初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割精品随堂练习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割精品随堂练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为cm.( )
A. 5−1B. 25−2C. 55−5D. 105−10
2.把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为( )
A. 3− 5B. 5−1C. 1+ 5D. 2− 5
3.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若BP= 5−1，AB的长为( )
A. 5+1B. 2C. 3+ 5D. 3− 5
4.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC> BC，则AC的长为
( )
A. 5−12cmB. 2( 5−1)cmC. 4( 5−1)cmD. 6( 5−1)cm
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度(俗称“腿长”)之比是黄金比，著名的“断臂维纳斯”便是如此.假定一位身高180cm的时尚模特符合最美人体的标准，那她的“腿长”最接近的数据是( )
A. 107cm
B. 109cm
C. 111cm
D. 113cm
6.已知C是线段AB的黄金分割点，ACA. 5−1B. ​5+12C. 3−​5D. ​5−12
7.已知点P在线段AB上，满足AP2=BP⋅AB，那么下列式子成立的是
( )
A. APAB= 5−12B. APBP= 5−12C. BPAB= 5+12D. BPAP= 5+12
8.一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半.小英将该篮球从距离水平地面10米处的点A处扔下，使之自由下落，落到水平地面上的点B处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点C处，第二次位于点D处，且C，D分别为AB，BC的黄金分割点，以此类推.同时，小英发现对于实数a，n，若0A. 15+5 5B. 15+10 5C. 20+10 5D. 30+10 5
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC=2，则CB的长为( )
A. 5−1
B. 3− 5
C. 5−12
D. 5
10.如图1，线段AB长为2，点C是线段AB上一动点(不与端点重合)，设BC长为x，如图2，在同一直角坐标系中甲表示y1=ACBC的值随x的变化情况，乙表示y2=BCAB的值随x的变化情况，则点P所对应的x值为( )
A. 5−12B. 1C. 5−1D. 5+12
11.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，E为边AB的黄金分割点(AE>BE)，AD=AE，BC=BE.AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是( )
A. S ​1=4S ​2B. S 4=3S ​2C. S ​1=S 3D. S ​3=S ​4
12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E.若AB=4，则CE的长度为( )
A. 2
B. 2 5−2
C. 2 5+2
D. 6−2 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，若AC=10，则AB= .(答案保留根号)
14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
15.已知线段AB=4cm，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=______．
16.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12，这个数我们把它叫做黄金分割数.若 5−1介于整数n和n+1之间，则n的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD18.(本小题8分)
请阅读下列材料，并完成相应任务．
完成以下任务：
(1)如图2，线段AB被点C黄金分割.若AB长为10cm，求AC的长；(结果保留小数点后一位)
(2)如图3，一根一侧烧毁的木棒工件AB(粗度不计)，在它的两个黄金分割点C，D处钻有小孔.若量得C，D间的距离约为23.6cm，求木棒AB的原长度．
19.(本小题8分)
如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2=BC⋅AB(AC>BC)，则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y=ax2+bx+c，满足b2=ac(b≠0)，则称此抛物线为黄金抛物线．
(Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x=2，且与y轴交于点(0,8)，求y的最小值；
(Ⅱ)若黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3)，把它向下平移后与x轴交于A( 5+3,0)，B(x0,0)，判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1，b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q，q2+nq−1=p，求pq−n的值．
21.(本小题8分)
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可采用下面的方法：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．
(1)求∠3的度数；
(2)在第(1)题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 5−12)，若已知AB=4，求BC的长．
22.(本小题8分)
如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积．比较S1与S2的大小，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，设线段AC=1．
(1)过点C画CD⊥AC，使CD=12AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
(2)在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．

(1)求∠B的度数；
(2)我们把顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的底边长与腰长的比等于黄金比 5−12．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
25.(本小题8分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC²=BC×AB，要求线段AC的长度，我们可以先设AC= x，则BC=AB−AC=1−x，
∵AC²=BC×AB，∴x2=1×1-x
从而可得：AC的长度为__________________
(2)根据上述方法，已知线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，求线段AD的长度；
(3)已知线段AD上的点E满足关系式AE²=DE×AD，请直接写出线段AE的长度；
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=5 5−5(cm)，
故选：C．
直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
此题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是 5−12是解题的关键．
根据黄金比值是 5−12计算即可．
【解答】
解：把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为 5−12×2= 5−1，
则较短线段的长为：2−( 5−1)=3− 5，
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，BP= 5−1，
∴BPAP=APAB= 5−12，
∴AP=2，
∴AB=AP+BP=2+ 5−1= 5+1，
故选：A．
先根据黄金分割的定义求出AP的长，即可求解．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据黄金分割点的概念得：AC= 5−12AB=4( 5−1)cm．
故选：C．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比．
考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．
5.【答案】C
【解析】解：设模特的“腿长”为x cm，
∵模特满足黄金分割比，且身高为180cm，
∴180−xx≈0.618，
解得：x≈111cm，
即模特的“腿长”约为111cm，
故选：C．
设模特的“腿长”为xcm，由黄金分割的定义得180−xx≈0.618，求解即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，解题的关键是掌握黄金比值约为0.618．
6.【答案】A
【解析】解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，AC∴BC= 5−12AB=2× 5−12= 5−1；
故选A．
根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的 5−12倍，计算即可．
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52，倍，较长的线段=原线段的 5−12倍．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是黄金分割的有关知识，把AB当作已知数求出AP，求出BP，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【解答】
解：∵AP2=BP⋅AB，
∴AP2−BP·AB=0，
∵点P在线段AB上，
∴BP=AB−AP，
∴AP2−(AB−AP)·AB=0，
∴AP2−AB2+AP·AB=0，
∴AP=−AB± AB2−4×1×−AB22，
解得AP=−AB+ 5AB2(负值不合题意，舍去)，
则BP=AB−AP=AB−−AB+ 5AB2=3− 52AB
则APAB= 5−12，故A正确；
APBP=−AB+ 5AB23− 52AB= 5+12，故B错误；
则BPAP=2 5+1= 5−12，故D错误；
则BPAB=3− 52，故C错误．
8.【答案】A
【解析】解：篮球的总路程为：10+10× 5−12+10×( 5−12)2+10×( 5−12)3+……+10×( 5−12)n≤10×3+ 52=15+5 5，
故选：A．
先求出每次弹跳的路程，再求和．
本题考查了黄金分割的应用，掌握等比数列的求和公式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过C作CH⊥AB于H，
∵AB=AC=2，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠CDB=180°−∠B−∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD，
∴BC=AD=CD，
设BC=AD=CD=x，
∴BD=2−x，
∴DH=BH=12BD=1−12x，
∴AH=1+12x，
∵BC2−BH2=CH2=AC2−AH2，
∴x2−(1−12x)2=22−(1+12x)2，
解得x= 5−1(负值舍去)，
故CB= 5−1，
故选：A．
过C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=72°，推出BC=AD=CD，设BC=AD=CD=x，得到BD=2−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确地作出辅助线．
10.【答案】C
【解析】解：∵y1图象与y2图象交于点P，
∴ACBC=BCAB，
∴BC2=AC⋅AB，
∴对图1来讲，C点刚好是黄金比例点，
∴BC= 5−12AB，
∵AB=2，
∴BC= 5−12AB= 5−12×2= 5−1，
∴x= 5−1，
∴点P所对应的x值为 5−1．
故选：C．
y1图象与y2图象交于点P，则它们的横纵坐标值相等，可得ACBC=BCAB，BC2=AC⋅AB，对图1来讲，C点刚好是黄金比例点，进而可得点P的坐标．
本题考查了黄金分割知识点，结合图象理解题意，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11.【答案】C
【解析】解：设AB=a．
∵E是AB的黄金分割点，AE>EB，
∴AD=AE= 5−12a，BE=BC=a(1− 5−12)=3− 52a，
∴S△ADE=12⋅( 5−12a)2=3− 54a2，S△ABC=12×a×3− 52a=3− 54a2，
∴S△ADE=S△ABC，
即S1+S2=S2+S3，
∴S1=S3，
故选：C．
设AB=a.求出△ADE，△ABC的面积(用a表示)，可得结论．
本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠A=180°−∠C−∠ABC=36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=36°，
∴∠CBE=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB=CB：CA，
∵∠CEB=∠A+∠ABE=72°，
∴∠CEB=∠C，
∴BC=BE=AE，
∴CE：AE=AE：CA，
∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE>CE，
∴AE= 5−12AC=2 5−2，
∴CE=AC−AE=4−(2 5−2)=6−2 5，
故选：D．
证△CBE∽△CAB，得CE：CB=CB：CA，再证BC=BE=AE，然后证点E是线段AC的黄金分割点，求出AE的长，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△CBE∽△CAB是解题的关键．
13.【答案】5 5−5
【解析】解：∵B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，AC=10，
∴AB= 5−12AC= 5−12×10=5 5−5，
故答案为：5 5−5．
根据黄金分割的定义可得AB= 5−12AC，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14.【答案】略
【解析】略
15.【答案】(2 5−2)cm
【解析】解：由于C为线段AB=4cm的黄金分割点，
且AC>BC，
则AC= 5−12AB= 5−12×4=(2 5−2)cm．
故答案为：(2 5−2)cm．
根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，所以AC= 5−12AB，代入数据即可得出AC的长度．
此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
16.【答案】1
【解析】解：∵2< 5<3，
∴2−1< 5−1<3−1，
∴1< 5−1<2，
∴n=1．
故答案为：1．
根据2< 5<3，判断出n的值即可．
本题考查黄金分割，估算无理数的大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】证明：∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD∴ADCD=CDAC，
∵AB=CD，
∴ADAB=ABAC，
而∠DAB=∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ADB=∠ABC．
【解析】利用点D是线段AC的黄金分割点得到ADCD=CDAC，而AB=CD，所以ADAB=ABAC，然后判断△ABD∽△ACB得到结论．
此题考查了黄金分割点、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵线段AB被点C黄金分割，AC∴BC≈0.618AB=0.618×10=6.18(cm)，
∴AC=AB−BC=10−6.18=3.82≈3.8(cm)，
答：AC的长约为3.8cm；
(2)设木棒AB的原长度为x cm，
∵点C和点D是木棒工件AB的两个黄金分割点，
∴AD=BC≈0.618AB=0.618x(cm)，
∵AD+BC−CD=AB，CD≈23.6cm，
∴0.618x+0.618x−23.6=x，
解得：x=100，
答：木棒AB的原长度约为100cm．
【解析】(1)先利用黄金分割的定义求出BC的长，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
(2)设木棒AB的原长度为x cm，根据黄金分割的定义可得AD=BC≈0.618AB=0.618x cm，然后利用线段的和差关系列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵黄金抛物线的对称轴是直线x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a，又b2=ac
∴16a2=ac．
又抛物线与y轴交于点(0,8)，
∴c=8．
∴a=12，b=−2．
∴y=12x2−2x+8
=12(x−2)2+6，
∵12>0，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
(Ⅱ)原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3)，
把它向下平移后与x轴交于A( 5+3,0)，B(x0,0)，
∴x0=−1− 5．
∴OA=3+ 5，OB=1+ 5，AB=4+2 5．
OA2=(3+ 5)2=14+6 5．
OB⋅AB=(1+ 5 )(4+2 5)=14+6 5．
∴OA2=OB⋅AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
【解析】本题考查了黄金分割、二次函数的性质、二次函数的最值，解决本题的关键是综合运用以上知识．
(Ⅰ)根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；
(Ⅱ)根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
20.【答案】解：(1)由题意，将m=1代入x2+mx−1=0得，x2+x−1=0，
∴x1,2=−1± 12−4×(−1)2=−1± 52．
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为−1+ 52．
(2)∵b2−2mb=4，
∴b2−2mb−4=0．
∴(−b2)2+m⋅(−b2)−1=0．
又b≠−2a，
∴a，−b2是一元二次方程x2+mx−1=0的两个根．
∴a⋅(−b2)=−1．
∴ab=2．
(3)由题意，令p2+np−1=q①，q2+nq−1=p②，
∴①+②得，(p2+q2)+n(p+q)−2=p+q，
(p+q)2−2pq+n(p+q)−2=p+q．
又①−②得，(p2−q2)+n(p−q)=−(p−q)，
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p−q≠0，
∴(p+q)+n=−1．
∴p+q=−n−1．
又(p+q)2−2pq+n(p+q)−2=p+q．
∴(−n−1)2−2pq+n(−n−1)−2=−n−1．
∴n2+2n+1−2pq−n2−n−2=−n−1．
∴pq=n．
∴pq−n=0．
【解析】(1)依据题意，将m=1代入然后解一元二次方程x2+x−1=0即可得解；
(2)依据题意，将b2−2mb=4变形为(−b2)2+m⋅(−b2)−1=0，从而可以看作a，−b2是一元二次方程x2+mx−1=0的两个根，进而可以得解；
(3)依据题意，将已知两式相加减后得到两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)如图，连接AN，

由折叠可得：∠1=∠2，AB=NB，EF垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴AB=NA=NB，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=∠ABC−∠NBC=90°−60°=30°；
(2)如图：

∵ABCD是矩形纸片，GH⊥BC，
∴AB=GH=DC=4，
∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GH=4，
∴DGGH= 5−12，
∴DG=2 5−2=CH，
∵∠1=∠2=∠3=30°，
∴BG=2GH=8，
由勾股定理得BH= 82−42= 64−16=4 3，
∴BC=BH+HC=4 3+2 5−2．
【解析】(1)连接AN，先证明△ABN为等边三角形，从而∠1=∠2=∠3=30°；
(2)先根据黄金矩形求出CH=2 5−2，再根据∠1=∠2=∠3得到∠3=30°，然后根据30度角的性质和勾股定理求出BH=4 3，然后作答即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，30度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键．
22.【答案】解：S1>S2．
理由如下：
设AB=2，
∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
∴PA= 5−12AB= 5−1，
∴PB=2−( 5−1)=3− 5，
∵S1=( 5−1)2=6−2 5，S2=2×(3− 5)=6−2 5，
∴S1=S2．
【解析】设AB=2，根据黄金分割的定义得到PA= 5−1，则PB=2−( 5−1)=3− 5，则根据矩形和正方形的面积公式得到S1=6−2 5，S2=6−2 5，然后进行大小比较即可．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
23.【答案】解：(1)如图，点B为所作；
(2)点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC=a，则CD=12a，
∴DE=DC=12a，
∵AD= a2+(12a)2= 52a，
∴AE=AD−DE= 52a−12a= 5−12a，
∴AB= 5−12a，
即AB= 5−12AC，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)设AC=a，则DE=DC=12a，利用勾股定理得到AD= 52a，所以AE= 5−12a，则AB= 5−12a，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
24.【答案】解：(1)设∠B=x，
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠B=x，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x，
∵AC=DC，
∴∠A=∠ADC=2x，
∵∠ACE=∠B+∠A，
∴x+2x=108°，解得x=36°，
即∠B的度数为36°；
(2)①△ABC、△CAD都是黄金三角形．
∵∠BCA=180°−∠ACE=72°，
而∠A=2×36°=72°，
∴∠A=∠ACB，
而∠B=36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD=∠ACB−∠DCB=72°−36°=36°，
而CA=CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴ACBC= 5−12，
而BC=2，
∴AC= 5−1，
∴CD=CA= 5−1，
∵BD=CD= 5−1，
∴AD=AB−BD=2−( 5−1)=3− 5．
【解析】本题考查了考查了等腰三角形的性质，黄金分割，三角形外角性质等知识．
(1)设∠B=x，利用等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=x，则∠ADC=2x，再表示出∠A=∠ADC=2x，利用三角形外角性质得到x+2x=108°，解方程求出x即可；
(2)①利用黄金三角形的定义可判断△ABC、△CAD都是黄金三角形．
②根据黄金三角形的定义得到ACBC= 5−12，则AC= 5−1，所以CD=CA=BD= 5−1，然后计算AB−BD即可．
25.【答案】解：(1) 5−12；
(2)设线段AD的长度为y，AC=l，
因为线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，
所以y2=ll−y，
所以y1= 5−12l,y2=− 5−12l(舍去)，
所以线段AD的长度为： 5−12AC;
(3)根据(2)的解答过程，可得：
AE的长度为： 5−12AD．
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割的应用，一元二次方程的应用．
(1)解一元二次方程即可；
(2)设线段AD的长度为y，AC=l，根据线段AC上的点D满足关系式AD²=CD×AC，列方程求得答案；
(3)根据(2)的解答过程，可得答案．
【解答】
解：(1)先设AC= x，则BC=AB−AC=1−x，
∵AC²=BC×AB，
∴x2=1×1-x，
x2+x−1=0，
解得：x1= 5−12,x2=− 5−12(负值舍去)，
AC的长度为 5−12；
故答案为 5−12；
(2)见答案；
(3)见答案．如图1，公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.如图2，在线段AB上找一点C，把线段AB分成AC和CB两段，其中AC是较短的一段.如果AC：CB=CB：AB，那么称线段AB被点C黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为0.618，即AC≈0.618BC，BC≈0.618AB．