高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后作业题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题）
1. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A. y=1+x2B. y=x+1xC. y=2x+12xD. y=x+ex

2. 设 fx 是定义在 R 上的奇函数，且当 x≤0 时，fx=x2−12x，则 f1 等于
A. −32B. −12C. 32D. 12

3. x 为实数，x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y=x−x 在 R 上为
A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 以上都不对

4. 已知函数 fx=ax3+bxa≠0 满足 f−3=3，则 f3 等于
A. 2B. −2C. −3D. 3

5. 若奇函数 fx 在 −∞,0 上的解析式为 fx=x1+x，则 fx 在 0,+∞ 上有
A. 最大值 −14B. 最大值 14C. 最小值 −14D. 最小值 14

6. 定义在 R 上的偶函数 fx 在区间 −1,0 上是减函数，若 A，B 是锐角三角形的两个内角，则
A. fsinA>fcsBB. fsinAC. fsinA>fsinBD. fcsA
7. 设 fx 是 R 上的偶函数，且在 0,+∞ 上单调递减，若 x1<0 且 x1+x2>0，则
A. f−x1>f−x2
B. f−x1=f−x2
C. f−x1D. f−x1 与 f−x2 大小不确定

8. 若函数 y=fx 是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 fx=0 的所有实数根之和为
A. 4B. 2C. 1D. 0

9. 已知函数 fx 为定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，fx=xx−1，则 f2=
A. −6B. 6C. −2D. 2

10. 如果奇函数 y=fx 在区间 3,7 上是增函数，且最小值为 5，那么 y=fx 在区间 一7,−3 上是
A. 增函数且最大值为 −5B. 增函数且最小值为 −5
C. 减函数且最小值为 −5D. 减函数且最大值为 −5

11. 函数 y=x2+lgx+x2+1+1 的图象关于
A. 原点对称B. x 轴对称
C. y 轴对称D. 直线 y=x 对称

12. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 f−x=fx，且函数 fx 在 −∞,0 上是减函数，若 a=f2cs2π3，b=flg124.1，c=f20.8，则 a，b，c 的大小关系为
A. a
13. 已知函数 fx=1,x>00,x=0−1,x<0，设 Fx=x2⋅fx，则 Fx 是
A. 奇函数，在 −∞,+∞ 上单调递减
B. 奇函数，在 −∞,+∞ 上单调递增
C. 偶函数，在 −∞,0 上递减，在 0,+∞ 上递增
D. 偶函数，在 −∞,0 上递增，在 0,+∞ 上递减

14. 若函数 fx=x−2ax+b 为偶函数，且在 0,+∞ 上单调递增，则 f2−x>0 的解集为
A. xx>4或x<0B. x−2C. xx>2或x<−2D. x0
二、填空题（共5小题）
15. 若函数 y=m+1xx>0 是严格减函数，则实数 m 的取值范围是 ．

16. 已知 y=fx 是奇函数，当 x≥0 时，fx=x23，则 f−8 的值是 ．

17. 已知奇函数 y=fx 在 −∞,0 上严格单调递减，且 f2=0，则 x−1⋅fx−1>0 的解为 ．

18. 设定义在 −2,2 上的奇函数 y=fx 在区间 0,2 上严格单调递减，若 fm+fm−1>0，则实数 m 的取值范围为 ．

19. 若函数 fx=x2−1+a−x2 为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题）
20. 定义在 −2,2 上的函数 y=fx 满足 fx+2=−fx，且当 x∈0,2 时，fx=2x−x2．求 x∈−2,0 时的函数 y=fx 的表达式，并证明 y=fx 在区间 −2,2 上是奇函数．

21. 设 fx=2x−12x+1．
（1）判断函数 y=fx 的奇偶性，并说明理由；
（2）求证：函数 y=fx 在 R 上是严格增函数；
（3）若 f1−t+f1−t2<0，求 t 的取值范围．

22. 已知 fx=ax+b1+x2（−1（1）求函数 y=fx 的解析式；
（2）设 gx=fx+x，求证：函数 y=gx 是奇函数；
（3）解不等式：ft−12+ft2−2<−2t2+2t+1．

23. 设函数 y=fx 是定义在 −1,1 上的奇函数，且对任意 a,b∈−1,1，当 a+b≠0 时，都有 fa+fba+b>0．
（1）解不等式 fx−12（2）设函数 y=fx−c 的定义域为 P，y=fx−c2 的定义域为 Q，若 P∩Q=∅，求实数 c 的取值范围．

24. 已知函数 fx=x+ax2（x≠0，常数 a∈R）．
（1）讨论函数 fx 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 fx 在 x∈1,+∞ 上是单调函数，求 a 的取值范围．

25. 设 a>0，fx=exa+aex 是 R 上的偶函数．
（1）求 a 的值；
（2）证明 fx 在 0,+∞ 上是增函数．
答案
1. D
【解析】易知 y=1+x2 与 y=2x+12x 是偶函数，y=x+1x 是奇函数．
2. A
3. D
4. C
5. B
6. A
【解析】因为偶函数 fx 在区间 −1,0 上是减函数，所以 fx 在区间 0,1 上为增函数．又由 A，B 是锐角三角形的两个内角，所以 A+B>π2，A>π2−B，1>sinA>csB>0．所以 fsinA>fcsB．
7. A
8. D
9. A
10. A
11. C
12. A
【解析】根据题意，函数 fx 满足 f−x=fx，则函数 fx 为偶函数，
a=f2cs2π3=f2csπ3=f1，
b=flg124.1=flg24.1，
c=f20.8，
又函数 fx 在 −∞,0 上是减函数，
则 fx 在 0,+∞ 上为增函数，且 1<20.8<213. B
【解析】因为 f−x=−1,x>00,x=01,x<0=−1,x>00,x=0−1,x<0=−fx，
所以 fx 为奇函数，
又 Fx=x2⋅fx，
所以 F−x=−x2⋅f−x=−x2⋅fx=−Fx，
所以 Fx 是奇函数，可排除C，D．
又 Fx=x2⋅fx=x2,x>00,x=0−x2,x<0
所以 Fx 在 −∞,+∞ 上单调递增，可排除A．
14. A
【解析】函数 fx=x−2ax+b=ax2+b−2ax−2b 为偶函数，
∴b−2a=0，b=2a，fx=ax2−4a．
再根据 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
∴a>0．
令 ax2−4a=0，求得 x=±2，
则由 f2−x>0，可得 2−x>2，或 2−x<−2，求得 x<0，或 x>4，
故 f2−x>0 的解集为 xx>4或x<0．
15. m>−1
16. −4
【解析】f8=823=4，
因为 fx 为奇函数，
所以 f−8=−f8=−4．
17. −1,1∪1,3
18. −1,12
19. 1,+∞
【解析】函数的定义域为 1≤x2≤a2，故有 a≥1，
又因为当 a=1 时，fx=0 既为偶函数又为奇函数，
所以 a>1．
20. 当 −2≤x≤0 时，0≤x+2≤2，fx=−fx+2=−2x+2−x+22=x2+2x．
故 fx=x2+2x−2≤x≤0．
所以 fx=x2+2x, −2≤x≤0−x2+2x. 0当 −2≤x<0 时，0<−x≤2，fx=x2+2x，f−x=−x2−2x．此时 f−x=−fx；
当 0当 x=0 时，fx=0，f−x=0．
所以，任意的 x∈−2,2，均有 f−x=−fx 成立，即 y=fx 是奇函数．
21. （1） 奇函数．
（2） 证明略．
（3） t>1 或 t<−2．
22. （1） fx=13x1+x2．
（2） 证明略．
（3） 因为 ft−12+ft2−2<−2t2+2t+1，
所以 ft−12+t2−2t+1+ft2−2+t2−2<0；
即 gt−12+gt2−2<0，即 gt−12<−gt2−2=g2−t2．
又 gx 在 −1,1 上为严格增函数，
所以 t−12<2−t2，且 −1即不等式的解集为 1,1+32．
23. （1） −12,54．
（2） −∞,−1∪2,+∞．
24. （1） 当 a=0 时，fx=x，该函数的定义域为 xx≠0，f−x=−x=−fx，
此时，函数 y=fx 为奇函数；
当 a≠0 时，fx=x+ax2，该函数的定义域为 xx≠0，f−x=−x+ax2，
则 f−x≠fx，f−x≠−fx，此时，函数 y=fx 为非奇非偶函数．
综上所述，当 a=0 时，函数 y=fx 为奇函数；
当 a≠0 时，函数 y=fx 为非奇非偶函数．
（2） 任取 x1>x2>1，则
fx1−fx2=x1+ax12−x2+ax22=x1−x2+ax22−x12x12x22=x1−x2−ax1−x2x1+x2x12x22=x1−x2x12x22−ax1+x2x12x22,
因为 x1>x2≥1，则 x1−x2>0．
①若函数 y=fx 在 1,+∞ 上单调递增，则 fx1−fx2>0，
则 x12x22−ax1+x2>0，得 a由已知条件得 1x1x22+1x12x2∈0,2，
所以，11x1x22+1x12x2>12，则 a≤12；
②若函数 y=fx 在 1,+∞ 上单调递减，则 fx1−fx2<0，
则 x12x22−ax1+x2<0，得 a>x12x22x1+x2=11x1x22+1x12x2，
由已知条件得 1x1x22+1x12x2∈0,2，
所以，11x1x22+1x12x2>12，此时 a 不存在．
综上所述，实数 a 的取值范围是 −∞,12．
25. （1） 因为 fx=exa+aex 是 R 上的偶函数，
所以 fx−f−x=0，
所以
exa+aex−e−xa−ae−x=0⇒1a−aex+a−1ae−x=0⇒1a−aex−e−x=0.
ex−e−x 不可能恒为“0”，
所以当 1a−a=0 时等式恒成立，
所以 a=1．
（2） 在 0,+∞ 上任取 x1 fx1−fx2=ex1+1ex1−ex2−1ex2=ex1−ex2+1ex1−1ex2=ex1−ex21−1ex1ex2.
因为 e>1，当 0ex1>ex2，ex1ex2<1，则 ex1−ex2ex1ex2−1ex1ex2<0；
当 x11，则 ex1−ex2ex1ex2−1ex1ex2<0．
所以 fx1−fx2<0，
所以 fx 是在 0,+∞ 上的增函数．