第11章 三角形期末考点练习

这是一份第11章 三角形期末考点练习，共44页。
第11章 三角形（期末考-考点精讲） TOC \o "1-4" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15882" 第11章 三角形（期末考-考点精讲）  PAGEREF _Toc15882 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29490" 一、主干知识回顾  PAGEREF _Toc29490 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc1965" （一） 与三角形有关的线段  PAGEREF _Toc1965 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12248" 考点1 ：三角形  PAGEREF _Toc12248 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16947" 考点2 ：三角形的角平分线、中线和高  PAGEREF _Toc16947 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc30583" 考点3 ：三角形的稳定性  PAGEREF _Toc30583 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc11231" 考点4 ：三角形三边的关系  PAGEREF _Toc11231 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1663" （二） 与三角形有关的角  PAGEREF _Toc1663 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29125" 考点5 ：三角形的内角定理  PAGEREF _Toc29125 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22131" 考点6 ：三角形的外角性质  PAGEREF _Toc22131 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11545" 考点7 ：直角三角形的性质  PAGEREF _Toc11545 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29322" （三） 多边形及其内角和  PAGEREF _Toc29322 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc32702" 考点8 ：多边形  PAGEREF _Toc32702 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21115" 考点9 ：多边形内角与外角  PAGEREF _Toc21115 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29292" 二、分类题型  PAGEREF _Toc29292 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc29840" 题型一 与三角形有关的线段  PAGEREF _Toc29840 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2282" 题型二 与三角形有关的角  PAGEREF _Toc2282 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31095" 题型三 多边形及其内角和  PAGEREF _Toc31095 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25901" 三、分层训练：课堂知识巩固  PAGEREF _Toc25901 \h 6一、主干知识回顾与三角形有关的线段：三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．：三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．：三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．：三角形三边的关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．与三角形有关的角：三角形的内角定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．：三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．：直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．　（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．　　性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．　　性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；　　　　在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．多边形及其内角和：多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．：多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360度．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n﹣（n﹣2）•180°=360°．二、分类题型题型一 与三角形有关的线段1．下列各图中，正确画出边上的高的是（    ）A．B． C．       D．   【解答】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．2．如图，在中，D是上的一点，E是的中点，若的面积是，，则的面积为(    )  A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，故选：D．3．如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（　　）  A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：过点A作于点H，∵的面积为12，∴，∵，∴的面积．故选：D．  4．下列各组线段中，能构成三角形的是（    ）A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．4，5，9【解答】A、∵，∴不能构成三角形，排除；B、∵，∴不能构成三角形，排除；C、∵，∴能构成三角形，符合题意；D、，∴不能构成三角形，排除；故选：．5．下列长度的各组线段能组成三角形的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【解答】解：A、∵，∴，，的三条线段能组成三角形，符合题意；B、∵，∴，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；C、∵，∴，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；D、∵，∴，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；故选：A.6．已知三角形三边长分别为3，a，7，且a为奇数，则这样的三角形有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵三角形三边长分别为3，a，7，，∴，∵a为奇数，∴a可取5，7，9∴这样的三角形共3个，故B正确．故选：B．7．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（    ）A． B． C．或 D．不确定【解答】解：当等腰三角形的腰长为时，此时三边长分别为4,4,7，∴三角形的周长是；当等腰三角形的腰长为时，此时三边长分别为4,7,7，∴三角形的周长是；∴三角形的周长是或，故选：C．8．已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为（    ）A．0 B． C． D．【解答】解：∵a，b，c是三角形的三条边，∴，∴，∴，故选：C．9．如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．  【解答】解：是的中线，，的周长为16，，，，，．故答案为：18．10．一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是__________．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：，即，∵a为整数，∴a的最大值为10；故答案为：10．11．已知：是的中线，的面积为，则的面积是______．【解答】解：∵是的中线，的面积为，∴，故答案为：；12．如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．  【解答】∵点F是的中点，的面积为，∴．∵点E是的中点，∴，．∴．∴，故答案是8．13．如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．  【解答】解：∵的周长为，，∴，∵的周长比的周长大2，∴，∴，，故答案为：4．14．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_____．【解答】解：点是的中点，，点是的中点，，，，，的面积等于，，即阴影部分图形面积等于，故答案为：1．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为__________．【解答】解：∵a，b满足，∴，，解得，∵，，∴，∵的周长为偶数，即是偶数，∴是偶数，∴为奇数，∴，∴的周长为：．故答案为：8．题型二 与三角形有关的角1．将一把直尺和一个透明的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【解答】如图，根据题意，得  ，∴，∵，∴，故选C．2．如图所示的几何图形，的度数为（  ）  A． B． C． D．【解答】解；如图，连接，则，∵，∴，故选：D．  3．如图为两直线与相交的情形，其中分别与平行．根据图中标示的角度，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【解答】解：分别与平行，，，，故选：A．4．如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【解答】解：如图，设，，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，即，又∵，，∴，∴，即，∴，即,∴，故选：B．  5．如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（   ）  A． B． C． D．【解答】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故选：A．6．如图，，平分，则（    ）  A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：B．7．如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）  A．35° B．45° C．55° D．65°【解答】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故选：C．8．如图是一个零件示意图，经测量得知，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【解答】解：连接，并延长至点E，如图所示．  ∵是的外角，是的外角，∴，∴，即，∴．故选：A．9．如图，已知直线，，，那么的大小为（   ）A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，是的外角，，，．故选：B．10．将一直角三角形和矩形如图放置，若，则（    ）  A． B． C． D．【解答】解：如图所示：  ∵，∴，∴矩形两边平行，∴，∴，∴，∴，故选：C．11．一副三角板叠放在一起，如图所示，则图中的度数为______．  【解答】解：由题意可知，，，∴，∴，故答案为：．12．如图，中，和分别平分和，的延长线交于点，已知，则______．【解答】解：∵和分别平分和，∴，，∴在中，；∵，∴，∴，故答案为：．13．如图，，是分别沿着，边翻折形成的，若，则__________．  【解答】解：∵，∴设，则，，在中，，∴，解得：，∴，，，由图形翻折性质可知：，，∴，，∴，故答案为：．14．将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则______．  【解答】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．15．中，是边上的高，，，则________度．【解答】解：①如图，当点D在内部时，是边上的高，，，，，，；②如图，当点D在外部时，，，，，，综上可知，的度数为或故答案为：度或10．16．如图，直线，点E、F分别是、上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段上的一点，点N为射线上的一点，连接且．(1)如图1，若，则______；(2)如图2，连接，且恰好平分，，求的度数；(3)过点M作于H，G在射线上，连接，，若平分，，，求的度数．【解答】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：设，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴；（3）解：设，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分,∴，∵，∴，解得：，∴的度数为：；17．如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．  (1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余．【解答】（1）解：，，，平分，，，，，；（2）证明：，，，，，，，即：与互余．18．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．  (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；(2)请利用（1）的结论探索下列问题：①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）∵，，，∴；（2）①如图2，  ∵平分，平分 ，∴由（1）得：，，两式相加得：，即：，∴，②如图3，  设，，∵，∴，，由（1）得：，，即，∴，∴，即．题型三 多边形及其内角和1．如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为（    ）  A．172° B．162° C．152° D．150°【解答】∵正方形的内角和为：，∴正方形每一个内角为：，即图中，∵正五边形的内角和为： ，∴正五边形每一个内角为： ，即图中 ，∴，故选：B．2．等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则（    ）  A． B． C． D．【解答】正三角形的每个内角为，正五边形的每个内角，正方形的每一个内角为，∴，故选：A．3．正六边形的外角和为（    ）A． B． C． D．【解答】解：∵任意一个多边形的外角和都是，∴正六边形的外角和为．故选：C．4．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）  A． B． C． D．【解答】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为．故选：C．5．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得，，解得，∴这个多边形的边数为8，故选C．6．如果正多边形的一个内角等于，那么这个正多边形的边数是（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：正多边形的一个内角是，该正多边形的一个外角为，多边形的外角之和为，边数，该正多边形的边数是故选D．7．已知一个正n边形的每个内角都为120°，则_____．【解答】解：∵正n边形的每个内角都为120°，∴正n边形的每个外角，∴多边形边数．故答案为：6．8．若n边形的每个内角都是，则边数n为___．【解答】解：由题意得， 解得：．故答案为：5．9．如图，在正五边形中，连接交于点F，则的度数为______°．  【解答】解：∵五边形为正五边形，∴，，∴，∴．故答案为：72．10．如图，________．  【解答】解：如图，  ，，，，故答案为：540．11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是____________边形．【解答】解：设多边形边数为．则，解得．∴这个多边形是八边形．故答案为：八．12．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是________．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，∴，解得：，所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．13．如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则________°．  【解答】解：三角形的内角和等于，，，.，.故答案为：.  14．一个n边形的每个内角都等于，则_______．【解答】解：由题意可得：，解得．故答案为：10．15．一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为______．【解答】解：设这个多边形边数为，则，解得：，故答案为：7．三、分层训练：课堂知识巩固1．如图所示，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，，则的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意得，，．．，．．．．故选：．2．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为　　A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设这个多边形的边数为．由题意得，．．故选：．3．已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图所示，过点作，，，，，，，，，，．故选：．4．各图的中，正确画出边上的高的图形是　　A． B． C． D．【解答】解：、图中不是边上的高，本选项不符合题意；、图中是边上的高，本选项符合题意；、图中不是边上的高，本选项不符合题意；、图中不是边上的高，本选项不符合题意；故选：．5．已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是　　A．3 B．5 C．7 D．8【解答】解：，，．故选：．6．如图，五边形是正五边形，若，则　　A． B． C． D．【解答】解：延长交于，，，正五边形的每个外角相等，，，，．故选：．7．如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，作．，，，，，，，，故选：．8．五边形的内角和是　　A． B． C． D．【解答】解：五边形的内角和是：．故选：．9．下列长度的三条线段，能组成三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：．，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；．，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意；．，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；．，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意．故选：．10．如图，在中，平分，平分，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，平分，平分，，，，．故选：．11．下列各三角形中，正确画出边的高的是　　A． B． C． D．【解答】解：中边上的高即为过点作所在直线的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项符合题意．故选：．12．如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，图中等于　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，，，，，，故选：．13．如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：，，，又，，．故选：．14．如图，在锐角中，，分别是、边上的高，且与相交于点，若，的度数为　　．A． B． C． D．【解答】解：，分别是，边上的高，，，（四边形内角和为，（对顶角相等）．故选：．15．乐乐要从下面四组木棒中选择一组制作一个三角形作品，你认为他应该选　　A．3，5，6 B．2，3，5 C．2，4，7 D．3，8，4【解答】解：根据三角形的三边关系，得、，能组成三角形，符合题意；、，不能够组成三角形，不符合题意；、，不能够组成三角形，不符合题意；、，不能够组成三角形，不符合题意．故选：．16．下列长度的3根小木棒，能够搭成三角形的是　　A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【解答】解：、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；、，能构成三角形，故本选项符合题意；、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成三角形，故本选项不符合题意．故选：．17．如图，在中，，，平分，于点，则的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，平分，，．故选：．18．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，分别是的中线，角平分线，高，，，，故选项、、正确，选项错误，故选：．1．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设这个多边形的边数为，由题意得：，解得：，故选：．2．正十二边形的一个外角的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：正十二边形的一个外角为．故选：．3．如图．的度数为　　A． B． C． D．【解答】解：如图：，，，，，故选：．4．下列说法中，正确的个数有　　①同位角相等； ②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①只有两平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故说法①错误；②只有锐角三角形的三条高相交于三角形的内部，故说法②错误；③三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，故说法③错误；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加，此说法④正确；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角可能相等，也可能互补，故说法⑤错误；正确的个数有1个，故选：．5．如图：①②③中，，，，则　　度．A．84 B．111 C．225 D．201【解答】解：①②③中，，，，①中，，故；②中，；③中，，则故故选：．6．如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是　　A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【解答】解：为外角的平分线，平分，，，又是的外角，，，故①正确；，分别平分，，，，，故②、③错误；平分，平分，，，，是的外角，，故④正确；故选：．7．如图，在中，，，平分，平分的外角，则　　A． B． C． D．【解答】解：是的一个外角，，，，，，平分，平分，，，是的一个外角，，．故选：．8．如图，点和点是中和边上的两点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在射线上，与相交于点，若，，则的度数为 　　．【解答】解：由翻折可得：，，．设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．9．如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则　　．【解答】解：在正六边形内，正五边形中，，，．故答案为：．1．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为，管理员从边上的一点出发，沿的方向走了一圈回到处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过　360　．【解答】解：管理员走过一圈正好是三角形的外角和，从出发到回到原处在途中身体转过．故答案为：360．2．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，　36　度．【解答】解：，是等腰三角形，度．3．如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点．（1）若平分，平分，，则　　；（2）若，，，则　　；（3）将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）；（4）若将分成和两部分，，也将分成和两部分，，，则的度数　　（用含的代数式表示）．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，，，故答案为：；（2），，，，，，，，，故答案为：；（3），，，，，，，，；（4）如果，，；故答案为：．4．中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．①求证：；②若，求的度数；③若，将绕点顺时针旋转一定角度后得△，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．【解答】解：（1）三个内角的平分线交于点，，，，，；（2）①三个内角的平分线交于点，，，，；②三个内角的平分线交于点，，，，，；③，由②可知，，，平分，，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后得△，，，，，即此时旋转角度为，，，，绕点顺时针旋转或后得△，所在直线与平行．5．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．（1）如图1，平分，平分，则　　．（2）如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点．①若，则　　．②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．（3）如图3，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．【解答】解：（1）平分，平分，，，直线与互相垂直，垂足为，，，故答案为：．（2）①直线与互相垂直，垂足为，，，，平分交于点，平分，，，，故答案为：45．②不变，．设，平分交于点，平分，，，，，不变，．（3）的平分线，的平分线，，一个角是另一角的3倍，分两种情况讨论：①当时，，为的平分线，，，，；②当时，，为的平分线，，，，．等于或．