人教A版高中数学必修第一册第2章2-3第2课时一元二次不等式的应用课时学案

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第2课时　一元二次不等式的应用1．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模)2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象) 类型1　解简单的分式不等式【例1】　解下列不等式：(1)x+12x-1<0；(2)1-x3x+5≥0；(3)x-1x+2>1．[解]　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，∴－10，∴x-1-x+2x+2>0，即-3x+2>0，则x<－2．故原不等式的解集为{x|x<－2}．　简单的分式不等式的解法[跟进训练]1．解下列不等式：(1)x+1x-3≥0；(2)5x+1x+1<3．[解]　(1)不等式x+1x-3≥0可转化成不等式组(x+1)(x-3)≥0，x≠3， 解得x≤－1或x>3．即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．(2)不等式5x+1x+1<3可改写为5x+1x+1－3<0，即2x-1x+1<0．可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－10，对任意实数x∈R恒成立的条件是a>0，Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是a>0，Δ≤0；(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是a<0，Δ<0；(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是a<0，Δ≤0．提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为a>0，Δ<0　或a=b=0，c>0．　　[跟进训练]2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．[解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得m2+4m-5>0，　　　　　　　　　　Δ=16m-12-12m2+4m-5<0，解得10，00，04A　[依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A．]3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)A．100台 B．120台C．150台 D．180台C　[由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．{k|－30(<0)恒成立的条件．[提示]　课时分层作业(十五)　一元二次不等式的应用一、选择题1．(2022·广东佛山月考)不等式3-x2x+1≥1的解集是(　　)A．x-120的解集为{x|x<－1或x>2}，则实数a＝________．2　[x-ax+1>0⇔(x＋1)(x－a)>0，又由不等式解集的端点值是对应方程的根可知a＝2．]7．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值集合为________．{a|0≤a≤4}　[①当a＝0时，满足题意；②当a≠0时，应满足a>0，Δ≤0，解得00为真命题，则实数a的取值范围是________．a0≤a<4　[当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；当a≠0时，要使∀x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，可得a>0， a2-4a<0 ⇒01)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围．已知p：x-4x+3<0，q：________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解]　由命题p：x-4x+3<0，得到－31)．由x2－(a＋1)x＋a<0(a>1)可解得：11， 解得10在R上恒成立”的充要条件是(　　)A．m>14 B．m<14C．m<1 D．m>1A　[∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0 ，解得m>14，又∵m>14，∴Δ＝1－4m<0，则不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴“m>14”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A．]11．若x>0，y>0，且2x＋1y＝1，x＋2y>m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．{m|－81}C．{m|m<－1或m>8}D．{m|－10)，即当x＝2y时，等号成立，所以，x＋2y的最小值为8．由题意可得m2＋7m<(x＋2y)min＝8，即m2＋7m－8<0，解得－85时，y＝R(5)－(0.5＋0.25x)＝12－x4，故y＝-0.5x2+4.75x-0.5，0≤x≤5，12-x4 ，x>5， 故A错误；当0≤x≤5时，y＝－12x-1942＋34532，故ymax＝34532，此时x＝4.75；当x>5时，y<12－14×5＝10.75<34532，故当年产量为475台时年利润最大，最大为34532万元，故B正确；不亏本即y≥0，当0≤x≤5时，y＝－0.5x2＋4.75x－0.5≥0，解得0.11≤x≤5；当x>5时，y＝12－0.25x≥0，解得512　[因为ax-1x+b＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为1a，－b，因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且1a＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3；则2ax+12x-b＜0即-2x+12x+3＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，解得xx<-32或x>12．]14．已知关于x的不等式x2－mx＋m>0，其中m为参数．(1)若该不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)当x>1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．[解]　(1)由题意得m2－4m<0，解得01时，x－1>0，∴x2－mx＋m>0⇔m0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0a>0Δ<0a<0Δ<0