人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案，共14页。

2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)
一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集、真子集、集合的相等
(1)Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(2)两个集合之间的关系
(3)子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．
②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．
1．集合A＝{x|x≤1}与集合B＝{0，1}之间有包含关系吗？
[提示] 有．因为B中的元素0，1都满足小于或等于1，故满足包含关系，即B⊆A．
2．符号“∈”与“⊆”的区别是什么？
[提示] 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系．
知识点2 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．
(2)规定：空集是任何集合的子集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．(1)0＝∅吗？
(2)0∈∅吗？
(3)∅与{0}是什么关系？
[提示] (1)0≠∅，0是数，∅是集合．
(2)0∉∅，∅不含任何元素．
(3)∅{0}．
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C．
(1)＝ (2) (3) (4)∈ [集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C．]
类型1 子集、真子集的个数问题
【例1】 填写下表，并回答问题：
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2．
子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有2n－1个；
(3)A的真子集有2n－1个；
(4)A的非空真子集有2n－2个．
[跟进训练]
1．已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
类型2 集合间关系的判断
【例2】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N *}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B．
(3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B．
(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M．
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[跟进训练]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
A B C D
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]
类型3 由集合间的关系求参数
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
{m|11，所以1]
[母题探究]
(1)本例若将集合“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1(2)本例若将集合“B＝{x|11)”改为“B＝{x|2m－1(1)m≤4 (2)m≥－1 [(1)若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A．
若m>1，则由例题解析可知1综上可知m≤4．
(2)因为B⊆A，
①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2．
②当B≠∅时，有-3≤2m-1， m+1≤4， 2m-1解得－1≤m<2，
综上得m≥－1．]
利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的取值集合M．
[解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅．
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝13．
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－12．
当B＝∅时，m＝0．
综上所述，m的取值集合M＝13，-12，0．
1．集合{1，2}的子集有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A [集合{1，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．]
2．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是( )
A．ABB．A＝B
C．BAD．B⊆A
A [∵A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，∴AB．故选A．]
3．(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈M B．{1}∈M C．∅⊆M D．{0，1}⊆M
ACD [∵M＝{0，1}，∴0∈M，∅⊆M，{0，1}⊆M，故ACD均正确．]
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，则a的取值范围为________；
(2)若B⊆A，则a的取值范围为________．
(1){a|a>2} (2){a|1≤a≤2} [(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2．
(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2．
因为a≥1，所以1≤a≤2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
[提示] 两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示] (1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示] 包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．
课时分层作业(三) 集合间的基本关系
一、选择题
1．下列各选项中，表示M⊆N的是( )
A B
C D
C [由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．]
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}
B [满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅．]
3．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤0∈{0}．其中正确的个数是( )
A．1 B．3 C．4 D．2
B [①②⑤正确，③④错误，故选B．]
4．(多选)(2022·湖南师大附中月考)已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则a的可能取值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
BD [因为B⊆A，
又集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a＋2}，
所以a＋2＝2或a＋2＝a2，
解得a＝0或a＝2或a＝－1，
当a＝－1时，不满足集合元素的互异性，
所以a＝0或a＝2．故选BD．]
5．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．12 C．1 D．2
BD [∵集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
∴m＝0， -2n+1＝0或m≠0， Δ＝4-4m＝0， n＝--22m，
解得m＝0，n＝12 或m＝1，n＝1，
∴m＋n＝12或m＋n＝2．故选BD．]
二、填空题
6．设A＝{x|1{a|a≥2} [如图，因为AB，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．
]
7．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是________．
{(1，2)}，{(－3，4)} [{(1，2)，(－3，4)}的所有真子集有∅，{(1，2)}，{(－3，4)}，其非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．]
8．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，b}，若P＝Q，则a2 024＋b2 024＝________．
2 [由P＝Q可知a＝－1，b＝1．
∴a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋12 024＝1＋1＝2．]
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C．
[解] (1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，a＝15时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA．
(2)当a＝0时，由题意知B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A；
当a≠0时，B＝1a，又A＝{3，5}，B⊆A，
此时1a＝3或5，则有a＝13或a＝15．
所以C＝0，13，15．
10．(2022·陕西西安高新区唐南中学月考)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3＝( )
A．1 B．2 C．3 D．94
C [集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：
{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，
故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3．故选C．]
11．(多选)(2022·吉林长春外国语学校月考)下列选项中的两个集合相等的是( )
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N *}
C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝xx＝1+(-1)n2，n∈Z
D．P＝{y|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}
AC [对于A，P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}，集合P与Q均为偶数集，
故P＝Q，即A正确；
对于B，P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}＝{1，3，5，7，9，…}，
Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N *}＝{3，5，7，9，…}，故P≠Q，即B错误；
对于C，P＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，当n为偶数时，1+-1n2＝1，当n为奇数时，1+-1n2＝0，
即Q＝xx＝1+(-1)n2，n∈Z＝{0，1}，所以P＝Q，故C正确；对于D，P＝{y|y＝x＋1}＝R，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}为点集，故P≠Q，即D错误；故选AC．]
12．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝(x，y)yx＝1，则A，B的关系是________．
BA [因为B＝(x，y)yx＝1＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA．]
13．(2022·江苏金陵中学月考)集合A＝{x|(a－1)x2＋8x＋2＝0}，若A的子集个数为2，则实数a的值为________．
1或9 [A的子集个数为2，则A中只有1个元素，
当a＝1时，A＝-14，A的子集个数为2，
当a≠1时，Δ＝64－8(a－1)＝0，解得a＝9，A＝-12，A的子集个数为2．
综上所述，实数a的值为1或9．]
14．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
[解] (1)当B＝∅时，2a>a＋3，即a>3．显然满足题意．
(2)当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得a+3≥2a，a+3<-1 或a+3≥2a，2a>4，
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．
15．若x∈A，1x∈A，则称A是伙伴关系集合．求集合M＝-1，0，12，13，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合．
[解] 由“x∈A，1x∈A”知，－1可以在集合A中，0一定不在集合A中，2和12同时在(或不在)集合A中，3和13同时在(或不在)集合A中，因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{－1}，12，2，13，3，-1，12，2，-1，13，3，12，2，13，3，-1，12，2，13，3，共7个．
关系
定义
符号表示
图形表示
子
集
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
真
子
集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
集
合
相
等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B
集合
集合的子集
子集的个数
∅
{a}
{a，b}
{a，b，c}
集合
集合的子集
子集的个数
∅
∅
1
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8