圆锥 球 四棱锥 五棱柱
例2
将图中的几何体进行分类，并说明理由．

【答案】见解析．
【解析】
【分析】
首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．
【详解】
解：若按形状划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面．
例3
若按构成划分：（1）（2）（4）（7）是一类，是柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．
在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的特征判断即可．
【详解】
在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是①长方体；②圆柱；④五棱柱；⑥正方体
故选：A．
变1
写出下图中各个几何体的名称．

①__圆柱_；②__圆锥__；③__四棱锥__；
④__五棱柱__；⑤_三棱锥__；⑥__长方体（或四棱柱）_．
【答案】①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥长方体（或四棱柱）
【解析】
【分析】
分别根据圆柱、圆锥、四棱锥、五棱柱、三棱锥、四棱柱的基本特点即可进行判断得出．
【详解】
解：圆柱的侧面展开图是一个长方形，两个底面是圆形，由此可得①为圆柱；
圆锥的侧面展开图是一个扇形，底面是一个圆形，可得②为圆锥；
四棱锥的侧面是四个三角形，底面是一个四边形，可得③为四棱锥；
五棱柱的侧面是五个长方形，底面是两个五边形，可得④为五棱柱；
三棱锥的侧面是三个三角形，底面也是一个三角形，可得⑤为三棱锥；
四棱柱的侧面是四个长方形，底面是两个四边形，可得⑥为四棱柱或长方体．
变2
数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由.

（1）小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体.
（2）小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面.
同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正.
【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面.
【解析】
【分析】
分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可.
【详解】
解：都不正确.
若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体.
若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面.
变3
有一个几何体模型，甲同学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形．则该模型
对应的立体图形可能是（ ）
【分析】根据圆锥的特点，可得答案．
【解答】解：侧面是曲面，底面是圆形，该模型对应的立体图形可能是圆锥，
故选：C．
考点二 立体图形棱、面的个数
例1
（1）三棱柱的顶点数是__6__，棱数是___9___，面数是__5__．
（2）三棱锥的顶点数是___4 __，棱数是___6 ___，面数是___4__．
（1）【答案】 6 9 5
（2）【答案】 4 6 4
例2
如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱．

（1）四棱柱有___ 8___个顶点，____12___条棱，____6 ____个面；
（2）五棱柱有_____10 ____个顶点，_____15____条棱，_____7____个面；
（3）那么n棱柱有_____2n____个顶点，_____3n ____条棱，____(n+2)_____个面．
【答案】 8 12 6 10 15 7 2n 3n (n+2)
【解析】
【分析】
根据棱柱的形体特征进行解答即可．
【详解】
解：由棱柱的形体特征可知：
（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；
（2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；
（3）n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面；
故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3）2n，3n，（n+2）．
变1
n棱柱的面数是10，则它有___16___个顶点，共有__24____条棱．
【答案】 16 24
【解析】
【分析】
根据棱柱的特点：有两个底面，故有8个侧面，进而得到答案．
【详解】
解：n棱柱的面数是10，去掉上下两个底面，还有8个侧面，因此上线底面是全等的八边形，故它有16个顶点，24条棱，
故答案为：16；24．
变2
若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条侧棱的长为___8___．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据这个棱柱有10个面，求出这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为64cm，即可得出答案．
【详解】
解：∵这个棱柱有10个面，
∴这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，
∵所有侧棱的和为64cm，
∴每条侧棱长为64÷8=8（cm）；
故答案为：8
变3
不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有7个面；
乙同学：它有10个顶点．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）
【分析】根据五棱锥的特点，可得答案．
【解答】解：五棱柱的两个底面是五边形，侧面是五个长方形，共有7个面；
五棱柱有10个顶点，
故选：B．
例3
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型得：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是_______________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据分析即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系；
（2）根据（1）的结论求解即可；
（3）先求得棱数，再代入（1）的关系式求解即可．
【详解】
（1），
，
，
，
，
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得，
故答案为：；
（3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
共有条棱，
，
解得；
设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，则即为多面体的面数，
．
例4
如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．

（1）根据要求填写表格：
（2）猜想三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）2020
【解析】
【分析】
（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出．
（3）代入求出即可．
【详解】
解：（1）
（2）猜想：；
（3），，
，
，
即它的面数是2020．
变4
欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： V+F﹣E=2 ．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】（1）6，9，12，6；（2）V+F﹣E=2；（3）x+y=14
【解析】
【分析】
（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；
（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；
（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x+y的值．
【详解】
解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；
故答案为：6，9，12，6；
（2）由题可得，V+F-E=2，
故答案为：V+F-E=2；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴共有24×3÷2=36条棱，
∵24+F-36=2，
解得F=14，
∴x+y=14．
考点三 点、线、面、体的关系
1.正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种.
2.正方体展开图口诀： 一线不过四；田凹应弃之.
例1
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．
【详解】
解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；
C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
变1
在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】
解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故选：A．
例2
如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．
【详解】
解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台，
故选：B．
例3
如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．
【详解】
解：如图所示：
变2
下面图形是由（ ）绕直线旋转一周得到的.

【答案】A
【解析】
【分析】
根据面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，直角梯形绕某条边旋转是圆台或圆柱与圆锥组合体，半圆案绕直径旋转是球，从而可得答案．
【详解】
解：把选项A中图形，绕旋转一周，可得到圆柱与圆锥组合体，故A符合题意；
把选项B中图形，绕旋转一周，可得到球，故B不符合题意；
把选项C中图形，绕旋转一周，可得到圆台，故C不符合题意；
把选项D中图形，绕旋转一周，可得到圆锥，故D不符合题意；
故选：A.
变3
将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形角度和顶点观察，绕对角线可得答案．
【详解】
解：通过观察可知，B图形的构造满足旋转结果．
故选：B．
变4
请找出图中相互对应的图形，并用线连接．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用面动成体解答即可．
【详解】
解：本题考查平面图形旋转与几何体形成的一种方法，如图所示：
考点四 立体图形染色问题
例1
一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，
需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（ ）

【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．
【解答】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，
第二层，侧面积为4，
第三层，侧面积2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，
最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，
5+4+11+17＝37，
所以被他涂上颜色部分的面积为37平方分米．
故选：B．
例2
如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三
棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的
叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）”得（ ）
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【解答】解：∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，
∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，
∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：3×4＝12（个）；
∴（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）＝6+4﹣12＝﹣2；
故选：B．
变1
把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图的形状放在桌面上，现在向这堆木块没与桌面接触的
五个面喷油漆，则有 7 块木块完全喷不到漆．

【分析】将“最外层”切去，剩下的是完全不涂颜色的部分，再根据实际情况进行判断即可．
【解答】解：如图，将“4×4×4”的大正方体分别切去涂漆的五个面的“最外层”后，还剩下“2×2×3”的小正方体，
而这“12个”又拿去一部分，因此在上层“涂红、绿、蓝色”的下面各有2块是完全没有涂颜色的，在下层“涂黄色”的下面有1个完全没有涂颜色，因此共有2×3+1＝7
故答案为：7．
变2
把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
把每一层的面积求出，相加即可得出答案．
【详解】
棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米，
最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米，
总面积为（平方分米），
中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
（平方分米），
被涂上颜色的部分面积为33平方分米．
故选：A．
考点五 表面积和体积计算
例1
一个长方体的长是25分米，宽是18分米，高是12分米，这个长方体的表面积是多少？
【答案】这个长方体的表面积是1932dm²．
【解析】
【分析】
根据长方体的表面积公式即可求解．
【详解】
S=2×（25×18+25×12+18×12）
=2×（450+300+216）
=2×966
=1932（dm²）
答：这个长方体的表面积是1932dm²．
例2
有一个四棱柱，
（1）若它的底面边长都是5cm，所有侧面的面积和是40cm²，那么它的侧棱长是多少？
（2）若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么？它的体积是多少？
（3）若它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为2cm，8cm，腰长为5cm，高是4cm，它的侧棱长是底面周长的一半，求该四棱柱的体积.
【答案】（1）2cm；（2）正方体，125cm3；（3）200cm3.
【解析】
【分析】
（1）先求出一个侧面的面积，再求侧棱长即可；
（2）根据所有棱都相等可知是正方体，然后求出棱长计算体积即可；
（3）先求出底面梯形的面积和周长，然后可得侧棱长，再计算体积即可.
【详解】
解：（1）（cm²），
侧棱长=10÷5=2（cm）；
（2）∵它的所有棱都相等，
∴它的形状是正方体，
棱长=60÷12=5（cm）
；
（3）由题意得：cm，(cm)，
∴(cm)，
∴该四棱柱的体积.
变1
如图，直棱柱的底面边长都相等，底面边长是3.5cm，高是4cm，解答下列问题．
（1）这是几棱柱，共有几个面？
（2）这个棱柱的侧面积是多少cm²？
【答案】（1）直六棱柱；8；（2）84cm2
【解析】
【分析】
（1）根据棱柱的定义，即可得到答案；
（2）由侧面积的计算方法进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意可知，该棱柱是直六棱柱，共有8个面；
（2）侧面积为：（cm2）；
变2
如图，以AB所在直线为轴，旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（取3.14）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知得到的几何体的是圆锥加圆柱，分别求出体积即可.
【详解】
以AB所在直线为轴，旋转一周，得到的几何体的是圆锥加圆柱
故体积为=
例3
圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；
【详解】
由题意可知，圆柱的体积=πh1，圆锥的体积=πh2，
∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，
∴，
∴=2：9．
故选：D．
例4
将一根长4m的圆柱体木料锯成2段(2段都是圆柱体)，表面积增加60dm2，这根木料的体积是______m3．
【答案】1.2
【解析】
【分析】
将一根长4m的圆柱体木料锯成2段，增加两个底面，又知表面积增加60dm2，由此求出这根木料的底面积，根据圆柱的体积公式即可计算．
【详解】
解：60dm2=0.6m2
0.6÷2=0.3(m2)
0.3×4=1.2(m3)，
故这根木料的体积是1.2m3．
故答案为：1.2．
变3
用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm．
（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？
（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？
（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？
【答案】（1）218cm；（2）；（3）810
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的周长公式，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形的面积公式，可得答案．
【详解】
解：（1）2（30×2＋20×2）＋18＝218（cm），
答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；
（2）由圆柱的体积公式，得
，
答：这个蛋糕盒子的体积是；
（3）蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm，
截面的面积是
答：蛋糕的表面积增加810平方厘米．
变4
用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度．
【详解】
解：∵，
∴倒出水的体积=，
则长方体容器中水下降的高度．
故答案选：B．
例5
把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱，那么把一个长为8cm、宽为6cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的圆柱的体积是___或__cm³．
【答案】或
【解析】
【分析】
以长方形的长边或短边为轴旋转，得出圆柱体的底面半径和高，根据体积的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：以长边8cm为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为6cm，高为8cm，
因此体积为：π×62×8=288π(cm3)；
以短边6cm为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为8cm，高为6cm，
因此体积为：π×82×6=384π(cm3)，
故答案为：或．
例6
在奇妙的几何之旅中，我们惊奇的发现图形构造的秘密：点动成线，线动成面，面动成体．这样就构造出来各种美妙的图案．我们将直角边长分别为3，4，斜边长5的直角三角形绕三角形其中一边旋转一周就可以得到一个几何体．请你计算一下所有几何体的体积（提示：）．
【答案】48，36，28.8．
【解析】
【分析】
分别绕直角三角形三边旋转时形成三种情况下的几何体，分别根据公式来求即可．
【详解】
当直角三角形绕边长为3的一边旋转时，得到底面半径为4高为3的圆锥，其体积为：
；
当直角三角形绕边长为4的一边旋转时，得到底面半径为3高为4的圆锥，其体积为：
；
在直角边长为3，4，斜边长为5的直角三角形中，斜边上的高为：，
当直角三角形绕边长为5的一边旋转时，得到底面半径为2.4，高和为5的两个共底圆锥，其体积为：
．
【方法点睛】在中学几何中，我们常用等面积法来求三角形的高.这个方法在中学几何中非常重要.
【例如】已知直角三角形ABC，两条直角边AB、BC分别为3、4，斜边AC为5.求斜边上的高？
【解答】设斜边上的高为h，直角三角形ABC的面积可表示为1/2AB×BC，亦可表示为1/2AC×h，所以
1/2AB×BC=1/2AC×h，即3×4=5×h，解得h=2.4.
变5
如图所示，在长方形ABCD中，，，且，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分別为、．下列结论中正确的是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据公式，得=，=，判断选择即可．
【详解】
∵=，=，
∴=．
故选C．
变6
探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．

（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
【答案】(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3
【解析】
【分析】
（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
(1)
解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，
体积为：cm3，
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，
体积为：cm3，
按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)
解：分两种情况
绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为cm3;
绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为cm3，
综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3．
变7
小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为6cm、8cm和10cm的直角三角形，绕其中一条边
旋转一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积=底面积×高）
【分析】根据三角形旋转是圆锥，可得几何体；根据圆锥的体积公式，可得答案．
【解答】解：以8cm为轴，得
以8cm为轴体积为π×62×8＝96π（cm3），
以6cm为轴，得
以6cm为轴的体积为π×82×6＝128π（cm3），
以10cm为轴，得
以10cm为轴的体积为π（）2×10＝76.8π（cm3）．
故几何体的体积为：96πcm3或128πcm3或76.8πcm3．
课后强化
1.按柱、锥、球分类，下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
【分析】从组成图形的面来考虑即可求解．
【解答】解：正方体，圆柱和四棱柱都是柱体，只有C选项是锥体．
故选：C．
【点睛】本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.如图，虚线左边的图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是（ ）

【分析】从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．根据“面动成体”可得答案．
【解答】解：根据“面动成体”可得，旋转后的几何体为两个底面重合的圆锥的组合体，
因此选项B中的几何体符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查“面动成体”，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
3.一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，需要把
露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（ ）

【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．
【解答】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，
第二层，侧面积为4，
第三层，侧面积2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，
最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，
5+4+11+17＝37，
所以被他涂上颜色部分的面积为37平方分米．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，注意分四层，每一层再分侧面积与上表面两部分求解，注意求解的层次性是关键．
4.在一个棱柱中，一共有八个面，则这个棱柱棱的条数有（ ）
【分析】根据棱柱是由8个面围成的，则有2个底面，6个侧面，可得此立体图形是六棱柱，再根据六棱柱的特点可得答案．
【解答】解：一个棱柱中，一共有八个面，则有2个底面，6个侧面，因此此立体图形是六棱柱，则这个棱柱棱的条数有18条．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点．
5.如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是
（ ）

【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．
【解答】解：将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是，
故选：B．
6.与九棱锥的棱数相等的是 六 棱柱．
【分析】求出九棱锥的棱数，再根据棱柱的特征进行计算即可．
【解答】解：九棱锥的棱的条数为9+9＝18（条），
而六棱柱的棱的条数为6+6+6＝18（条），
故答案为：六．
7.三棱柱有 5 个面， 9 条棱．
【分析】根据三棱柱的特征即可解答．
【解答】解：三棱柱有5个面，9条棱，
故答案为：5，9．
8.下列儿何体中，属于棱柱的有___①③⑤____（填序号）．

【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
根据棱柱的特征进行判断即可．
【详解】
解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，
因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，
故答案为：①③⑤．
9.如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体．即可完成连线．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．
10.计算下面圆锥的体积．
【分析】根据圆锥的体积解答即可．
【解答】解：圆锥的体积：＝（cm3）．
【点评】此题考查立体图形，关键是根据圆锥的体积解答．
11.已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
（1）它是几棱柱？它有多少个顶点？多少条棱？
（2）这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【分析】（1）根据棱柱面、顶点、棱之间的关系得出答案；
（2）计算侧面面积即可．
【解答】解：因为一个直棱柱有8个面，所以它是六棱柱，
所以有12个顶点，18条棱，
答：它是六棱柱，它有12个顶点，18条棱；
（2）因为六棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
所以侧面展开后是长为5×6＝30cm，宽为4cm的长方形，
因此侧面积为30×4＝120（cm2），
答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是120cm2．
12.如图，如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 4 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 20 个．
（2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）根据（2）得到的规律，进行计算即可．
【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个．
故答案为：4，20；
（2）观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）＝8n﹣4，
则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有8×100﹣4＝796；
（3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4）
＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4＝40000
故前100个图形的点数和为40000．
13.现将一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？
【答案】或.
【解析】
【分析】
圆柱体的体积=底面积×高，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．
【详解】
解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：；
绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：．
14.如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作．

方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）．
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）．
（1）上述操作能形成的几何体是 圆柱 ，说明的事实是 面动成体 ．
（2）请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．
【答案】（1）圆柱；面动成体；（2）方案一构造的圆柱的体积大；
【解析】
【分析】
（1）根据矩形旋转是圆柱，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式计算，可得答案．
【详解】
解：（1）矩形旋转可以得到圆柱，说明的事实是面动成体；
故答案为：圆柱；面动成体．
（2）方案一：π×32×4＝36π（cm3），
方案二：π×22×6＝24π（cm3），
∵36π＞24π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
15.世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则__8____，___6___．
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是____V+F-E=2___．
（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6
(2)V+F-E=2
(3)这个多面体的面数为16
【解析】
【分析】
（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
(1)
解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；
故答案为：8；6；
(2)
解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
(3)
解：由题意得：F+F-30=2，
解得F=16，
∴这个多面体的面数为16．
课程标准
1.认识柱体、椎体、球体，并能够熟练的进行立体图形的分类；
2.掌握柱体、椎体、球体的特征；
3.掌握柱体特征及其面的个数、棱的条数、顶点个数之间的关系；
4.掌握立体图形的表面积、体积公式；
5.掌握棱柱的顶点数、棱数、面数的计算方法；
6.掌握立体图形的表面积和体积的计算方法.
立体图形
各项个数
n棱柱
顶点个数_2n_，棱个数_3n_，面个数_n+2_，侧棱个数_n_，侧面个数_n_
n棱锥
顶点个数_n+1_，棱个数_2n_，面个数_n+1_，侧棱个数_n_，侧面个数_n_
立体图形
表面积公式
圆柱体
_2πR2+2πRh_（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
圆锥体
πr2+nπ（h2+r2）/360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
长方体
_2（ab+ah+bh）_（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
正方体
_6a2 __（a为正方体棱长）
立体图形
体积公式
圆柱体
__πR2h_（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
圆锥体
_1/3πR2h_（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆锥体高）
长方体
_abh_（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
正方体
__a3_（a为正方体棱长）
_正方体_
__长方体_
__圆柱__
__三棱柱__
__圆锥__
__球__
__四棱锥_
__五棱柱_
A．①②④⑥
B．②③④
C．②④⑤⑥
D．①②③⑥
A．三棱柱
B．三棱锥
C．圆锥
D．圆柱
立体图形
各项个数
n棱柱
顶点个数_2n_，棱个数_3n_，面个数_n+2_，侧棱个数_n_，侧面个数_n_
n棱锥
顶点个数_n+1_，棱个数_2n_，面个数_n+1_，侧棱个数_n_，侧面个数_n_
A．四棱柱
B．五棱柱
C．六棱柱
D．七棱柱
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
7
9
14
图2
6
8
12
图3
7
10
15
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
7
9
14
图2
6
8
12
图3
7
10
15
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
6
12
12
面数F
4
5
6
8
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上都不对
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．46米2
B．37米2
C．28米2
D．25米2
A．2
B．-2
C．0
D．4
A．33平方分米
B．24平方分米
C．21平方分米
D．42平方分米
A．2：3
B．4：5
C．2：1
D．2：9
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
A．
B．
C．
D．不确定
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．46米2
B．37米2
C．28米2
D．25米2
A．18条
B．15条
C．12条
D．21条
A．绕着AC旋转
B．绕着AB旋转
C．绕着CD旋转
D．绕着BC旋转
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
m
6
12
正八面体
n
8
12
正十二面体
20
12
30
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30