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人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案
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这是一份人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案,共19页。
4.5.3 函数模型的应用1.会利用已知函数模型解决实际问题.(数学运算)2.能建立函数模型解决实际问题.(数学建模)3.了解拟合函数模型并解决实际问题.(数据分析)兔子是一种可爱的动物,尤其很受小朋友的喜爱.但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量呈对数增长.知识点 常见函数模型思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. ( )(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. ( )(3)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型. ( )(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3) × (4) × 类型1 利用已知函数模型解决实际问题【例1】 (2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )A.72 B.74 C.76 D.78B [由于L=L0DGG0,所以L=0.5×DG18,依题意0.4=0.5×D1818,则D=45,L=0.5×45G18.由L=0.5×45G18<0.2,得G>18log4525=18lg5-lg2lg5-2lg2=181-2lg21-3lg2≈73.9,所以所需的训练迭代轮数至少为74次.故选B.] 已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.[跟进训练]1.(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料,其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解,而可降解塑料只需5~8年就可完全分解.现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y=mnx(其中m,n为非零常数).当经过28个月时,这种可降解塑料的分解率为10%,当经过56个月时,这种可降解塑料的分解率为50%,则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据:取lg 2=0.3)( )A.86个月 B.80个月 C.68个月 D.60个月C [由题意得0.1=mn28,0.5=mn56, 得m=0.02,n=5128 , 所以y=0.02×5x28.令y=0.02×5x28=1,得5x28=50,所以x=28log550=28(log525+log52)=282+lg2lg5=282+lg21-lg2=68.故选C.] 类型2 自建确定性函数模型解决实际问题【例2】 (2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究,发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,12]时,曲线是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),且过点B(12,78);当t∈(12,40]时,曲线是函数p=loga(t-7)+79(00,故x≥lg3lg1.08,故x≥lg3lg108100=lg3lg108-2,因为lg 108=lg (33×22)=3lg 3+2lg 2,所以x≥lg33lg3+2lg2-2≈0.477 13×0.477 1+2×0.301-2≈14.3.约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上. 类型3 拟合数据构建函数模型解决实际问题【例3】 (2022·厦门期末)在密闭培养环境中,某类细菌的繁殖速度在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢.在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位:百万个)与培养时间x(单位:时)的关系为:根据表格中的数据画出散点图如下:为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系,现有以下三种模型供选择:①y=alog2x+b,②y=ax-3+b,③y=2x-a+b.(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并说明理由;(2)利用(4,4)和(8,4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式,并预测从第2小时开始,至少再经过多少个小时,细菌数量达到5百万个.[解] (1)依题意,所选函数必须满足三个条件:①定义域包含[2,+∞);②增函数;③随着自变量的增加,函数值的增长速度变小.因为函数y=ax-3+b的定义域为[3,+∞),x=2时无意义,故不符合实际的函数模型;函数y=2x-a+b随着自变量的增加,函数值的增长速度变大,故不符合实际的函数模型.因为函数y=alog2x+b可以同时符合上述条件,所以应该选择函数y=alog2x+b.(2)依题意知alog24+b=2a+b=4, alog28+b=3a+b=4.5,解得a=12,b=3,所以y=12log2x+3.令y=12log2x+3≥5,解得x≥16.所以,至少再经过14个小时,细菌数量达到5百万个. 函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格,绘出散点图.(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.[跟进训练]3.数据显示,某新创业的IT公司2022年上半年五个月的收入情况如表所示:根据上述数据,在建立该公司2022年月收入y(万元)与月份x的函数模型时,给出两个函数模型y=x12与y=2x3供选择.(1)你认为哪个函数模型较好,建立坐标系画出散点图,并结合散点图简单说明理由;(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从第几个月开始,该公司的月收入会超过100万元?(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1;月份取整数)[解] (1)根据表格提供的数据,画出散点图以及函数y=x12与y=2x3的图象:观察发现,这些点基本上是落在函数y=2x3图象上或附近,因此用y=2x3这一函数模型.(2)当2x3=100时,2x=300,∵28=256<300,29=512>300,且1≤x≤12,x∈N,∴x=9,∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元.1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的散点图.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是( )A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2tD [由题图知,该函数可能是y=log2t.故选D.]2.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2021年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )A.y=0.95x50·mB.y=1-0.05x50 ·mC.y=0.9550-x·mD.y=(1-0.0550-x)·mA [设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50=0.95,所以q%=0.95150,所以从2021年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y=0.95x50·m.故选A.]3.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:则下列函数(其中a,b为待定系数)中,与x,y的函数关系最接近的是( )A.y=a+bx B.y=bxC.y=ax2+b D.y=bxB [散点图如图:由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D.故选B.]4.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0).4 [设至少要洗x次,则1-34x≤1100,所以x≥1lg2≈3.322,所以至少需清洗4次.]回顾本节知识,自主完成以下问题:解决函数应用问题的基本步骤是什么?[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.这些步骤用框图表示如图:课时分层作业(四十) 函数模型的应用一、选择题1.据统计,第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y=alog3(x+2).观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤( )A.4 000只 B.5 000只C.6 000只 D.7 000只C [由题意,得3 000=alog3(1+2),得a=3 000,所以当x=7时,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选C.]2.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711 B.712 C.127-1 D.117-1D [设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=117,故x=117-1.故选D.]3.月球距离地球大约38万千米.有人说,在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以大于或等于月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)( )A.40 B.41 C.42 D.43C [设对折n次时,纸的厚度为y(单位:毫米),由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,则y=0.1×2n.令y=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥lg 3.8+12,即n≥12.60.3=42,所以至少对折的次数n是42.故选C.]4.(2022·浙江杭州期末)为预防病毒感染,学校每天定时对教室进行喷洒消毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=18x-a(a为常数),则( )A.当0≤x≤0.2时,y=4xB.当x>0.2时,y=18x-0.1C.2330小时后,教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下D.1315小时后,教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下D [当0≤x≤0.2时,设y=kx,则1=0.2k,故k=5,即y=5x,故A错误;当x>0.2时,把(0.2,1)代入到y=18x-a中可得180.2-a=1,∴a=0.2,即y=18x-0.2,故B错误;令18x-0.2<0.25,即123x-0.6<122,∴3x-0.6>2,解得x>1315,故C错误,D正确.故选D.]5.(多选)假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)( )A.2023年 B.2024年C.2025年 D.2026年CD [设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,则投入的资金为y=5 000×(1+20%)n,由题意可得:y=5 000×(1+20%)n>12 800,即1.2n>2.56,∴n lg 1.2>lg 2.56=lg 28-2,∴n>lg28-2lg1.2≈8×0.301-20.079≈5.16,∵n∈Z,∴n≥6,即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元.故选CD.]二、填空题6.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升,牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代,现将一袋细菌含量为3 000个/毫升的牛奶常温放置于空气中,经过________分钟就不宜再饮用.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3 ≈0.477)188 [设经过x个周期后细菌含量超标,即3 000×2x>2 000 000,即2x>2 0003,所以x>log22 0003=lg2000-lg3lg2=lg2+3-lg3lg2≈9.4,而20×9.4=188,因此经过188分钟就不宜再饮用.]7.(2022·吉林长春十一中期末)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,那么10 h后还剩________的污染物.81% [由题意可知,0.9P0=P0e-5k,所以e-5k=0.9.所以10小时后污染物含量P=P0e-10k=P0(e-5k)2=P0×0.92=0.81P0,即10小时后还剩81%的污染物.]8.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据:现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.④ [画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.]三、解答题9.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感.经过研究发现,在25℃室温下,设茶水温度从85℃开始,经过x分钟后的温度为y℃,则满足y=kax+25(k∈R,00),②y=k·1.2x+b(k>0),③y=klog2x15+2+n(k>0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;(2)求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.(注:2≈1.414,结果保留整数)[解] (1)第一步:分析题中每个模型的特点.对于模型一,当k>0时,匀速增长;对于模型二,当k>0时,先慢后快增长;对于模型三,当k>0时,先快后慢增长.第二步:根据题中材料和题图选择合适的函数模型.从题图可知应选择先快后慢增长的函数模型,故选y=klog2x15+2+n.第三步:把已知的两点代入选好的模型中,得到函数解析式.将(0,0),(30,3)代入解析式,得k+n=0, klog24+n=3,即k+n=0, 2k+n=3, 解得k=3,n=-3,即y=3log2x15+2-3.第四步:验证模型是否合适.当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2x15+2-3.(2)由y=3log2x15+2-3≥4.5,得log2x15+2≥2.5=log2252,得x15+2≥252=42≈5.656,得x≥54.84,所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟.一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)分段函数模型y=ax+bx
4.5.3 函数模型的应用1.会利用已知函数模型解决实际问题.(数学运算)2.能建立函数模型解决实际问题.(数学建模)3.了解拟合函数模型并解决实际问题.(数据分析)兔子是一种可爱的动物,尤其很受小朋友的喜爱.但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量呈对数增长.知识点 常见函数模型思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. ( )(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. ( )(3)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型. ( )(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3) × (4) × 类型1 利用已知函数模型解决实际问题【例1】 (2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )A.72 B.74 C.76 D.78B [由于L=L0DGG0,所以L=0.5×DG18,依题意0.4=0.5×D1818,则D=45,L=0.5×45G18.由L=0.5×45G18<0.2,得G>18log4525=18lg5-lg2lg5-2lg2=181-2lg21-3lg2≈73.9,所以所需的训练迭代轮数至少为74次.故选B.] 已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.[跟进训练]1.(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料,其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解,而可降解塑料只需5~8年就可完全分解.现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y=mnx(其中m,n为非零常数).当经过28个月时,这种可降解塑料的分解率为10%,当经过56个月时,这种可降解塑料的分解率为50%,则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据:取lg 2=0.3)( )A.86个月 B.80个月 C.68个月 D.60个月C [由题意得0.1=mn28,0.5=mn56, 得m=0.02,n=5128 , 所以y=0.02×5x28.令y=0.02×5x28=1,得5x28=50,所以x=28log550=28(log525+log52)=282+lg2lg5=282+lg21-lg2=68.故选C.] 类型2 自建确定性函数模型解决实际问题【例2】 (2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究,发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,12]时,曲线是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),且过点B(12,78);当t∈(12,40]时,曲线是函数p=loga(t-7)+79(00,故x≥lg3lg1.08,故x≥lg3lg108100=lg3lg108-2,因为lg 108=lg (33×22)=3lg 3+2lg 2,所以x≥lg33lg3+2lg2-2≈0.477 13×0.477 1+2×0.301-2≈14.3.约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上. 类型3 拟合数据构建函数模型解决实际问题【例3】 (2022·厦门期末)在密闭培养环境中,某类细菌的繁殖速度在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢.在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位:百万个)与培养时间x(单位:时)的关系为:根据表格中的数据画出散点图如下:为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系,现有以下三种模型供选择:①y=alog2x+b,②y=ax-3+b,③y=2x-a+b.(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并说明理由;(2)利用(4,4)和(8,4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式,并预测从第2小时开始,至少再经过多少个小时,细菌数量达到5百万个.[解] (1)依题意,所选函数必须满足三个条件:①定义域包含[2,+∞);②增函数;③随着自变量的增加,函数值的增长速度变小.因为函数y=ax-3+b的定义域为[3,+∞),x=2时无意义,故不符合实际的函数模型;函数y=2x-a+b随着自变量的增加,函数值的增长速度变大,故不符合实际的函数模型.因为函数y=alog2x+b可以同时符合上述条件,所以应该选择函数y=alog2x+b.(2)依题意知alog24+b=2a+b=4, alog28+b=3a+b=4.5,解得a=12,b=3,所以y=12log2x+3.令y=12log2x+3≥5,解得x≥16.所以,至少再经过14个小时,细菌数量达到5百万个. 函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格,绘出散点图.(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.[跟进训练]3.数据显示,某新创业的IT公司2022年上半年五个月的收入情况如表所示:根据上述数据,在建立该公司2022年月收入y(万元)与月份x的函数模型时,给出两个函数模型y=x12与y=2x3供选择.(1)你认为哪个函数模型较好,建立坐标系画出散点图,并结合散点图简单说明理由;(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从第几个月开始,该公司的月收入会超过100万元?(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1;月份取整数)[解] (1)根据表格提供的数据,画出散点图以及函数y=x12与y=2x3的图象:观察发现,这些点基本上是落在函数y=2x3图象上或附近,因此用y=2x3这一函数模型.(2)当2x3=100时,2x=300,∵28=256<300,29=512>300,且1≤x≤12,x∈N,∴x=9,∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元.1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的散点图.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是( )A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2tD [由题图知,该函数可能是y=log2t.故选D.]2.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2021年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )A.y=0.95x50·mB.y=1-0.05x50 ·mC.y=0.9550-x·mD.y=(1-0.0550-x)·mA [设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50=0.95,所以q%=0.95150,所以从2021年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y=0.95x50·m.故选A.]3.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:则下列函数(其中a,b为待定系数)中,与x,y的函数关系最接近的是( )A.y=a+bx B.y=bxC.y=ax2+b D.y=bxB [散点图如图:由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D.故选B.]4.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0).4 [设至少要洗x次,则1-34x≤1100,所以x≥1lg2≈3.322,所以至少需清洗4次.]回顾本节知识,自主完成以下问题:解决函数应用问题的基本步骤是什么?[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.这些步骤用框图表示如图:课时分层作业(四十) 函数模型的应用一、选择题1.据统计,第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y=alog3(x+2).观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤( )A.4 000只 B.5 000只C.6 000只 D.7 000只C [由题意,得3 000=alog3(1+2),得a=3 000,所以当x=7时,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选C.]2.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711 B.712 C.127-1 D.117-1D [设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=117,故x=117-1.故选D.]3.月球距离地球大约38万千米.有人说,在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以大于或等于月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)( )A.40 B.41 C.42 D.43C [设对折n次时,纸的厚度为y(单位:毫米),由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,则y=0.1×2n.令y=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥lg 3.8+12,即n≥12.60.3=42,所以至少对折的次数n是42.故选C.]4.(2022·浙江杭州期末)为预防病毒感染,学校每天定时对教室进行喷洒消毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=18x-a(a为常数),则( )A.当0≤x≤0.2时,y=4xB.当x>0.2时,y=18x-0.1C.2330小时后,教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下D.1315小时后,教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下D [当0≤x≤0.2时,设y=kx,则1=0.2k,故k=5,即y=5x,故A错误;当x>0.2时,把(0.2,1)代入到y=18x-a中可得180.2-a=1,∴a=0.2,即y=18x-0.2,故B错误;令18x-0.2<0.25,即123x-0.6<122,∴3x-0.6>2,解得x>1315,故C错误,D正确.故选D.]5.(多选)假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)( )A.2023年 B.2024年C.2025年 D.2026年CD [设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,则投入的资金为y=5 000×(1+20%)n,由题意可得:y=5 000×(1+20%)n>12 800,即1.2n>2.56,∴n lg 1.2>lg 2.56=lg 28-2,∴n>lg28-2lg1.2≈8×0.301-20.079≈5.16,∵n∈Z,∴n≥6,即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元.故选CD.]二、填空题6.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升,牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代,现将一袋细菌含量为3 000个/毫升的牛奶常温放置于空气中,经过________分钟就不宜再饮用.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3 ≈0.477)188 [设经过x个周期后细菌含量超标,即3 000×2x>2 000 000,即2x>2 0003,所以x>log22 0003=lg2000-lg3lg2=lg2+3-lg3lg2≈9.4,而20×9.4=188,因此经过188分钟就不宜再饮用.]7.(2022·吉林长春十一中期末)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,那么10 h后还剩________的污染物.81% [由题意可知,0.9P0=P0e-5k,所以e-5k=0.9.所以10小时后污染物含量P=P0e-10k=P0(e-5k)2=P0×0.92=0.81P0,即10小时后还剩81%的污染物.]8.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据:现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.④ [画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.]三、解答题9.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感.经过研究发现,在25℃室温下,设茶水温度从85℃开始,经过x分钟后的温度为y℃,则满足y=kax+25(k∈R,00),②y=k·1.2x+b(k>0),③y=klog2x15+2+n(k>0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;(2)求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.(注:2≈1.414,结果保留整数)[解] (1)第一步:分析题中每个模型的特点.对于模型一,当k>0时,匀速增长;对于模型二,当k>0时,先慢后快增长;对于模型三,当k>0时,先快后慢增长.第二步:根据题中材料和题图选择合适的函数模型.从题图可知应选择先快后慢增长的函数模型,故选y=klog2x15+2+n.第三步:把已知的两点代入选好的模型中,得到函数解析式.将(0,0),(30,3)代入解析式,得k+n=0, klog24+n=3,即k+n=0, 2k+n=3, 解得k=3,n=-3,即y=3log2x15+2-3.第四步:验证模型是否合适.当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2x15+2-3.(2)由y=3log2x15+2-3≥4.5,得log2x15+2≥2.5=log2252,得x15+2≥252=42≈5.656,得x≥54.84,所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟.一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)分段函数模型y=ax+bx
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