人教A版高中数学必修第一册第5章5-2-1第1课时任意角三角函数的定义课时学案

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5.2　三角函数的概念5.2.1　三角函数的概念第1课时　任意角三角函数的定义借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象)初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有sin α＝ac，cos α＝bc，tan α＝ab．当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？知识点　任意角的三角函数的定义三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？[提示]　无关．三角函数值是比值，是一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin α表示sin 与α的乘积． (　　)(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大． (　　)[答案]　(1)×　(2)×2．已知角α的终边与单位圆的交点P55，-255，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．[答案]　－255　55　-2 类型1　单位圆法求三角函数值【例1】　(源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－π4．(1)画出角α；(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值．[解]　(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转π4，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M．于是α＝∠MOP＝－π4即为所作的角．(2)设点P(u，v)，则u＝22，v＝－22，sin -π4＝v＝－22，cos -π4＝u＝22．　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．[跟进训练]1．求2π3的正弦、余弦和正切值．[解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝2π3(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为-12，32，所以sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，tan 2π3＝－3． 类型2　坐标法求三角函数值　角的终边过定点【例2】　若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解]　因为r＝-3a2+4a2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝-3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1．②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a-5a＝-45，cos α＝-3a-5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1．　角的终边在定直线上【例3】　已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解]　∵角α的终边落在直线3x＋y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(t，－3t)(t≠0)．则r＝t2+-3t2＝2|t|．当t>0时，r＝2t，sin α＝-3t2t＝－32，cos α＝t2t＝12，tan α＝-3tt＝－3；当t<0时，r＝－2t，sin α＝-3t-2t＝32，cos α＝t-2t＝－12，tan α＝-3tt＝－3．　利用定义的推广形式求值的方法(1)取点：在终边上取异于原点的任意一点P(x，y)；(2)计算r：r＝|OP|＝x2+y2；(3)求值：sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．[跟进训练]2．已知角α的终边在函数y＝－12x(x>0)的图象上，求sin α，cos α的值．[解]　在函数y＝－12x(x>0)的图象上取一点(2，－1)，则sin α＝-1-22+12＝－55，cos α＝2-22+12＝255．1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为35，-45，则下列表示正确的是(　　)A．sin α＝－45 B．cos α＝35C．tan α＝－34 D．tan α＝－43[答案]　ABD2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)A．1　　　B．－1　　　C．22　　　D．－22B　[由三角函数定义知tan α＝-11＝－1．故选B．]3．sin π2＝________，cos π＝________．1　－1　[∵单位圆x2＋y2＝1与角π2，π的终边的交点坐标分别为(0，1)，(－1，0)，∴sin π2＝1，cos π＝－1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．2．若角α的终边上任意一点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？[提示]　 sin α＝yx2+y2，cos α＝xx2+y2，tan α＝yx(x≠0)．3．若已知角α终边上的点的坐标含参数，求解时注意什么？[提示]　 若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．课时分层作业(四十三)　任意角三角函数的定义一、选择题1．已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)A．513，-1213 B．-513，1213C．1213，-513 D．-1213，513D　[设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝513，x＝cos α＝－1213，故点P-1213，513．]2．(2022·陕西渭南高一期末)已知角θ的终边经过点M(m，3－m)，且tan θ＝12，则m＝(　　)A．12　　　B．1　　　C．2　　　D．52C　[由题意tan θ＝3-mm＝12，解得m＝2．故选C．]3．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是(　　)A．23　　　B．±23　　　C．－22　　　D．－23D　[因为cos α＝－32<0，所以x<0，又r＝x2+22，则xx2+22＝－32，解得x＝－23(x＝23舍去)．]4．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则sinα-cosα-11+tanα的值为(　　)A．－65　　　B．1　　　C．2　　　D．3A　[由-32+42＝5，得sin α＝45，cos α＝-35，tan α＝－43，代入原式得＝45--35-11+-43＝－65．故选A．]5．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)A．-12，32 B．-32，-12C．-12，-32 D．-32，12A　[由题意知α＝2π3，则2π3的终边与单位圆的交点坐标为-12，32，故选A．]二、填空题6．已知角α的终边过点(－1，3)，则tan α＝________．－3　[tan α＝yx＝3-1＝－3．]7．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点513，1213和-35，45，那么sin αtan β＝________．－1613　[由任意角的正弦、正切函数的定义知，sin α＝1213，tan β＝45-35＝－43，所以sin αtan β＝1213×-43＝－1613．]8．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝-125，则a＝________，sin α＋cos α的值为________．－12　－713　[根据三角函数的定义，tan α＝a5＝－125，∴a＝－12，∴P(5，－12)．这时r＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713．]三、解答题9．已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ．[解]　由题意知r＝|OP|＝x2+9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2+9，又因为cos θ＝1010x，所以xx2+9＝1010x．因为x≠0，所以x＝±1．当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝312+32＝31010，tan θ＝31＝3；当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝3-12+32＝31010，tan θ＝3-1＝－3．10．(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝-31010，则x的值为(　　)A．－3　　　B．－1　　　C．1　　　D．3BC　[|OP|＝x2+9，∵sin α＝-3OP＝-3x2+9＝－31010，解得x2＝1，∴x＝±1．]11．(多选)(2022·江苏省如皋中学期末)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　)A．P(4，－12) B．sin θ＝－1213C．cos θ＝－513 D．tan θ＝－125BD　[因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝－12，即P(5，－12)，sin θ＝-1252+-122＝－1213，cos θ＝552+-122＝513，tan θ＝－125．]12．已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－22，则tan α＝__________．±1　[设点M的坐标为(x，y)，易知x2＋y2＝1且sin α＝y＝－22，所以x2＝1－y2＝1－12＝12，即x＝±22，所以tan α＝yx＝±1．]13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________．－15　[设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，由题意知y＝sin α＝15，所以sin β＝－y＝－15．]14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．[解]　当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝-35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34．所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154．当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3-4＝－34．所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×-45－34＝35＋125－34＝94．15．将如图(1)所示的摩天轮抽象成如图(2)所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为 l m，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为r m．记以OP为终边的角为α rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与α表示h．(1)　　　　　　　　(2)[解]　过点P作x轴的垂线，垂足为M(图略)，则：当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，h＝OT＋MP＝l＋r sin α；当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，因为MP＝－r sin α，此时h＝OT－MP＝l＋r sin α；当α的终边在x轴上时，sin α＝0，此时h＝OT＝l＋r sin α．所以，不管α的终边在何处，都有h＝l＋r sin α．条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tan α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R余弦函数y＝cos x，x∈R正切函数y＝tan x，x≠π2+kπ，k∈Z