人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-2弧度制课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-2弧度制课时学案，共16页。

5.1.2　弧度制1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象)2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？知识点1　角度制与弧度制(1)度量角的两种制度(2)弧度数的计算比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．(3)角度制与弧度制的换算知识点2　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　)(2)用弧度表示的都是正角． (　　)(3)160°化为弧度制是89π rad． (　　)(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(1)7π5 rad化为角度是________．(2)105°的弧度数是________ rad．(1)252°　(2)7π12　[(1)7π5 rad＝7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad＝7π12 rad．]3．(1)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的________倍；(2)半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．(1)2　(2)π3　[(1)由l＝|α|R知，当半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长扩大为原来的2倍．(2)由已知得S扇＝12×π6×22＝π3．] 类型1　角度与弧度的互化与应用【例1】　将下列各角度与弧度互化：(1)67.5°；(2)112°30′；(3)9π4；(4)3．[解]　(1)67.5°＝67.5×π180＝3π8．(2)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5π8．(3)9π4＝9π4×180π°＝405°．(4)3＝3×180π°≈3×57.30°＝171.90°．　角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×180π°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[跟进训练]1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)A．60°化成弧度是π3 radB．－103π rad化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－76π radD．π12 rad化成角度是15°(2)将下表中的角度与弧度互化．(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　π4　π3　π2　3π4　5π6　π　[(1)对于A，60°＝60×π180 rad＝π3 rad；对于B，－103π rad＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180 rad＝－56π rad；对于D，π12 rad＝112×180°＝15°．故选ABD．] 类型2　用弧度制表示角的集合【例2】　(1)下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)(2)用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．(1)C　[A，B中弧度与角度混用，错误．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．](2)[解]　30°＝π6 rad，150°＝5π6 rad．终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是βπ6+kπ＜β＜5π6+kπ，k∈Z．　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用．[跟进训练]2．已知角α＝－1 125°．(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在[－4π，4π]范围内找出与β终边相同的角的集合．[解]　(1)－1 125°＝－1 125×π180＝－25π4＝－8π＋7π4，其中3π2<7π4<2π，所以7π4是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角．(2)依题意得，与β终边相同的角为7π4＋2kπ，k∈Z，由－4π≤7π4＋2kπ≤4π，k∈Z，可知k＝－2，－1，0，1，所以所求角的集合为-9π4，-π4，7π4，15π4． 类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用【例3】　已知扇形的周长为8 cm．(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．思路导引：(1)扇形周长及圆心角l＝αr 　 得l，r S＝12lr 求得S(2)S＝12lr 2r+l＝8 S＝128-2rr 最值求法 得最值[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S．(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，所以S＝12lr＝4(cm2)．(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，则S＝12lr＝12(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝lr＝2 rad．　扇形的弧长和面积的求解策略灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的最值问题，将扇形面积表示为半径r的函数，转化为关于r的二次函数．[跟进训练]3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．若一幅扇面的尺寸如图所示，则该扇面的面积为________ cm2．704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得24＝rθ， 64＝r+16θ， 解得r＝485．所以S扇面＝S扇面OCD－S扇面OAB＝12×64485+16－12×24×485＝704(cm2)．]1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度ABC　[根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．]2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C　[∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，∴角α的终边在第三象限．故选C．]3．若扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，则扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2．10π3　 50π3 　[已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r＝10 cm，则弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3(cm)，面积S＝12lr＝12×10π3×10＝50π3(cm2)．]4．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)25π，125π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝25π rad；当k＝1时，θ＝432°＝125π rad，所以在[0，4π]中与72°终边相同的角有25π，125π．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．角度制与弧度制怎样转化？[提示]　1°＝π180 rad，1 rad＝180π°．2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？[提示]　课时分层作业(四十二)　弧度制一、选择题1．下列各式中正确的是(　　)A．π＝180 B．1°＝180π radC．90°＝π2 rad D．1 rad＝π[答案]　C2．若一个扇形的半径变为原来的12，弧长变为原来的32倍，则扇形的圆心角变为原来的(　　)A．3倍　　　B．2倍　　　C．12　　　D．13A　[设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α1，改变后的扇形圆心角为α2，则α1＝lr，α2＝32l12r＝3lr＝3α1．故选A．]3．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．如图，现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　)A．－π3　　　B．π3　　　C．5π12　　　D．π2D　[根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为6×15°＝90°，即π2．故选D．]4．(多选)下列表示中正确的是(　　)A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是αα＝π2+kπ，k∈ZC．终边在坐标轴上角的集合是αα＝kπ2，k∈ZD．终边在直线y＝x上角的集合是αα＝π4+2kπ，k∈ZABC　[对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；对于B，终边在y轴上的角的集合是αα＝π2+kπ，k∈Z，故B正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为αα＝kπ，k∈Z，终边在y轴上的角的集合为αα＝π2+kπ，k∈Z，故合在一起即为αα＝kπ，k∈Z∪αα＝π2+kπ，k∈Z＝αα＝kπ2，k∈Z，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是αα＝π4+kπ，k∈Z，故D错误．故选ABC．]5．(多选)(2022·会泽实验中学月考)已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为4，则下列说法正确的是(　　)A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2D．2r＋1l的最小值为3ABC　[对于A，因为r＝1，周长为l＋2r＝4，所以l＝4－2r＝2，所以扇形的面积为S＝12lr＝12×2×1＝1，故A正确；对于B，由已知l＋2r＝4，所以l＝4－2r，又扇形的面积为S＝12lr＝12×(4－2r)×r≤2-r+r22＝1(当且仅当2－r＝r，即r＝1时取得最大值)．故B正确；对于C，当扇形面积为最大时，由对上面选项B分析可知r＝1且l＝4－2r＝2时，面积最大，圆心角α＝lr＝21＝2．故C正确；对于D，因为l＋2r＝4，所以l4＋r2＝1，所以2r＋1l＝2r+1l×1＝2r+1l×l4+r2＝l2r＋14＋1＋r2l ≥54＋2l2r×r2l＝94(当且仅当l2r＝r2l，即l＝r时等号成立)．故D错误．故选ABC．]二、填空题6．－135°化为弧度为______，11π3化为角度为______．－3π4　660°　[－135°＝－135×π180＝－3π4；11π3＝113×180°＝660°．]7．(2022·江西景德镇一中期末)将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是________．π6　[分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为 112×2π＝π6．]8．(2022·广东佛山高一期末)已知某扇形的弧长为2π，面积为3π，则该扇形的圆心角(正角)为________．23π　[设扇形所在圆的半径为r，扇形弧长为l，即l＝2π，由扇形面积S＝12rl得：3π＝12r·2π，解得r＝3，所以该扇形的圆心角(正角)为α＝lr＝23π．]三、解答题9．已知角α＝1 200°．(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－4π，0]上找出与角α终边相同的角．[解]　(1)因为α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3，所以角α与2π3的终边相同，又π2<2π3<π，所以角α是第二象限角．(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋2π3，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋2π3≤0，得－73≤k≤－13．因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1．当k＝－2时，2×(－2)π＋2π3＝－10π3；当k＝－1时，2×(－1)π＋2π3＝－4π3，故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3．10．(2022·河南新乡高一期末)现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是(　　)A．π2　　　B．7π8　　　C．3π4　　　D．16π3C　[当小轮转一周时，大轮转动2464周，所以大轮转动的弧度是2464×2π＝3π4．故选C．]11．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)A．π6　　　B．π3　　　C．2π3　　　D．5π6AD　[设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6．故选AD．]12．体育运动中存在着诸多几何美学，如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼瞬间的雕塑，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”，经测量此时两手掌心之间的弧长是5π8，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算雕塑两手掌心之间的距离约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(　　)A．1.012米 B．1.768米C．2.043米 D．2.945米B　[如图，构造一扇形AOB，使得OA＝OB＝1.25，弧长AB等于5π8，记∠AOB＝θ弧度，则OA·θ＝5π8，θ＝π2．所以在△AOB中，AB＝OA2+OB2＝1.25×2≈1.25×1.414≈1.768(米)．所以雕塑两手掌心之间的距离约为1.768米．故选B．]13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)(　　)A．6平方米 B．9平方米C．12平方米 D．15平方米B　[如图，由题意可得：∠AOB＝2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12AO ＝12×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sinπ3＝4×32＝23，可得：弦＝2AD＝2×23＝43，所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．故选B．]14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．[解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3 rad．(2)由(1)可知α＝π3 rad，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·53＝12×10×53＝253，∴S＝S扇形－S△AOB＝252π3-3．15．如图所示，已知一长为3dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．[解]　AA1所在的圆半径是2 dm，圆心角为π2；A1A2所在的圆半径是1 dm，圆心角为π2；A2A3所在的圆半径是3dm，圆心角为π3，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9+23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm2)．角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 rad度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝απR180l＝αR扇形的面积S＝απR2360S＝12lR＝12αR2角度0°45°60°90°135°150°180°弧度π65π123π22π度量单位类别角度制弧度制弧长l＝nπr180l＝|α|r面积S＝nπr2360S＝12lr＝12αr2