高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品练习题

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1．（3分）（2022·新疆·高三阶段练习（理））函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的简图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】代入特殊值x=π6，x=π排除不合题意的选项，即得解.
【解答过程】将x=π6代入到函数解析式中求出函数值为y=0，可排除C，D;
将x=π代入到函数解析式中求出函数值为−32负数，可排除B.
故选：A.
2．（3分）（2023·陕西西安·高三期末（理））下列区间中，是函数fx=csx−π3单调递减的区间是（ ）
A．(0,π)B．π3,π2C．(π,2π)D．π3,2π
【解题思路】由2kπ≤x−π3≤π+2kπ,k∈Z，求出函数的单调减区间，从而可求得答案.
【解答过程】由2kπ≤x−π3≤π+2kπ,k∈Z，得2kπ+π3≤x≤4π3+2kπ,k∈Z，
则f(x)的减区间为2kπ+π3,4π3+2kπ(k∈Z)，
因为π3,π2⊆π3,4π3，
所以π3,π2是函数的一个单调减区间，
故选：B.
3．（3分）（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数f(x)=−|tanx|说法正确的是（ ）
A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)为奇函数
C．函数f(x)的最小值为0D．函数f(x)的最小正周期为π
【解题思路】由解析式有意义列不等式求函数f(x)的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数f(x)的图象，利用图象判断C，D.
【解答过程】对于选项A，函数f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}，故选项A错误;
对于选项B，函数f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}关于原点对称，
又f(−x)=−|tan(−x)|=−|tanx|，则函数f(x)为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数f(x)的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数f(x)草图如下：
由图可知，函数f(x)没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数f(x)的最小正周期为π，故选项D正确.
故选：D.
4．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,π3上恰有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．112≤ω<172B．112≤ω≤172
C．172≤ω<232D．172≤ω≤232
【解题思路】根据题意，将原问题转化为函数y=sinx在区间π6,π3ω+π6上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【解答过程】因为x∈0,π3,ω>0，所以ωx+π6∈π6,π3ω+π6，
又函数fx=sinωx+π6(ω>0)在0,π3上恰有三个零点，等价于函数y=sinx在区间π6,π3ω+π6上恰有三个零点，
由正弦函数的性质可知，3π≤π3ω+π6<4π，
所以172≤ω<232，
故选：C.
5．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知a=43cs34，b=43sin34，c=tan43，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c【解题思路】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.
【解答过程】由于0<34<π4，由三角函数的性质可知，cs34>sin34，
则a=43cs34>b=43sin34，
由π3<43<π2，则c=tan43>3>43>a，
故c>a>b．
故选：D.
6．（3分）（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数fx=csωx−π3(ω>0)在π6,π4上单调递增，且当x∈π4,π3时，fx≥0恒成立，则ω的取值范围为（ ）
A．0,52∪223,172B．0,43∪8,172C．0,43∪8,283D．0,52∪223,8
【解题思路】由已知，分别根据函数fx在区间π6,π4上单调递增，在x∈π4,π3时，fx≥0恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合ω的本身范围进行求解.
【解答过程】由已知，函数fx=csωx−π3(ω>0)在π6,π4上单调递增，
所以2k1π−π≤ωx−π3≤2k1πk1∈Z，解得：2k1πω−2π3ω≤x≤2k1πω+π3ωk1∈Z，
由于π6,π4⊆2k1πω−2π3ω,2k1πω+π3ωk1∈Z，所以π6≥2k1πω−2π3ωπ4≤2k1πω+π3ω，解得：12k1−4≤ω≤8k1+43k1∈Z①
又因为函数fx=csωx−π3(ω>0)在x∈π4,π3上fx≥0恒成立，
所以2k2π−π2≤ωx−π3≤2k2π+π2k2∈Z，解得：2k2πω−π6ω≤x≤2k2πω+5π6ωk2∈Z，
由于π4,π3⊆2k2πω−π6ω,2k2πω+5π6ωk2∈Z，所以π4≥2k2πω−π6ωπ3≤2k2πω+5π6ω，解得：8k2−23≤ω≤6k2+52k2∈Z②
又因为ω>0，当k1=k2=0时，由①②可知：ω>0−4≤ω≤43−23≤ω≤52，解得ω∈0，43；
当k1=k2=1时，由①②可知：ω>08≤ω≤283223≤ω≤172，解得ω∈8，172.
所以ω的取值范围为0,43∪8,172.
故选：B.
7．（3分）（2022·安徽亳州·高一期末）已知函数fx=2sin2x+π6，对于任意的a∈−3,1，方程fx=a0A．7π12,3π4B．π2,5π6C．π2,5π6D．7π12,3π4
【解题思路】将方程的根的问题转化为函数y=fx的图象与直线y=a有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.
【解答过程】方程fx=a0当0结合函数y=fx的图象可知，2m+π6∈4π3,5π3，
解得：m∈7π12,3π4.
故选：D.
8．（3分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，φ∈0,π2），直线x=π12和点−π6,0分别是f(x)图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数fx+π12为奇函数
B．函数f(x)的图象关于点−π3,0对称
C．函数f(x)在区间−π3,π4上为单调函数
D．函数f(x)在区间[0,6π]上有12个零点
【解题思路】根据已知条件求得f(x)=sin(2x+π3)，代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心，由整体法，结合正弦函数的单调性、周期性判断f(x)区间单调性和区间零点个数.
【解答过程】由题设，T=4×[π12−(−π6)]=π，故ω=2πT=2，
所以f(−π6)=sin(φ−π3)=0，故φ−π3=kπ且k∈Z，
所以φ=kπ+π3，k∈Z，又φ∈0,π2，故φ=π3，
综上，f(x)=sin(2x+π3)，
f(x+π12)=sin(2x+π6+π3)=cs2x为偶函数，A错误；
f(−π3)=sin[2×(−π3)+π3]=−sinπ3≠0，图象不关于−π3,0对称，B错误；
在−π3,π4上，2x+π3∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的性质f(x)在该区间上不单调，C错误；
在[0,6π]上2x+π3∈[π3,19π3]，f(x)在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有12个零点，D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=3sinx+π6，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为πB．图象关于点π3,0对称
C．图象关于直线x=2π3对称D．在区间0,π2的值域为32,3
【解题思路】根据正弦函数的性质，分别求出函数的周期，对称轴，对称中心和在0,π2上的值域即可求解.
【解答过程】因为f(x)=3sin(x+π6)，所以最小正周期为T=2π，故A选项错误；
令x+π6=kπ(k∈Z)，解得：x=kπ−π6(k∈Z)，令kπ−π6=π3，k=12∉Z，
所以图象不关于点π3,0对称，故选项B错误；
令x+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得：x=kπ+π3(k∈Z)，所以图象关于直线x=2π3对称，故选项C正确；
当0≤x≤π2时，x+π6∈[π6,2π3]，所以f(x)=3sin(x+π6)∈[32,3]，故选项D正确，
故选：CD.
10．（4分）（2022·云南高三阶段练习）已知函数fx=tan2x−π3，则（ ）．
A．f0=3B．fx最小正周期为π2
C．2π3,0为fx的一个对称中心D．fx在(5π12,7π12)上单调递增
【解题思路】对A选项代入计算即可，对B选项利用结论正切函数最小正周期为πω，对B选项代入检验即可，对D选项利用整体代换法，求出2x−π3的范围，再利用正切函数的单调性即可判断.
【解答过程】解：f0=tan−π3=−3，A错误；
fx=tan2x−π3的最小正周期为π2，B正确；
当x=2π3时，f2π3=tan2⋅2π3−π3=0，所以2π3,0为fx的一个对称中心，C正确；
当x∈5π12,7π12时，2x−π3∈π2,5π6，因为y=tanx在π2,5π6上单调递增，D正确．
故选：BCD．
11．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2，fx≤fπ3，fx+f5π3−x=0，fx在π6,π4上单调，则ω的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解题思路】根据f(x)≤|f(π3)|，fx+f5π3−x=0可确定ω=−1+2(m−k),m,k∈Z，即可确定ω的取值情况，然后结合f(x)在(π6,π4)上单调递增，进行验证即可确定答案.
【解答过程】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(x)≤|f(π3)|,
则π3ω+φ=π2+kπ,k∈Z①,
又fx+f5π3−x=0 ，则(5π6,0)是函数的一个对称中心，
故5π6ω+φ=mπ.m∈Z②,
两式相减得：ω=−1+2(m−k),m,k∈Z ，
f(x)在(π6,π4)上单调递增， 则π4−π6≤T2=πω ,则0<ω≤12 ，
故ω的取值在1,3,5,7,9,11之中；
当ω=1时， φ=π6+kπ,k∈Z，|φ|<π2，故φ=π6 ，
此时f(x)=sin(x+π6)在(π6,π4)单调递增，符合题意；
当ω=3时， φ=−π2+kπ,k∈Z，|φ|<π2，不符合题意；
当ω=5时， φ=−7π6+kπ,k∈Z，|φ|<π2，故φ=−π6 ，
此时f(x)=sin(5x−π6)，因为x∈(π6,π4)，则5x−π6∈[2π3,13π12] ，
f(x)=sin(5x−π6)在(π6,π4)单调递减，符合题意；
当ω=7时， φ=−11π6+kπ,k∈Z，|φ|<π2，故φ=π6 ，
此时f(x)=sin(7x+π6)，7x+π6∈[4π3,23π12]，
故f(x)=sin(7x+π6)在(π6,π4)上不单调，不符合题意；
故选：AC.
12．（4分）（2022·山东德州·高三期中）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为2；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π；
③该函数图象关于5π3,0对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．φ的值可唯一确定
B．函数fx−5π6是奇函数
C．当x=2kπ−5π6(k∈Z)时，函数f(x)取得最小值
D．函数f(x)在区间π6,π3上单调递增
【解题思路】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项.
【解答过程】由题可知：A=2，T=2π,即ω=1，
∴f(x)=2sin(x+φ)，
又∵该函数图象关于5π3,0对称，
∴5π3+φ=kπ，即φ=kπ−5π3，
又∵0<φ<π2，
∴当k=2时，φ=π3，
∴f(x)=2sin(x+π3)，
A选项：此时φ的值可唯一确定，A正确；
B选项：f(x−5π6)=2sin(x−5π6+π3)=2sin(x−π2)，
当x=0时，f(−5π6)=2sin(−π2)=−2≠0，
∴此时函数f(x−5π6)不是奇函数，故B错误；
C选项：f(2kπ−5π6)=2sin(2kπ−5π6+π3)=2sin(−π2)，
此时函数f(x)取得最小值，故C正确；
D选项：已知π6≤x≤π3，
∴π2≤x+π3≤2π3，
∴f(x)=2sin(x+π3)在函数f(x)在区间π6,π3上单调递减，故D错误.
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·江苏·模拟预测）函数y=2sin3x-π3的最小正周期为 2π3 .
【解题思路】根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期等于2πω，得出结论.
【解答过程】函数y=2sin3x-π3的最小正周期为2π3，
故答案为：2π3.
14．（4分）（2022·四川·高三期中）函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2) 的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为π8,1,5π8,−3，则函数fx 在区间−π2,−π24 上的值域为 −3，0 .
【解题思路】由已知条件先求出函数的解析式，在根据所给自变量的范围求函数的值域
【解答过程】由题意可得: T2=5π8−π8=π2，
所以ω=2πT=2，
又B−A=−3B+A=1⇒A=2B=−1，
又2sin(2×π8+φ)−1=1，
即π4+φ=2kπ+π2,k∈Z，
又−π2<φ<π2 ，所以φ=π4 ，
即f(x)=2sin(2x+π4)−1，
又x∈−π2,−π24，则2x+π4∈−3π4,π6，
则sin(2x+π4)∈−1,12，
则f(x)∈−3,0
故答案为：−3,0.
15．（4分）（2022·四川·高三阶段练习（理））函数fx=sinωx+π6ω>0在区间−5π6,2π3上单调递增，且存在唯一x0∈0,5π6，使得fx0=1，则ω的取值范围为 25,12 ．
【解题思路】根据函数得单调性可得T2≥2π3+5π62π3ω+π6≤π2，根据后一个条件可得π2≤5π6ω+π6<5π2，解之即可得解.
【解答过程】解：由x∈−5π6,2π3，得ωx+π6∈−5π6ω+π6,2π3ω+π6，
因为函数fx在区间−5π6,2π3上单调递增，且−5π6ω+π6<π2，
所以T2=πω≥2π3+5π62π3ω+π6≤π2，解得ω≤12，
由x0∈0,5π6，得ωx0+π6∈π6,5π6ω+π6，
因为存在唯一x0∈0,5π6，使得fx0=1
所以π2≤5π6ω+π6<5π2，解得25≤ω<145，
综上所述ω的取值范围为25,12.
故答案为：25,12.
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）对于函数f(x)=sinπx,0≤x≤212f(x−2),x>2，下列5个结论正确的是 ①④⑤ .
①任取x1,x2∈[0,+∞)，都有|f(x1)−f(x2)|≤2；
②函数y=f(x)在区间[4,5]上单调递增；
③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N∗)对一切x∈[0,+∞)恒成立；
④函数y=f(x)−ln(x−1)有3个零点；
⑤若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有两个不同实根x1,x2，则x1+x2=3.
【解题思路】根据函数解析式可求出当x∈[2n,2n+2]，n∈N时f(x)=12nsinπx，据此可判断①，根据函数解析式利用特殊值可判断②③，由数形结合可判断④⑤.
【解答过程】对于①，由f(x)=sinπx,0≤x≤212f(x−2),x>2，当x∈[2n,2n+2]，n∈N时，f(x)=12nsinπx，此时−1≤−12n≤f(x)≤12n≤1，所以任取x1,x2∈[0,+∞)，都有|f(x1)−f(x2)|≤2，故①正确；
对于②，当x∈[4,5]时，f(x)=122sinπx，f(4)=f(5)，所以非单调递增，故②错误；
对于③，f(12)=sinπ2=1，8f(12+8)=8⋅124sinπ2=12，所以f(12)≠8f(12+8)，故③错误；
对于④，如图，
由数形结合可知有3个零点，故④正确；
对于⑤，如图，
由图可知，有且只有两个不同实根x1,x2时，两个根关于x=32对称，所以x1+x2=3，故⑤正确.
综上所述，正确的结论是①④⑤.
故答案为：①④⑤.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高一阶段练习）已知函数y=2csπ2−3x．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量x的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
【解题思路】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围；
（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
【解答过程】（1）因为y=2csπ2−3x=2sin3x，
令3x=π2+2kπ，k∈Z，即x=π6+2kπ3，k∈Z时，函数取得最大值；
令3x=−π2+2kπ，k∈Z，即x=−π6+2kπ3，k∈Z时，函数取得最小值，
所以函数取得最大值时自变量x的集合是xx=π6+2kπ3,k∈Z，函数取得最小值时自变量x的集合是xx=−π6+2kπ3,k∈Z；
（2）函数为奇函数；
因为函数定义域为R，且f−x=2sin−3x=−2sin3x=−fx，
故函数为奇函数.
18．（6分）（2022·福建高一期末）某同学作函数f (x) = Asin(ωx +φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
【解题思路】（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数m的最小值．
【解答过程】(1)
解：作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的简图时，
根据表格可得，A=3，14×2πω=π3−π12，∴ω=2．
结合五点法作图，2×π12+φ=0，∴φ=−π6，故函数的解析式为f(x)=3sin(2x−π6)．
列表如下：
(2)
解：因为m则2m−π6⩾−π2，且m<0，解得−π6⩽m<0，
故实数m的最小值为−π6．
19．（8分）（2022·海南高一期末）已知函数fx=1−2sinx.
(1)用“五点法”做出函数fx在x∈0,2π上的简图；
(2)若方程fx=a在x∈−2π3,5π6上有两个实根，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为y=sinx与y=1−a2在x∈−2π3,5π6上有两个不同的交点，作出函数y=sinx在x∈−2π3,5π6的图象，由数形结合即可得到结果.
【解答过程】(1)
解：列表：
作图：
(2)
解：若方程fx=a在x∈−2π3,5π6上有两个实根，
则y=sinx与y=1−a2在x∈−2π3,5π6上有两个不同的交点，
因为x∈−2π3,5π6，所以sinx∈−1,1
作出函数y=sinx在x∈−2π3,5π6的图象，如下图所示：
又sin−2π3=−32，sin−π2=−1，sin5π6=12，sinπ2=1，
由图象可得，−1<1−a2≤−32或12≤1−a2<1，
故a的取值范围是−1,0∪1+3,3.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）设函数fx=tanx2−π3．
(1)求函数fx的定义域和单调区间;
(2)求不等式fx≤3的解集．
【解题思路】（1）由x2−π3≠kπ+π2k∈Z可求得fx定义域；令−π2+kπ（2）将x2−π3看作一个整体，可得−π2+kπ【解答过程】（1）由题意得：x2−π3≠kπ+π2k∈Z，解得：x≠2kπ+5π3k∈Z，
∴fx的定义域为xx≠2kπ+5π3,k∈Z；
令−π2+kπ∴fx的单调递增区间为−π3+2kπ,5π3+2kπk∈Z，无单调递减区间.
（2）由fx≤3得：−π2+kπ则fx≤3的解集为−π3+2kπ,4π3+2kπk∈Z.
21．（8分）（2022·江西省高一期中）已知函数f(x)=sin(π6−2x)−12，g(x)=2cs(2x+π6)−2−m，
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意x1∈[−π6,π3]，存在x2∈[−π6,π3]，使得f(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)根据复合函数单调性的求法，使π6−2x∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z即可；
(2)根据余弦函使其交集不为空集
(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.
【解答过程】（1）
2kπ−π2≤π6−2x≤2kπ+π2,k∈Z，解不等式得：x∈[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z ，
所以函数的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z.
（2）
2x+π6=2kπ，即x=kπ−π12,k∈Z时， g(x)max=−m，
2x+π6=2kπ+π，即x=kπ+5π12,k∈Z 时，g(x)min=−m−4；
（3）
x1∈[−π6,π3]时，−π2≤π6−2x1≤π2，−32≤f(x1)≤12，
x2∈[−π6,π3]时，2x2+π6∈[−π6,5π6] ，g(x2)∈[−m−2−3,−m] ，
要使得f(x1)=g(x2)，只需{−m≥12−m−2−3≤−32，∴m∈[−12−3,−12] .
22．（8分）（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使fx的解析式唯一确定．
条件①：fx的最小正周期为π；
条件②：fx为奇函数；
条件③：fx图象的一条对称轴为x=π4．
(1)求fx的解析式；
(2)设函数gx=fx+fx+π6，求gx在区间0,π4上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）分别选择条件①②和①③，求得周期ω，在计算φ的值，即可求解；
（2）由（1）中fx=sin2x，化简得到gx=3sin(2x+π6)，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择①②：
由条件①即已知，可得T=2πω=π，所以ω=2，
由条件②得f−x=−fx，所以f0=0，即sinφ=0，解得φ=kπ(k∈Z)，
因为φ<π2，所以φ=0，所以fx=sin2x，
经验证φ=0，符合题意；
选择条件①③：
由条件①即已知，可得T=2πω=π，所以ω=2，
由条件③得2×π4+φ=kπ+π2,k∈Z，解得φ=kπ(k∈Z)，
因为φ<π2，所以φ=0，所以fx=sin2x，
选择条件：②③：
由条件②得f−x=−fx，所以f0=0，即sinφ=0，解得φ=kπ(k∈Z)，
因为φ<π2，所以φ=0，所以fx=sinωx，
由条件③得ωπ4=kπ+π2,k∈Z，解得ω=4k+2,k∈Z，此时ω不唯一，不符合题意.
（2）
解：由函数gx=fx+f(x+π6)=sin2x+sin(2x+π3)
=sin2x+12sin2x+32cs2x=32sin2x+32cs2x=3sin(2x+π6)，
因为0≤x≤π4，所以π6≤2x+π6≤2π3，
所以当2x+π6=π2，即x=π6时，函数gx取得最大值，最大值为3. ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
fx
-3
2x−π6
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
f(x)
0
3
0
−3
0
x
0
π2
π
3π2
2π
fx
1
−1
1
3
1