人教A版高中数学必修第一册第1章1-1第2课时集合的表示课时学案

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第2课时　集合的表示1．初步掌握集合的两种表示方法－－列举法、描述法．(数学抽象)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(数学运算)四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》．四大名著是中国古典文学的精品，受到很多读者的喜爱．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？知识点1　列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．用列举法表示集合时应注意以下两点：(1)元素间用“，”隔开；(2)花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．知识点2　描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．用描述法表示集合时应注意以下三点：(1)代表元素x可以是数，也可以是点，…．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．如偶数集可以表示为{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略．(3)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}．{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？[提示]　不能．前面集合表示的是点集；而后两个集合表示的是数集．1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)A．{(－2，2)}　　　 B．{－2，2}C．{－2} D．{2}B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．]2．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．{x|x<3}　[用描述法可表示为{x|x<3}．] 类型1　用列举法表示集合【例1】　用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，32，所以C＝-1，32．(4)由y＝x+3， y＝-2x+6，得x＝1，y＝4．所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．　用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．[跟进训练]1．用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有正整数组成的集合；(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．[解]　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． 类型2　用描述法表示集合【例2】　(源自北师大版教材)用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有有理数组成的集合A；(2)所有奇数组成的集合B；(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．[解]　(1)设x∈A，则x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x<10}．(2)设x∈B，则x是一个奇数．因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．(3)设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r．因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}．　用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[跟进训练]2．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；(3)使函数y＝2x-1有意义的实数x组成的集合．[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．(2){(x，y)|y＝x2－4}．(3){x|x≠1}． 类型3　集合表示方法的综合应用【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．思路导引：A中只有一个元素 转化 方程kx2－8x＋16＝0有唯一解．[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．[母题探究]本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1．综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．　解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．[跟进训练]3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)aa＝0或a≥14　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥14．故实数a的取值范围为aa＝0或a≥14．]1．(2022·黑龙江鸡西市第四中学月考)用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为(　　)A．{1，3} B．{1，－3} C．{(－1，3)} D．{－1，3} D　[解x2－2x－3＝0可得x1＝－1，x2＝3，故列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为{－1，3}，故选D．]2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}D　[由y＝x-3，y＝-2x，得x＝1， y＝-2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]3．(多选)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)A．{－2，0，2，4，6，8，10}B．{0，2，4，6，8，10}C．{x|－3m}，若－1∉A，则实数m的取值范围是(　　)A．m<－1 B．m>－1C．m≥－1 D．m≤－1C　[∵集合A＝{x|3x＋2>m}，－1∉A，∴3×(－1)＋2≤m，即m≥－1，故选C．]5．(多选)方程组x+y＝3，x-y＝1 的解集可表示为(　　)A．(x，y)x+y＝3，x-y＝1 B．(x，y)x＝2，y＝1 C．(2，1)D．{(2，1)}ABD　[由x+y＝3，x-y＝1，得x＝2，y＝1，故结合选项可知ABD均正确．]二、填空题6．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为________．{(0，3)，(1，2)，(2，1)}　[集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1．故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．]7．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为________．[答案]　{x|x＝n，n∈N*}8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．{1，3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．]三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解]　(1)方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|21．综上所述，当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m成立？证明你的结论．[解]　(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b．故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)不一定．证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z．当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m成立．