数学6.2 黄金分割精品一课一练

6.2黄金分割苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的(    )

A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割

2. 如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 是线段上一点，且满足，则称点是线段的黄金分割点大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点，求叶柄的长度设，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，是线段的黄金分割点，且，若矩形的面积为，则正方形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如果是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，平分，交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形中，的平分线交边于点，于点，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，为边上任意一点，下列命题为真命题的是(    )

A.   若 ，则
B. 若，则
C. 若，且为的黄金分割点，则平分
D. 若平分，则

9. 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形，分别取，的中点，，连接，，作的平分线，交的延长线于点，作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是(    )

A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形

10. 如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第个黄金三角形的周长(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在四边形中，，为边的黄金分割点，，，将四边形分为四个部分，它们的面积分别用，，，表示，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法：
    关于的一元二次方程，当、异号时，方程一定有实数根；
    关于的方程有一个根是，则；
    若最简二次根式与是同类二次根式，则或；
    数和的比例中项是；
    若点是线段的黄金分割点，且，则．
    其中正确的说法的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为，若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长为______
14. 如图，点是正方形的边上线段的黄金分割点，且，表示以为边长的正方形面积；表示以为长，为宽的矩形的面积，表示正方形除去，剩余的面积，则：的值为______．

15. 如图，点为线段的黄金分割点，已知，则_________ ．

16. 如图，中，，，的平分线与边的交点为边的黄金分割点，则           ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17.  如图，点在线段上，且设，求的长．
18. 先化简，再求值：，其中为黄金分割比．
19. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落到线段上，折出点的新位置，因而类似地，在上折出点，使这时就是的黄金分割点请你证明这个结论．

20. 如图，正方形的边长为，是的中点，点在的延长线上，且，四边形是正方形．

求、的长；

点是的黄金分割点吗？

21. 如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点，为上一点，经过点，
    求证：是的切线；
    在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由．

22. 如图，在中，，，．

填空：______；

阅读理解：如图，若线段上有一点，将线段分成两条线段，其中一条与全长比值为，则称点为的黄金分割点，如图，则为的一个黄金分割点．

作图：在图中用尺规作出边上黄金分割点保留作图痕迹，不写作法．

23. 如图，，甲、乙两个机器人同时从点出发，分别沿、方向前进若甲的速度为，乙的速度为，经过后，甲、乙分别到达、处

求的值；

为何值时，？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为，
又黄金分割比为，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的黄金分割，
故选：．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论．
本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设较短线段的长度为，
则，
由题意得，，
，
即，
设较短线段的长度为，则，根据，即可得出结果．
此题考查了黄金分割，掌握好相关知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】略
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割点的概念，关键是熟记黄金比的值，列出算式．根据点是线段的黄金分割点，且，得出，代入数据即可得出的值．
【解答】
解：为线段的黄金分割点，且，
，
，
．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
平分交于点，
，
，
，，
∽，
：：，
即，
，，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
即，
，
故选：．
证明∽，推出：：，可得，则点是线段的黄金分割点，即可解决问题．
本题考查黄金分割、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】分析
利用黄金矩形的定义可设，，再证明四边形为正方形，则，然后利用比例的性质对各选项进行判断．
本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
详解
解：矩形为黄金矩形，
设，，
平分，而，
四边形为正方形，
，

，
而，
，所以选项正确；
，，
，所以选项正确；
，，
，所以选项错误；
，，
，所以选项正确．
故选C．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，
，，
设，则，

，
，
，
正确，故本选项不符合题意．
B、如图中，作平分，则，

，，
∽，
，
，
，，
，，
，
设，，
则有，
，
或舍弃，
，
即，正确，本选项不符合题意．
C、若，且为的黄金分割点，点有两个位置，这个结论错误．本选项不符合题意．
D、若平分，不一定成立，错误，本选项不符合题意
故选：．
A、错误，当与不重合时，设，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质构建方程求出即可判断．当点与重合时，是等边三角形，此时，本选项错误，不符合题意．
B、正确，利用相似三角形的性质证明即可．
C、错误．无法证明平分．
D、错误．这个结论不一定成立，时，成立，本选项不符合题意．
本题考查命题与定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】分析
设正方形的边长为，根据勾股定理求出，根据黄金矩形的概念判断即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握正方形的性质、勾股定理，熟记黄金比值是解题的关键．
详解
解：设正方形的边长为，
点，分别为，的中点，
，，
矩形不是黄金矩形，A错误；
同理，矩形不是黄金矩形，B错误；
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
矩形是黄金矩形，C正确；
，
矩形不是黄金矩形，D错误；
故选C．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
的周长为；
的周长为；
的周长为；
依此类推，
第个黄金三角形的周长为，
第个黄金三角形的周长为．
故选：．
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第个黄金三角形的周长为，从而得出答案．
本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设．
是的黄金分割点，，
，，
，，
，
即，
，
故选：．
设求出，的面积用表示，可得结论．
本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查黄金分割、最简二次根式、同类二次根式、一元二次方程的根的判别式、方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用判别式的值即可判断；根据方程的解的定义即可解决问题；根据最简二次根式是定义即可判断；根据比例中项的定义即可解决问题；根据黄金分割的定义即可解决问题；
【解答】
解：关于的一元二次方程，当、异号时，方程一定有实数根；正确，此时；
关于的方程有一个根是，则；正确；
若最简二次根式与是同类二次根式，则或；错误，不符合题意，不是最简二次根式；
数和的比例中项是；错误，数和的比例中项是，
若点是线段的黄金分割点，且，则错误，若点是线段的黄金分割点，且，则或．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】解：设汽车的车身总长为米，则车尾与倒车镜的水平距离为，
，
解得：．
故答案为：；
利用黄金分割比的数学意义列出比例式解答即可．
本题主要考查了黄金分割比的数学意义，利用黄金分割的数学意义列出比例式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
点是边边上的黄金分割点，，
，
则，
：：，
故答案为：．
设，根据黄金比值用表示出、，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了黄金分割的定义，根据点是线段的黄金分割点，且，得出，代入数据即可得出的值．

【解答】

解：为线段的黄金分割点，且，
，
，
，

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
先根据等角对等边证明，再根据黄金分割的定义解答即可．
【解答】
解：，，
，
又平分，
，
，
，
点是的黄金分割点，
．
故答案为．  

17.【答案】解：设，则．

由，得，即．

解这个方程，得，不合题意，舍去．

于是，的长为．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：原式

，
为黄金分割比，
，
原式


． 

【解析】先进行分式的化简，再将黄金分割比代入计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，黄金分割，利用分式的约分法则进行化简是解题的关键．
 

19.【答案】证明：设正方形纸片的边长为．
为的中点，
，在中，．
，
．
又，
，
点是线段的黄金分割点． 

【解析】见答案
 

20.【答案】略 

【解析】略
 

21.【答案】解：连接，则，

而是由沿折叠而得：
故AE，，

，，
是的切线；
，
，
故：点是线段的黄金分割点． 

【解析】通过“连直径、证垂直”的方法，证明，即可求解；
，即可求解．
本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
 

22.【答案】；
解：如图：，是边上的黄金分割点．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，黄金分割点，尺规作图有关知识．
利用勾股定理计算即可；
根据题意直接做出黄金分割点即可．
【解答】
解：，，，
．
故答案为；
见答案．  

23.【答案】略 

【解析】略