人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 专题5.4 导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）

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专题5.4 导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·广东·高三阶段练习）已知f(x)=exsinx.(1)若x∈0,2π，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对∀x1,x2∈0,π,x10成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）直接求导计算即可．（2）将问题转化为fx2+ax22>fx1+ax12，构造新函数gx=fx+ax2在0,π上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．【解答过程】（1）f'x=ex(sinx+cosx)=2sinx+π4ex令f'x=0，因为x∈0,2π得x=3π4或x=7π4，列表如下：所以f(x)的单调增区间为0，3π4和7π4，2π  单调减区间为3π4，7π4f(x)极大值为f(3π4)= 22e3π4  ，f(x)极小值为f7π4= -22e7π4（2）对∀x1,x2∈0,π,x10成立可转化化为：f(x2)+ax22>f(x1)+ax12.         设g(x)=f(x)+ax2，则g(x)在0,π，故g'(x)=ex(sinx+cosx)+2ax≥0，在0,π上恒成立方法一：（含参讨论）设hx=g'x=exsinx+cosx+2ax≥0，则h0=1>0，hπ=-eπ+2aπ≥0，解得a≥eπ2π.h'x=2excosx+a，h'0=2a+1>0，h'π=2a-eπ.①当a≥eπ时，h'x'=2excosx-sinx，故，当x∈0,π4时，h'x'=2excosx-sinx≥0，h'x递增；当x∈π4,π时，h'x'=2excosx-sinx≤0，h'x递减；此时，h'x≥minh'0,h'π=h'π=2a-eπ≥0，hx=g'x在0,π上单调递增，故hx=g'x≥g'0=1>0，符合条件.②当eπ2π≤ah'0=2a+1>0，h'π=2a-eπ<0，∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，∃x0∈π4,π，h'x0=0.于是，当x∈0,x0时，h'x>0，hx=g'x单调递增；当x∈x0,π时，h'x<0，hx=g'x单调递减.∵h0=1>0，hπ=-eπ+2aπ≥0，∴g'x=hx≥minh0,hπ≥0，符合条件.综上，实数a的取值范围是eπ2π,+∞.方法二：（参变分离）由对称性，不妨设0≤x10即为fx2+ax22>fx1+ax12.设gx=fx+ax2，则gx在0,π上单调递增，故g'x=exsinx+cosx+2ax≥0在0,π上恒成立.∵g'0=1>0，∴,g'x=exsinx+cosx+2ax≥0在0,π上恒成立⇔-2a≤exsinx+cosxx，∀x∈0,π.设hx=exsinx+cosxx，x∈0,π，则h'x=ex2xcosx-sinx-cosxx2，x∈0,π.设φx=2x-tanx-1，x∈0,π2∪π2,π，则φ'x=2-1cos2x，x∈0,π2∪π2,π.由φ'x>0，x∈0,π2∪π2,π，得φx在0,π4，3π4,π上单调递增；由φ'x<0，x∈0,π2∪π2,π，得φx在π4,π2，π2,3π4上单调递减.故x∈0,π2时φx≤φπ4=π2-2<0；x∈π2,π时φx≥φ3π4=3π2>0.从而，φxcosx=2xcosx-sinx-cosx<0，x∈0,π2∪π2,π，又x=π2时，2xcosx-sinx-cosx=-1<0，故h'x=ex2xcosx-sinx-cosxx2<0，x∈0,π，hx=exsinx+cosxx，x∈0,π单调递减，hxmin=hπ=-eππ，x∈0,π.于是，-2a≤-eππ⇔a≥eπ2π.综上，实数a的取值范围是eπ2π,+∞.2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数f(x)=lnx-2x+2，(1)求f(x)极大值；(2)若x∈[1,+∞),ex-ex+kf(x)≥0恒成立，求k的取值范围．【解题思路】(1)对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，进而求出函数的极大值；(2)先对函数求导，确定不等式成立的必要条件，再进一步证明不等式成立的充分性即可得证.【解答过程】（1）f'(x)=1x-1x=1-xx,x∈(0,1),f'(x)>0，f(x)单调递减，x∈(1,+∞),f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)极大值为f(1)=0.（2）g(x)=ex-ex+kf(x)=ex-ex+k(lnx-2x+2),g(1)=0，g'(x)=ex-e+k1x-1x,g'(1)=0，g″(x)=ex+k-1x2+12x32,g″(1)=e-12k，①若g″(1)=e-12k<0，由函数连续性，∃α>0，当x∈(1,α),g″(x)<0，所以g'(x)单调递减，g'(x)0，函数fx=a-xlnx． (1)证明fx存在唯一极大值点； (2)若存在a，使得fx≤a+b对任意x∈0,+∞成立，求b的取值范围． 【解题思路】（1）求导f'x=-lnx+ax-1,x>0，再对f'x求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知f'x=0有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；（2）题目转化为fx-amax≤b，构造u(x)=xln2x-x-xlnx, x>0，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.【解答过程】（1）函数fx=a-xlnx，求导f'x=-lnx+a-x1x=-lnx+ax-1,x>0，令gx=-lnx+ax-1,x>0，则g'x=-1x-ax2=-x+ax2又a>0，∴g'x<0，∴f'x在x∈0,+∞上单调递减，当x=e-1时，f'x=ae-1>0，当x=ea时，f'ea=-a+aea-1=a1ea-1-1<0，故存在x0∈e-1,ea，使得f'x0=0当x∈0,x0，f'x>0，故函数fx在0,x0上单调递增，当x∈x0,+∞，f'x<0，故函数fx在x0,+∞上单调递减，所以fx存在唯一极大值点；（2）由题知，存在a>0，使得fx≤a+b对任意x∈0,+∞成立，即存在a>0，使得b≥fx-amax对任意x∈0,+∞成立， 由（1）知，f(x)max=fx0，且-lnx0+ax0-1=0，即a=x01+lnx0，fx-amax=fx0-a=x01+lnx0-x0lnx0-x01+lnx0，即存在a>0，使得b≥x0ln2x0-x0-x0lnx0, x0>0恒成立，构造u(x)=xln2x-x-xlnx, x>0，即存在a>0，使得b≥u(x)恒成立，即存在a>0，b≥u(x)min对任意x∈0,+∞恒成立，求导u'(x)=ln2x+lnx-2, x>0令u'(x)=0，求得lnx1=-2，lnx2=1，即x1=e-2，x2=e，当x∈0,e-2，u'x>0，故函数ux在0,e-2上单调递增，当x∈e-2,e，u'x<0，故函数ux在e-2,e上单调递减，当x∈e,+∞，u'x>0，故函数ux在e,+∞上单调递增，所以u(x)min=u(e)=eln2e-e-elne=-e<0，由x∈0,e-2时，u(x)=xln2x-lnx-1=xlnx-122-54，因为x∈0,e-2，所以lnx<-2，即lnx-122-54>5，则u(x)>0在x∈0,e-2上恒成立，所以b的取值范围是b≥-e.4．（2022·河北·模拟预测）已知fx=aex+lnax+3-3,gx=fx+lnx+3ex+2a≠0.(1)当a=1时，求g(x)的单调性；(2)若f(x)恒大于0，求a的取值范围.【解题思路】（1）将a=1代入，先求函数的定义域，再化简函数，求导函数，根据导函数的符号得到函数的单调性；（2）先求函数的定义域，将函数f(x)恒大于0转化为不等式ex+lna+x+lna>eln(x+3)+ln(x+3)恒成立，构造函数y=ex+x，根据单调性将原不等式转化为lna>ln(x+3)-x，求函数h(x)=ln(x+3)-x的最大值，解得a的取值范围.【解答过程】（1）当a=1时，g(x)=ex+ln1x+3-3+lnx+3ex+2=ex-ln(x+3)-3+ln(x+3)-x+2=ex-x-1(x>-3).g'(x)=ex-1，则当x∈(-3,0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以当a=1时，g(x)的单调减区间为(-3,0)，单调增区间为(0,+∞)；（2）要使g(x)=f(x)+lnx+3ex有意义，则x>-3，且a>0，f(x)恒大于0，即aex+lnax+3-3>0恒成立，则ex+lna+lna>ln(x+3)+3，可得ex+lna+x+lna>ln(x+3)+x+3=eln(x+3)+ln(x+3)，因为函数y=ex+x为增函数，所以x+lna>ln(x+3)，即lna>ln(x+3)-x，令h(x)=ln(x+3)-x(x>-3)，则h'(x)=1x+3-1=-x-2x+3，当x∈(-3,-2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(-2,+∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，h(x)的最大值为h(-2)=2，可得lna>2，则a>e2.所以a的取值范围是e2,+∞.5．（2022·江苏·高二期末）已知函数f(x)=ln x-ax-12x3，(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,92)，求a的值；(2)当x>0时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．【解题思路】（1）求出f'x，根据已知可得k=f'1，又k=92-f13-1=a+52，即可解出a的值；（2）不等式可化为a>lnxx-12x2对x>0恒成立. 设g(x)=lnxx-12x2，x>0，则只需a>gxmax即可.求出g'(x)=1-lnx-x3x2，利用导函数研究单调性，求出gxmax即可得到结果.【解答过程】（1）∵f'(x)=1x-a-32x2.根据导数的几何意义可得，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=-a-12，又∵f(1)=-a-12，切线过(3,92)，则k=92--a-122=a+52，所以，-a-12=a+52，所以a=-2.（2）当x>0时，f(x)<0恒成立，所以lnx-ax-12x3<0恒成立，即a>lnxx-12x2对x>0恒成立.设g(x)=lnxx-12x2，x>0，则只需a>gxmax即可.又g'(x)=1-lnx-x3x2，设h(x)=1-lnx-x3，则h'(x)=-1x-3x2<0在0,+∞上恒成立，即h(x)在(0,+∞)上递减.又h(1)=0，则当00，则g'(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，h(x)<0，则g'(x)<0，g(x)单调递减．∴g(x)max=g(1)=-12，∴a>-12，即实数a的取值范围是(-12,+∞).6．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数fx=aex+lnxx,a∈R.(1)若x=e时，fx取得极值，求fx的单调区间；(2)若函数gx=xfx+x,x∈1,+∞，求使gx<2恒成立的实数a的取值范围.【解题思路】（1）首先求函数的导数，利用极值点，求a，再求函数的单调区间；（2）首先不等式变形为axex+lnxex<2，再利用换元和参变分离为a<2-lntt，t=xex，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解.【解答过程】（1）f'x=aex+1-lnxx2x>0，因为函数在x=e处取得极值，所以f'e=aee+1-lnee2=0，则a=0，当a=0时，f'x=1-lnxx2=0，得x=e 当x∈0,e时，f'x>0，函数单调递增，当x∈e,+∞时，f'x<0，函数单调递减，所以当x=e时，函数取得极大值，综上可知函数的单调递增区间是0,e，函数的单调递减区间是e,+∞；（2）gx=xfx+x=axex+lnx+x<2，x∈1,+∞恒成立，即axex+lnxex<2，设t=xex，t'=x+1ex>0，所以函数t=xex单调递增，t≥e，不等式转化为at+lnt<2，t≥e时恒成立，转化为a<2-lntt恒成立，即a<2-lnttmin，设ht=2-lntt，h't=-3+lntt2=0，解得：t=e3，当t∈e,e3时，h't<0，函数单调递减，当t∈e3,+∞时，h't>0，函数单调递增，所以当t=e3时，函数ht取得最小值，最小值是-1e3，所以实数a的取值范围为aa<-1e3.7．（2022·河北·高三期中）已知函数fx=2ex+a(x2-lnx)+x.(1)若a=-2e-1，求fx的单调区间；(2)记函数gx=-x2-alnx+1+x+4，若fx+1≥gx恒成立，试求实数a的取值范围.【解题思路】（1）由题意得f'x=2ex+-2e-12x-1x+1，令f'x=0求出零点，即可得fx的单调区间；（2）fx+1≥gx恒成立，转化为2ex+1+ax+12+x2-3≥0恒成立，令hx=2ex+1+ax+12+x2-3，求导后，转化成两个函数的交点问题讨论函数单调性，即可求出实数a的取值范围.【解答过程】（1）解：由题意得函数fx的定义域为0,+∞，f'x=2ex+a2x-1x+1若a=-2e-1，则f'x=2ex+-2e-12x-1x+1，令f'x=0，则x=1，而f'12=2e12+-2e-11-2+1=2e+2e+2>0，所以fx在区间0,1上单调递增，在区间1,+∞上单调递减；（2）解：若fx+1≥gx,x>-1恒成立，则2ex+1+ax+12-alnx+1+x+1≥-x2-alnx+1+x+4，整理得2ex+1+ax+12≥-x2+3，则2ex+1+ax+12+x2-3≥0，设hx=2ex+1+ax+12+x2-3，则h'x=2ex+1+2ax+1+2x，令h'x=0，则2ex+1+2ax+1+2x=0，整理得ex+1=-ax+1-x=-a+1x-a=-a+1x+1+1，设y1=ex+1，y2=-a+1x+1+1，可知两个函数均过定点-1,1，若-a+1=y'1x=-1=e-1+1=1，即a=-2时， y2=x+1+1为y1=ex+1的切线，切点为-1,1，①当-a+1=1，即a=-2时，h'x=0，x=-1，不在定义域，不合题意；②当-a+1<1，即a>-2时，在区间-1,+∞，恒有y1>y2，h'x=y1-y2>0，所以hx在-1,+∞单调递增，hxmin=h-1=0，则hx>0，符合题意；③当-a+1>1，即a<-2时，设零点为x0，则x0>-1所以hx在-1,x0上单调递减，在x0,+∞单调递增，hxmin=hx0=2ex0+1+ax0+12+x02-3≥0，因为2ex+1+2ax+1+2x=0，则-2ax0+1-2x0+ax0+12+x02-3≥0⇒a≥-1+2x0-1，又因为x0>-1，所以a>-2且a≠-1，与a<-2矛盾；综上所述，实数a的取值范围为-2,+∞.8．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=4ax2+2lnx-3(a∈R).(1)讨论函数fx的单调性；(2)若a为整数，且fx<2x2lnx+2恒成立，求a的最大值.【解题思路】（1）求出函数的定义域和f'x，分情况讨论a≥0和a<0，即可得到函数的单调性；（2）不等式fx<2x2lnx+2恒成立，可转化为a0，f'x=8ax+2x. 当a≥0时，f'x>0，则f(x)=4ax2+2lnx-3在0,+∞上单调递增； 当a<0时，解f'x=0，即8ax+2x=0，得x=±12-1a（舍去负值）； 解f'x>0，即8ax+2x>0，得012-1a，所以fx在12-1a,+∞上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)=4ax2+2lnx-3在0,+∞上单调递增；当a<0时，fx在0,12-1a上单调递增，在12-1a,+∞上单调递减.（2）由已知可得，4ax2+2lnx-3<2x2lnx+2恒成立，x>0，即a0在0,+∞上恒成立，所以hx单调递增.且h2=4+2ln2-6=2ln2-2<0，h52=254+2ln52-6=14+2ln52>0，所以，∃x0∈2,52，使得hx0=0，且当0x0时，hx>0.即∃x0∈2,52，使得g'x0=0，且当0x0时，g'x>0，gx在x0,+∞上单调递增.所以，gx=lnx2-lnx2x2+54x2在x=x0处取得唯一极小值，也是最小值.又g'x0=x02+2lnx0-62x03=0，则lnx0=3-x022.所以gx0=3-x0222-3-x0222x02+54x02=-14x02+1x02+74，令mx=-14x2+1x2+74，t=x2，kt=t+1t，t>1，则k't=1-1t2=t+1t-1t2，当t>1时，k't>0，所以，kt=t+1t在1,+∞上单调递增，从而mx=-14x2+1x2+74在1,+∞上单调递减，则m520，所以00，令gx=exx,x∈0,1，求导利用单调性可得答案； 当2a>e根据f0<0，令可得f1<0fln2a<0求解可得答案. 【解答过程】（1）f'x=ex-ax'x-2+ex-axx-2'=xex-ex-2ax+2a， 所以f'2=2e2-e2-4a+2a=e2，解得a=0； （2）f'x=xex-ex-2ax+2a，令f'x=0得x-1ex=2ax-1， 解得x=1，或a=ex2时a>0且x=ln2a， 当0<2a0，x∈0,1， x=0时成立，x≠0时，有ae即a>e2时，x2=2a，对任意x∈0,2a,fx<0恒成立，求实数a的取值范围，即fx=ex-axx-2<0在x∈0,2a上恒成立，因为f0=e0-00-2<0，可得f1=e1-a1-2<0fln2a=eln2a-aln2aln2a-2<0，解得e2x2-x1lnx2-lnx1,换元证明x2-x1lnx2-lnx1>x1x2成立即可.【解答过程】（1）令ux=x-sinx，x≥0，则u'x=1-cosx≥0，故ux=x-sinx在0,+∞上单调递增，故ux≥u0=0-sin0=0，即x-sinx≥0，所以sinx≤x，x∈0,+∞，当且仅当x=0时，等号成立；（2）由fx1=fx2得2x1-sinx1-alnx1=2x2-sinx2-alnx2，整理得alnx2-lnx1=2x2-x1-sinx2-sinx1，不妨设x1sinx2-sinx1，所以alnx2-lnx1=2x2-x1-sinx2-sinx1>2x2-x1-x2-x1=x2-x1，所以a>x2-x1lnx2-lnx1.下面证明x2-x1lnx2-lnx1>x1x2，即证x2x1-1lnx2x1>x2x1，令t=x2x1>1，即证明t-1lnt>t，其中t>1，故只需证明t-1t-lnt>0.设φt=t-1t-lntt>1，则φ't=t-122tt>0，所以φt在1,+∞上单调递增，所以φt>φ1=1-11-ln1=0，所以x2-x1lnx2-lnx1>x1x2，即a>x1x2，所以x1x20时，f'x>0，函数单调递增，故当x=0时，函数fx取得最小值f0=0.（2）∵ f'x=ex-2ax-1，令gx=ex-2ax-1,x≥0，则g'x=ex-2a，①当a≤12时，g'x≥0,函数gx在0,+∞上单调递增，gx≥g0=0，即f'x≥0，所以fx在0,+∞上单调递增，fx≥f0=0，满足题意；②当a>12时，由g'x=0可得x=ln2a，当x∈0,ln2a时，g'x<0，函数gx在0，ln2a上单调递减，当x∈ln2a,+∞时，g'x>0，函数gx在ln2a,+∞上单调递增当x∈0,ln2a时，gx12不符合题意.综上可得,a的范围为-∞，12.12．（2022·陕西汉中·模拟预测（理））已知函数fx=ax-exa∈R,gx=lnxx.(1)若a>0，求函数fx的单调区间；(2)当x∈0,+∞时，不等式fx⩾gx-ex恒成立，求a的取值范围.【解题思路】(1)利用函数的导数的符号，判断函数的单调性，即可求出函数的单调区间.(2)将原不等式fx⩾gx-ex进行参变分离得a⩾lnxx2，然后构造函数hx=lnxx2，从而把不等式问题转化为，求a大于或等于函数hx的最大值问题，即可求出a的取值范围.【解答过程】（1）依题意f'x=a-ex,a>0，令f'x=0，得x=lna，由f'x>0，得xlna，∴a>0,fx的单调递增区间为-∞,lna，单调递减区间为lna,+∞.（2）当x∈0,+∞时，不等式fx⩾gx-ex等价于a⩾lnxx2，设hx=lnxx2，则h'x=1-2lnxx3，令h'x=0，得x=e，当x在区间0,+∞内变化时，h'x,hx随x的变化情况如下表：由上表可知，当x=e时，函数hx在0,+∞上有唯一极大值he，也是其最大值，∴a  ⩾lnxx2恒成立等价于a⩾h(x)max=he=12e，故a的取值范围是12e,+∞.13．（2022·江苏省高三阶段练习）  已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=x+2x(x≠0)．(1)求y=f(x)的解析式，并求f(x)在[-3,-1]上的值域；(2)若对∀x1,x2∈(2,4)且x2>x1，都有fx2-fx1>kx1-kx2k∈R成立，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先利用方程组法求出f(x)的表达式，再利用函数图像，结合定义域即可分析值域.（2）首先通过移项后，构造新函数g(x)，再利用g'(x)在所给区间上大于等于0恒成立，得到关于k的不等式吗，解出k的范围即可.【解答过程】（1）因为2f(x)+f(-x)=x+2x(x≠0)①所以2f(-x)+f(x)=-x-2x(x≠0)②联立①②，解得：f(x)=x+2x  (x≠0)， 则f(x)为对勾函数，作图如下.由图像可知单调区间为所以x∈-3,-2单调递增，x∈-2,-1单调递减，则f(x)在[-3,-1]上，在x=-2处取得最大值f-2=-22，当x=-1时，f(-1)=-3，在x=-3时，f(-3)=-113，f(-3)kx1-kx2k∈R，移项得fx2+kx2>fx1+kx1令g(x)=f(x)+kx=x+2+kx，则由上式恒成立得当x∈2,4时，g(x)单调递增，   所以g'(x)=1-2+kx2≥0在x∈2,4恒成立，即k≤x2-2在x∈2,4恒成立， 所以k≤2  ，即k∈-∞，2.14．（2022·全国·模拟预测）已知函数fx=ex-plnx，gx=qx+λq-2lnxp,q,λ∈R．(1)讨论函数fx的极值；(2)当p=1时，若存在q，使得不等式gx≥fx恒成立，求实数λ的取值范围．【解题思路】（1）先求定义域，再求导，分p≤0与p>0两种情况，得到函数的单调性和极值情况；（2）gx≥fx转化为e-qx+lnx-λq≤0，构造hx=e-qx+lnx-λq，分q≤e与q>e两种情况，证明出q≤e时不成立，当q>e时，转化为λ≥-lnq-e+1q有解问题，构造函数vq=-lnq-e+1q，q>e，则λ≥vqmin，求导，得到实数λ的取值范围.【解答过程】（1）函数fx的定义域为0,+∞，且f'x=e-px=ex-px，当p≤0时，f'x>0，此时fx在0,+∞上单调递增，无极值；当p>0时，由f'x<0，得00，得x>pe，所以fx在0,pe上单调递减，在pe,+∞上单调递增，此时函数fx的极小值为fpe=2p-plnp，无极大值，综上，当p≤0时，函数fx无极值；当p>0时，函数fx的极小值为2p-plnp，无极大值；（2）当p=1时，gx≥fx等价于e-qx+lnx-λq≤0．令hx=e-qx+lnx-λq，则hx≤0恒成立，h'x=e-qx+1x，若q≤e，则h'x>0恒成立，故hx单调递增，且he1+λq=e-qe1+λq+1>0，故hx≤0不恒成立，不合题意．若q>e，则由h'x>0，得01q-e， 故hx在0,1q-e上单调递增，在1q-e,+∞上单调递减， 故hxmax=h1q-e=-1-lnq-e-λq． 所以-1-lnq-e-λq≤0，即λ≥-lnq-e+1q． 所以原问题转化为存在q>e，使得λ≥-lnq-e+1q有解． 令vq=-lnq-e+1q，q>e，则λ≥vqmin， v'q=-qq-e-lnq-eq2+1q2=-eq-e+lnq-eq2． 令φq=-eq-e+lnq-e，显然φq单调递增， 且φ2e=-e2e-e+ln2e-e=0， 所以当e2e时，φq>0，即v'q>0，故vq在e,2e上单调递减，在2e,+∞上单调递增，故vqmin=v2e=-ln2e-e+12e=-1e，则λ≥-1e．综上，实数λ的取值范围是-1e,+∞.15．（2022·山东·高三期中）已知函数fx=lnx-mx+1，gx=xex-2.(1)若fx的最大值是1，求m的值；(2)若对其定义域内任意x，fx≤gx恒成立，求m的取值范围.【解题思路】（1）先求定义域，再求导，分m≤0与m>0两种情况，分类讨论得到当m>0，x=1m时，fx取得最大值，列出方程，求出m的值；（2）转化为m-2≥1+lnxx-ex在0,+∞上恒成立问题，构造φx=1+lnxx-ex，二次求导，利用隐零点求出x02ex0+lnx0=0，取对数后，利用同构得到ex0=1x0，求出φx在x=x0处取得最大值，列出不等式，求出m的取值范围.【解答过程】（1）∵fx的定义域为0,+∞，f'x=1x-m=1-mxx.若m≤0，f'x>0，fx在定义域内单调递增，无最大值；若m>0，令f'x>0,解得：x∈0,1m，令f'x<0，解得：x∈1m,+∞，故x∈0,1m时，fx单调递增，x∈1m,+∞时，fx单调递减.∴x=1m时，fx取得极大值，也是最大值，故f1m=ln1m=1，∴m=1e；（2）原式恒成立，即lnx-mx+1≤xex-2在0,+∞上恒成立，即m-2≥1+lnxx-ex在0,+∞上恒成立.设φx=1+lnxx-ex，则φ'x=-x2ex+lnxx2.设hx=x2ex+lnx，则h'x=x2+2xex+1x>0，∴hx在0,+∞上单调递增，且h1e=1e2⋅e1e-1=e1e-2-1<0，h1=e>0.∴hx有唯一零点x0∈1e,1，且x02ex0+lnx0=0，即x0ex0=-lnx0x0.两边同时取对数，得x0+lnx0=ln-lnx0+-lnx0，易知y=x+lnx是增函数，∴x0=-lnx0，即ex0=1x0.因为φ'x=-hxx2，所以当x∈0,x0时，φ'x=-hxx2>0，当x∈x0,+∞时，φ'x=-hxx2<0，故φx在0,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，φx在x=x0处取得极大值，也是最大值，∴φx≤φx0=1+lnx0x0-ex0=1-x0x0-1x0=-1，∴m-2≥-1，∴m≥1，故m的取值范围是1,+∞.16．（2022·全国·模拟预测）已知函数fx=ex-x，gx=alnx+a（a>0，e是自然对数的底数）．(1)若直线y=kx与曲线y=fx，y=gx都相切，求a的值；(2)若fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）利用导数的几何意义分别求出曲线y=fx，y=gx的过原点的切线，列方程即可求得a的值；（2）先讨论gx≤0的情况，再讨论gx>0的情况，分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性和最值，进而得出结果．【解答过程】（1）解：设直线y=kx与曲线y=fx，y=gx分别切于点Px1,fx1，Qx2,gx2，易知fx1=ex1-x1，f'x=ex-1，∴ f'x1=ex1-1，∴与曲线y=fx切于点P的直线方程为y=ex1-1x-x1+ex1-x1，∵直线y=kx过原点， ∴ -x1ex1-1+ex1-x1=0，整理得1-x1ex1=0，∴x1=1，切线方程为y=e-1x．易知gx2=alnx2+a，g'x=ax，∴g'x2=ax2，∴ 与曲线y=gx切于点Q的直线方程为y=ax2x-x2+alnx2+a，整理得y=ax2⋅x+alnx2，∴ax2=e-1alnx2=0，∴a=e-1．（2）解：由fx≥gx，得ex-x≥alnx+1，令φx=ex-x-1，则φ'x=ex-1，当x<0时，φ'x<0，φx递减；当x>0时，φ'x>0，φx递增，∴φxmin=φ0=0，∴ex≥x+1>x，∴ex-x>0，当x∈0,1e时，alnx+1≤0，∴ex-x≥alnx+1恒成立．当x∈1e,+∞时，a≤ex-xlnx+1，令hx=ex-xlnx+1，x∈1e,+∞，则h'x=ex-1lnx+1-1xex-xlnx+12=ex-1⋅lnx+ex⋅x-1xlnx+12，当x∈1e,1时，h'x<0，hx单调递减，当x∈1,+∞时，h'x>0，hx单调递增，∴a≤hxmin=h1=e-1，∵a>0，∴ 实数a的取值范围是0,e-1．17．（2022·四川·高三期中（文））已知函数fx=x2ex,gx=aexx+1(a∈R,e是自然对数的底数）.(1)若函数gx在x=0处的切线方程为x-y+a=0，求实数a的值；(2)若∃x0∈0,+∞，使得gx0⩾fx0+2a成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）首先对函数求导，再求出在x=0处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解.（2）首先构造新函数h(x)，根据题意的分析，只要h(x)min≤0即可，然后通过对a分类讨论，求出h(x)的最小值即可.【解答过程】（1）由题意，知g'x=aexx+2，则g'0=2a.因为函数gx在x=0处的切线方程为x-y+a=0，所以g'0=2a=1，解得a=12.（2）令hx=fx-gx+2a,x∈0,+∞，则hx=x2ex-aexx+1+2a，即hx=exx2-ax-a+2a,x∈0,+∞，所以h'x=x2+2-ax-2aex，即h'x=exx+2x-a,x∈0,+∞因为∃x0∈0,+∞，使得gx0⩾fx0+2a成立，即∃x0∈0,+∞，使得hx0⩽0成立，所以h(x)min⩽0.①当a⩽0时，h'x⩾0在0,+∞上恒成立，函数hx在区间0,+∞上单调递增，所以h(x)min=h0=a，所以a⩽0.②当a>0时，令h'x>0，解得x>a；令h'x<0，解得0⩽x0，函数fx单调递增；当x∈e1+a,+∞时，f'x<0，函数fx单调递减.当e1+a≥e2，即a≥1时，函数fx在区间0,e2上单调递增，故函数fx的最大值为fe2=e2-a+2e2=1+2-ae2.当e1+alnx+x-2xex恒成立.令gx=lnx+x-2xex,x∈0,+∞，则2te>gxmax.g'x=1x+1xex-x+1exlnx+x-2x2e2x=x+13-lnx-xx2ex，令hx=3-lnx-x,x∈0,+∞，h'x=-1x-1<0，hx在0,+∞上单调递减，又h1=2>0，h3=-ln3<0，故hx在0,+∞上有唯一零点，不妨设该零点为x0，则3-lnx0-x0=0，则当x∈0,x0时，hx>0，g'x>0，gx单调递增；当x∈x0,+∞时，hx<0，g'x<0，gx单调递减.故gxmax=gx0=lnx0+x0-2x0ex0，又3-lnx0-x0=0，所以lnx0+x0=3，x0ex0=elnx0ex0=elnx0+x0=e3，所以gx0=lnx0+x0-2x0ex0=1e3.故2te>1e3，解得t>12e4，故实数t的取值范围为12e4,+∞.另解：当a=2，不等式fx<2tex+1恒成立，即x-2+lnxx<2tex+1，也就是2te>lnxex-2xex恒成立.令m=xex>0，则gm=lnm-2m，则2te>gmmax.g'm=3-lnmm2，故当m∈0,e3时，g'm>0，gm单调递增，当m∈e3,+∞时，g'm<0，gm单调递减，故gmmax=ge3=1e3，故2te>1e3，解得t>12e4，故实数t的取值范围为12e4,+∞.19．（2022·辽宁抚顺·高三期中）已知函数f(x)=1-ax3ex(a≠0)．(1)讨论fx在0,+∞上的单调性；(2)若不等式2exf(x)≥x3lnx+x2+3x恒成立，求a的取值范围．【解题思路】（1）根据函数求解导数f'(x)，故按照a>0，a<0确定导函数正负区间，得函数到单调性；（2）根据不等式2exf(x)≥x3lnx+x2+3x，参变分离得a≤exx3-12lnx-12x-32x2恒成立，故可构造函数g(x)=exx3-12lnx-12x-32x2确定函数的单调性求最小值gmin(x)，则a≤gmin(x)求得a的取值范围．【解答过程】（1）解：因为f(x)=1-ax3ex，x∈0,+∞，所以f'(x)=ax3-3ax2ex=ax2(x-3)ex．当a>0时，由f'x>0，得x>3；由f'x<0，得03；由f'x>0，得00时，fx在0,3上单调递减，在3,+∞上单调递增；当a<0时，fx在0,3上单调递增，在3,+∞上单调递减．（2）解：不等式2exf(x)≥x3lnx+x2+3x恒成立，即不等式2ex-2ax3≥x3lnx+x2+3x恒成立，即等价于a≤exx3-12lnx-12x-32x2恒成立．设g(x)=exx3-12lnx-12x-32x2，x∈0,+∞则g'(x)=(x-3)exx4-12x+12x2+3x3=(x-3)ex-12x2-xx4．设h(x)=ex-12x2-x，则h'(x)=ex-x-1．设φ(x)=ex-x-1，则φ'(x)=ex-1．由φ'x>0，得x>0，所以φx在0,+∞上单调递增，则φx>φ0=0，即h'x>0，故hx在0,+∞上单调递增．因为h0=1>0，所以hx在0,+∞上单调递增，则g'(x)=0，得x=3，所以当03时，g'x>0，所以gx在0,3上单调递减，在3,+∞上单调递增，则g(x)min=g(3)=e327-12ln3-13．故a≤e327-12ln3-13，即a的取值范围是-∞,e327-12ln3-13．20．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数f(x)=sinx-ax+16x3，其中a∈R，设gx为fx的导函数.(1)若a=1，证明：gx≥0；(2)若x≥0时，fx≥0恒成立，求a的取值范围.【解题思路】（1）由题设g(x)=f'(x)=cosx+12x2-1，利用导数研究g(x)的单调性并确定区间最值，即可证结论；（2）由题设及（1）易知f'(x)在[0,+∞)上递增，则f'(x)≥f'(0)=1-a，结合f(0)=0讨论1-a<0、1-a≥0研究f(x)的单调性，结合fx≥0恒成立确定参数范围.【解答过程】（1）由题设f(x)=sinx-x+16x3，则g(x)=f'(x)=cosx+12x2-1，所以g'(x)=x-sinx，令h(x)=x-sinx，故h'(x)=1-cosx≥0，所以h(x)在R上单调递增，而h(0)=0，故(-∞,0)上g'(x)=h(x)<0，(0,+∞)上g'(x)=h(x)>0，则(-∞,0)上g(x)递减，(0,+∞)上g(x)递增，故g(x)≥g(0)=0，得证.（2）由k(x)=f'(x)=cosx+12x2-a，则k'(x)=x-sinx，由（1）知：[0,+∞)上k'(x)≥0，故k(x)=f'(x)在[0,+∞)上递增，所以f'(x)≥f'(0)=1-a，而f(0)=0，当1-a<0时，即f'(0)<0，x趋向+∞时f'(x)趋向+∞，故∃x0∈(0,+∞)使f'(x0)=0，所以[0,x0)上f'(x)<0，f(x)递减，(x0,+∞)上f'(x)>0，f(x)递增，故f(x0)0，可转化为∀a∈-1,1，-2ae2a2-2amax≤b， 设t=2a-20，-20，1+32-3e>12，所以2-3e1-3>12e2，综上：b的取值范围是2-3e1-3,2+3e1+3.22．（2023·浙江温州·模拟预测）已知a>0，函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为2，其中f(x)=ex-1，g(x)=ln(ax)．(1)求实数a的值；(2)∀x∈(0,+∞)，有f(x+1-m)≥kx+k-1≥g(ex)，求mk-k2的最大值．【解题思路】(1)根据题意求出函数F(x)的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数F(x)的最小值，列出方程，解之即可；(2)根据题意可得ex-m≥kx+k-1kx+k-1≥lnx，即(ex-m-kx-k+1)min≥0在0,+∞上恒成立且(lnx-kx-k+1)max≤0在(0,+∞)上恒成立，利用导数分别研究函数ux=ex-m-kx-k+1(x>0)和v(x)=lnx-kx-k+1(x>0)的单调性，进而求出u(x)min、v(x)max，由u(x)min≥0v(x)max≤0可得mk≤1-klnk-lnk≤k，即可求解.【解答过程】（1）由题意知，F(x)=f(x)-g(x)=ex-1-ln(ax)(x>0)，则F'(x)=ex-1-1x，令F'(x)<0⇒00⇒x>1，所以函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以F(x)min=F(1)=1-lna，又F(x)min=2，所以1-lna=2，解得a=e-1，经检验，a=e-1符合题意.故a=e-1.（2）由f(x+1-m)≥kx+k-1≥g(ex)，得f(x+1-m)≥kx+k-1kx+k-1≥g(ex)，即ex-m≥kx+k-1kx+k-1≥lnx，对于ex-m≥kx+k-1，可得不等式ex-m-kx-k+1≥0在R上恒成立，即(ex-m-kx-k+1)min≥0在R上恒成立，设u(x)=ex-m-kx-k+1(x∈R)，则u'(x)=ex-m-k，若k≤0，则u'(x)>0，函数u(x)在R上单调递增，且u(x)=ex-m-kx-k+1>0，符合题意；若k>0，令u'(x)<0⇒x0⇒x>m+lnk，所以u(x)在(-∞,m+lnk)上单调递减，在(m+lnk,+∞)上单调递增，所以u(x)min=u(m+lnk)=-mk-klnk+1，由u(x)min≥0，得-mk-klnk+1≥0，即mk≤1-klnk①；对于kx+k-1≥lnx，可得不等式lnx-kx-k+1≤0在(0,+∞)上恒成立，即(lnx-kx-k+1)max≤0在(0,+∞)上恒成立，设v(x)=lnx-kx-k+1(x>0)，则v'(x)=1x-k，若k≤0，则v(1)=1-2k>0，不符合题意；若k>0，令v'(x)>0⇒01k，所以v(x)在(0,1k)上单调递增，在(1k,+∞)上单调递减，所以v(x)max=v(1k)=-lnk-k，由v(x)max≤0，得-lnk-k≤0，即-lnk≤k②.当k>0时，由①②得，mk-k2≤1-klnk-k2≤1+k2-k2=1，即mk-k2≤1，设hk=lnk+k，则he-2=-2+e-2<0，h1=1>0，故hk存在零点k0，故mk-k2≤1当且仅当k=k0，m=1-k0lnk0k0时等号成立.综上，mk-k2的最大值为1.23．（2022·江苏·高二期末）已知函数f(x)=2lnx-x2，g（x）=x+ax．设函数f(x)与g(x)有相同的极值点．(1)求实数a的值；(2)若对∀x1，x2∈1e，3，不等式fx1-gx2k-1≤1恒成立，求实数k的取值范围；【解题思路】（1）利用导数得出函数f(x)的极值点x0，再令g'(x0)=0即可得出a的值，再进行验证即可；（2）首先求出f(x)与g(x)在1e,3上的最值，再对k-1分正负讨论，把已知不等式变形等价转化，即可求出参数的取值范围．【解答过程】（1）解：因为f(x)=-x2+2lnx，所以f'(x)=-2x+2x=-2(x-1)(x+1)x(x>0)，由f'(x)>0x>0得00得x>1，所以f(x)在0,1上单调递增，在1,+∞单调递减，从而f(x)的极大值为f1=-1，又g(x)=x+ax，所以g'(x)=1-ax2，依题意，x=1是函数g(x)的极值点，所以g'1=1-a=0，解得a=1，所以g'(x)=1-1x2=x2-1x2=x-1x+1x2，则当x>1或x<-1时，g'(x)>0，当01时，问题等价于fx1-gx2≤k-1，所以k≥fx1-gx2+1恒成立，即k≥[fx1-gx2]max+1，∵fx1-gx2+1≤-1-2+1=-2，∴k≥-2，故k>1符合题意；②当k<1时，问题等价于fx1-gx2≥k-1，即k≤fx1-gx2+1恒成立，即k≤[fx1-gx2]min+1，因为fx1-gx2+1≥2ln3-9-103+1=2ln3-343，∴k≤2ln3-343．综上k≤2ln3-343或k>1.24．（2022·山东·高三期中）已知函数gx=ex⋅(x²+ax+a)(1)当a=1时，求gx的极值；(2)若  fx=gxex， 且 flnx+2e2x≥0  恒成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；（2）不等式变形为x(lnx)2+alnx+a≥-2e2，构造h(x)=x(lnx)2+alnx+a,x∈(0,+∞)，求导后得到h'(x)=lnx+2lnx+a，对a分类讨论，求出每种情况下的实数a的取值范围，即得.【解答过程】（1）当a=1时，g(x)=exx2+x+1，定义域为(-∞,+∞)，则g'(x)=exx2+3x+2令g'(x)=0，得x=-2，或x=-1．当x变化时，g(x),g'(x)的变化情况如下：因此，当x=-2时，g(x)有极大值，并且极大值为3e2；当x=-1时，g(x)有极小值，并且极小值为1e；（2）因为f(lnx)+2e2x≥0等价于x(lnx)2+alnx+a≥-2e2，令h(x)=x(lnx)2+alnx+a,x∈(0,+∞)，则h'(x)=(lnx)2+alnx+a+x2lnxx+ax=lnx+2lnx+a，（ⅰ）若a∈0,4，对于函数y=(lnx)2+alnx+a，有Δ=a2-4a≤0，所以(lnx)2+alnx+a≥0恒成立，故当a∈[0,4]时，不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2恒成立；（ⅱ）若a∈(4,+∞)，当x∈0,e-a时，(lnx)2+alnx+a=lnx(lnx+a)+a>0，所以x(lnx)2+alnx+a>0，故不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2恒成立；现探究当x∈e-a,+∞时的情况：当x∈e-a,e-2时，h'(x)<0，当x∈e-2,+∞时，h'(x)>0，所以h(x)在e-a,e-2上单调递减，在e-2,+∞上单调递增，所以x=e-2是h(x)的极小值点，要使不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2成立，只需he-2=e-2(4-2a+a)≥-2e2，解得：a≤4+2e4，故当40，所以x(lnx)2+alnx+a>0，故不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2恒成立；现探究当x∈e-2,+∞时的情况：当x∈e-2,e-a时，h'(x)<0，当x∈e-a,+∞时，h'(x)>0，所以h(x)在e-2,e-a上单调递减，在e-a,+∞上单调递增，所以x=e-a是h(x)的极小值点，要使不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2成立，只需he-a=e-aa2-a2+a≥-2e2，即ae-a≥-2e2．设m(x)=xex(x<0)，则ae-a≥-2e2化为m(a)≥m(-2)，因为m'(x)=1-xex>0，所以m(x)在(-∞,0)上为增函数，于是，由m(a)≥m(-2)及a<0，得-2≤a<0，故当-2≤a<0时，不等式x(lnx)2+alnx+a≥-2e2恒成立；综上，实数a的取值范围为-2,4+2e4．25．（2022·北京高三阶段练习）已知函数fx=ex+asinx-1a∈R．(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；(2)若函数fx在x=0处取得极小值，求a的值；(3)若存在正实数m，使得对任意的x∈0,m，都有fx<0，求a的取值范围．【解题思路】（1）由导数的几何意义求解；（2）由f'(0)=0求得a值，并验证此时x=0是极小值点；（3）求出导函数f'(x)=ex+acosx，f'(0)=1+a，然后根据f'(0)的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出f'(x)在(0,m)（存在正实数m）上f'(x)与f'(0)同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【解答过程】（1）f'(x)=ex+acosx，f'(0)=1+a，又f(0)=0，∴切线方程为y=(1+a)x；（2）由（1）f'(x)=ex+acosx，函数fx在x=0处取得极小值，则f'(0)=0，即1+a=0，a=-1，设g(x)=f'(x)=ex-cosx，则g'(x)=ex+sinx，g'(0)=1，由g'(x)的图象的连续性知g'(x)在x=0附近是正值，因此f'(x)在x=0附近是递增的，又f'(0)=0，所以f'(x)在x=0附近从左到右，由负变正，f(x)在x=0左侧递减，在x=0右侧递增，f(0)是极小值，符合题意；所以a=-1．（3）f'(x)=ex+acosx，f(0)=0，当f'(0)=1+a>0，即a>-1时，由g'(x)的图象的连续性知必存在m>0，使得对任意x∈(0,m)，f'(x)>0，对应f(x)递增，因此f(x)>f(0)=0，不合题意，当f'(0)=1+a<0，即a<-1时，由g'(x)的图象的连续性知必存在m>0，使得对任意x∈(0,m)，f'(x)<0，对应f(x)递减，因此f(x)0时，ex>1，cosx≤1，f'(x)=ex-cosx>0恒成立，f(x)=ex-sinx-1在(0,+∞)上递增，f(x)>f(0)=0，不合题意，综上，a的取值范围是(-∞,-1)．26．（2022·上海高二期末）已知函数f(x)=alnx+x2 (a为实常数）．(1)若a=-2，求证：f(x)在(1,+∞)上是增函数；(2)当a=-4时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值与最小值及相应的x值；(3)若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围．【解题思路】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.【解答过程】（1）由题可知函数的定义域(0,+∞)，因为a=-2,所以f(x)=-2lnx+x2，所以f'(x)=-2x+2x=2x2-1x，令f'(x)>0解得x>1， 所以f(x)在(1,+∞)上是增函数.（2）因为a=-4,所以f(x)=-4lnx+x2，所以f'(x)=-4x+2x=2x2-2x，令f'(x)>0解得x>2，令f'(x)<0解得01，所以当x=e时，函数f(x)有最大值为f(e)=e2-4.（3）由f(x)≤(a+2)x得alnx+x2≤(a+2)x，即alnx-x≤2x-x2，因为x∈[1,e]，所以x≥1,lnx≤lne=1，所以x≥lne≥lnx，且当x=1时lnx=0，所以x>lnx在x∈[1,e]恒成立，所以a≥x2-2xx-lnx，即存在x∈[1,e]时，a≥x2-2xx-lnx，令g(x)=x2-2xx-lnx，g'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)x-lnx2，令h(x)=x+2-2lnx,h'(x)=1-2x=x-2x，令h'(x)=x-2x>0，解得20， 所以x∈[1,e]时，g'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)x-lnx2≥0恒成立， 所以g(x)min=g(1)=-1， 所以实数a的取值范围是-1,+∞. 27．（2023·北京·高三专题练习）已知x=1是函数fx=lnx1+x-lnx+lnax+2的一个极值点． (1)求a值； (2)判断fx的单调性； (3)是否存在实数m，使得关于x的不等式fx≥m的解集为0,+∞?直接写出m的取值范围． 【解题思路】（1）求导得到导函数，根据f'1=0计算得到答案. （2）求导得到f'x=-lnx1+x2，根据导数的正负得到单调区间. （3）先证明ln1+xln2，且fx<2x+1+ln2，得到答案.【解答过程】（1）fx=lnx1+x-lnx+lnax+2，则f'x=1x+1-lnx1+x2-1x+aax+2，f'1=1x+1-lnx1+x2-1x+aax+2=24-1+aa+2=0，解得a=2.f'x=1x+1-lnx1+x2-1x+22x+2=-lnx1+x2，当x∈0,1时，f'x>0，函数单调递增；当x∈1,+∞时，f'x<0，函数单调递减.故x=1是函数的极大值点，满足.（2）f'x=-lnx1+x2，当x∈0,1时，f'x>0，函数单调递增；当x∈1,+∞时，f'x<0，函数单调递减.（3）fx=lnx1+x-lnx+lnx+1+ln2=xlnx+1-lnx+lnx+11+x+ln2，当x∈0,+∞，易知lnx+1-lnx>0，lnx+1>0，故fx>ln2.故m≤ln2，满足条件.当x∈0,+∞时，设gx=ln1+x-x，故g'x=1x+1-1=-xx+1<0，故gx0，函数单调递增；当x∈3,+∞时，h'x=2-1+x2x+1<0，函数单调递减；故hx≤h3=ln4-2<0，故ln1+x<1+x.fx=xln1+1x+lnx+1x+1+ln20进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解；（2）由于3a3与1，2的大小关系不确定，故需分为3a3≤1，1<3a3<2，3a3≥2三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在[-2,1]上fxmax，解出对应a值；（3）采用分离参数法得a≤x3-lnx+1x，x∈2,+∞，令gx=x3-lnx+1xx>2，求得g'x=2x3+lnx-2x2，再令hx=2x3+lnx-2，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解.【解答过程】（1）由f(x)=x3-ax+4得f'x=3x2-a，当a≤0时，f'x≥0，故fx在R上单增；当a>0时，令f'x=3x2-a=0，解得x=±3a3，x<-3a3时，f'x>0，fx单增；-3a33a3时，f'x>0，fx单增；综上所述，当a≤0时，fx在R上单增；当a>0时，fx在(-∞,-3a3)单增；fx在(-3a3,3a3)单减；fx在当(3a3,+∞)单增；（2）由（1）可知，当a≤0时，fx在R上单增，故当x∈-2,1时，fxmax=f1=1-a+4=12，解得a=-7，故a=-7；当a>0时，令3a3≤1，解得00，fx单增； x∈-3a3,3a3时，f'x<0，fx单减； 故fx最大值在f-3a3或f1处取到，f-3a3=-a3⋅3a3+a3⋅3a+4=12， 解得a=3⋅243（舍去），f(1)=1-a+4=5-a=12，解得a=-7舍去； 当1<3a3<2，即30，fx单增；x∈-3a3,1时，f'x<0，fx单减， 故fxmax=f-3a3=-a3⋅3a3+a3⋅3a+4=12，解得a=3⋅243，故a=3⋅243； 当3a3≥2时，即a≥12时，x∈[-2,1]时，f'x<0，fx单减， 故fxmax=f-2=-8+2a+4=12，解得a=8（舍去）， 综上所述，a=-7或a=3⋅243 （3）要使f(x)≥lnx+3在区间(2,+∞)上恒成立，即x3-ax+4≥lnx+3对于任意x∈2,+∞恒成立，分离参数a得a≤x3-lnx+1x，x∈2,+∞，令gx=x3-lnx+1xx>2， 则g'x=3x2-1xx-x3-lnx+1x2=2x3+lnx-2x2，令hx=2x3+lnx-2， 则h'x=6x2+1x>0，故hx在(2,+∞)单增，h2=2⋅23+ln2-2>0， 故hx>h2>0，即g'x>0在(2,+∞)成立，故gx在(2,+∞)单增，g2=8-ln2+12=9-ln22，所以a≤9-ln22.29．（2022·全国·模拟预测）设函数f(x)=xekx+a，f'x为fx的导函数.(1)当k=-1时，①若函数fx的最大值为0，求实数a的值；②若存在实数x>0，使得不等式fx≥x-lnx成立，求实数a的取值范围.(2)当k=1时，设gx=f'x，若gx1=gx2，其中x1≠x2，证明：x1x2>4.【解题思路】(1)① 当k=-1时，对f(x)求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.② 要求fx≥x-lnx恒成立时a的取值范围，等价于a≥lnexx-xex，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.(2)当k=1时，fx=xex+a，求导即可得到gx的函数表达式，对gx求导，得到函数gx的图像，设x1<-24，只需要证明gx2>g4x2，构造新函数h(x)=g(x)-g(4x)(-2g4x在-2,-1上恒成立即可.【解答过程】（1）当k=-1时，fx=xex+a.①易知f'x=1-xex，所以fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以fxmax=f1=1e+a，故1e+a=0，所以a=-1e.②解法一，不等式fx≥x-lnx⇔a≥x-lnx-xex⇔a≥lnexx-xex.设t=xex（x>0），pt=ln1t-t=-lnt-t，则由① 知00，使得不等式fx≥x-lnx成立，等价于存在实数00，使得不等式fx≥x-lnx成立，等价于存在实数x>0，使得a≥qxmin成立.易知q'x=1-1x-1-xex=x-11x+1ex，当x>0时，易知1x+1ex>0，所以qx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以qxmin=q1=1-ln1-1e=1-1e，所以a≥1-1e，即实数a的取值范围为1-1e,+∞.（2）当k=1时，fx=xex+a，f'x=x+1ex，所以gx=x+1ex，所以g'x=x+2ex，所以gx在-∞,-2上单调递减，在-2,+∞上单调递增，所以gxmin=g-2=-e-2<0，且当x<-1时，gx<0，当x>-1时，gx>0，故可作出gx的大致图象如图所示.不妨设x14，只需证x1<4x2<-2.因为gx在-∞,-2上单调递减，所以只需证gx1>g4x2，又gx1=gx2，所以只需证gx2>g4x2对任意的x2∈-2,-1恒成立.设hx=gx-g4x-20，x+322+74>0，所以r'(x)<0所以rx在-2,-1上单调递减，所以rx<0，又当-20，所以hx在-2,-1上单调递增，所以hx>0， 即gx>g4x在-2,-1上恒成立，又x2∈-2,-1， 所以gx2>g4x2，原不等式得证. 30．（2022·天津市高三阶段练习）已知函数fx=ex,gx=lnx. (1)设hx=f2x-3x，求函数hx的极值； (2)设x0>1，求证：存在唯一的x0，使得函数y=gx的图象在点Ax0,gx0处的切线l与函数y=fx的图象也相切； (3)设φx=gx+2lnax+26x+x2-ax，对于任意a∈2,4，总存在x∈32,2，使φx>k4-a2成立，求实数k的取值范围. 【解题思路】(1)由题意可得h'x=2e2x-3，令h'x=0，得x=12ln32，再根据导数的正负确定函数的单调性从而即可得函数的极值； (2)由题意可得gx在x=x0处的切线方程为y-lnx0=1x0x-1，只需证明此直线与曲线y=f(x)相切，假设此直线与y=f(x)相切于点B(x1,ex1)，将问题转化为证明方程2x0lnx0-lnx0-x0=0在(1,+∞)上存在唯一解即可，构造函数u(x0)=2x0lnx0-lnx0-x0,x0>1，利用导数证明函数u(x0)在(1,+∞)上单调且只有一个零点即可； (3)由题意可得φ(x)max>k(4-a2)在a∈2,4上恒成立，利用导数得φ(x)max=φ(2)=2ln(2a+2)-2ln6+4-2a,所以即转化为2ln(2a+2)-2ln6+4-2a>k(4-a2)在a∈2,4上恒成立，令t(a)=2ln(2a+2)-2ln6+4-2a-k(4-a2)，只需t(a)>0在a∈2,4上恒成立，利用导数即可解决. 【解答过程】（1）解：因为hx=f2x-3x=e2x-3x， 所以h'x=2e2x-3， 令h'x=0，解得x=12ln32， 所以当x<12ln32时， h'x<0，hx单调递减；当x>12ln32时， h'x>0，hx单调递增；所以函数只有极小值，hx极小值=h(12ln32)=eln32-32ln32=32-32ln32（2）证明：因为gx=lnx，所以g'x=1x，又因为x0>1，所以gx在x=x0处的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0)=1x0x-1，假设此直线与曲线y=f(x)=ex相切于点B(x1,ex1)，因为f'(x)=ex，所以切线的斜率k=ex1=1x0且1x0=ex1-lnx0x1-x0，所以x1=-lnx0，所以1x0=1x0-lnx0-lnx0-x0，化简为x0lnx0-lnx0-x0-1=0(x0>1)，下面证明此方程在(1,+∞)上存在唯一解.令u(x0)=x0lnx0-lnx0-x0-1,x0>1，则u'(x0)=lnx0-1x0=x0lnx0-1x0，令F(x)=xlnx-1，则F'(x)=lnx+1，所以当x∈(1e,+∞)时F'(x0)>0，F(x)单调递增，又因为F(1)=-1<0，F(2)=2ln2-1>0，又为F(x)在(1,2)上连续，所以F(x)在(1,2)上存在唯一零点，设为x1，则有x1lnx1-1=0，即lnx1=1x1，当x1∈(1,2)时，F(x)<0，即u'(x0)<0，u(x0)单调递减；当x1∈(2,+∞)时，F(x)>0，即u'(x0)>0，u(x0)单调递增；所以u(x0)0，所以u(x0)在(x1,e2)内存在唯一零点.所以存在唯一的x0，使得函数y=gx的图象在点Ax0,gx0处的切线l与函数y=fx的图象也相切；（3）解：因为φx=gx+2lnax+26x+x2-ax=lnx+2lnax+26x+x2-ax，所以φ'(x)=1x+2×6xax+2×(ax+26x'+2x-a=1x+ax-2x(ax+2)+2x-a=x(2ax+4-a2)(ax+2)令φ'(x)=0，则有x1=0,x2=a2-42a，又因为x>0,a∈(2,4)，所以有x2=a2-42a>0，又因为x2=a2-42a=a2-2a，在a∈2,4上单调递增，所以x2=a2-42a=a2-2a<32，所以φ'(x)>0在x∈32,2上恒成立，所以φ(x)>0在x∈32,2上单调递增，所以φ(x)max=φ(2)=2ln(2a+2)-2ln6+4-2a,所以2ln(2a+2)-2ln6+4-2a>k(4-a2)在a∈2,4上恒成立，令t(a)=2ln(2a+2)-2ln6+4-2a-k(4-a2)，则t(2)=0，且t(a)>0在a∈2,4上恒成立，因为t'(a)=2a+1-2+2ka=2a(ka+k-1)a+1，当k≤0时，t'(a)<0，t(a)在(2,4)上单调递减，t(a)0时，令t'(a)=0，得a=1-kk，当1-kk>2，即0t(2)=0，满足题意.综上所述，实数k的取值范围为：[13,+∞). x0，3π43π43π4，7π47π47π4，2πf'(x)+0-0+f(x)↑极大值↓极小值↑x0,eee,+∞h'x+0-hx↗极大值↘x(-∞,-2)-2-2,-1-1-1,+∞g'x+0-0+gx单调递增3e2单调递减1e单调递减